Le paradoxe de Simpson

En 1973, Berkeley, l’université américaine, fut poursuivie pour discrimination envers les filles. L’affaire semblait claire. Parmi les candidates, seule 35 % étaient retenues alors que 44 % des candidatures masculines l’étaient. L’étude a été précisée sur les six départements les plus importants, que nous notons ici de A à F.

Détails des admissions.

 

Ce tableau ne montre aucune discrimination envers les femmes. Au contraire, le taux d’admission des filles dans le principal département (A) est nettement supérieur à celui des garçons. L’explication vient quand on regarde le nombre de candidatures dans ces départements. Les femmes semblent avoir tendance à postuler en masse à des départements très sélectifs. Dans ceux-ci, leur taux d’admission est à peine plus faible que celui des hommes. Dans les autres, elles sont plus largement sélectionnées que les hommes. Quand on fait la moyenne globale, ce sont les départements sélectifs qui ont plus de poids, puisqu’elles y postulent en masse. Ce paradoxe a été étudié par Edward Simpson (né en 1922). On le retrouve dans de nombreux cas.

Les chiffres, des marqueurs du pouvoir ?

Les médecins de Molière asseyaient leur prestige et leur pouvoir sur quelques mots vaguement, très vaguement, latin. À l’époque, cette langue déjà morte depuis longtemps était la marque des savants et des puissants. C’était celle aussi qui expliquait le monde, aussi bien par la religion que par la science. Même si elle s’est affaiblie progressivement depuis, elle a gardé un pouvoir extraordinaire jusqu’au milieu du XXe siècle.

Puissants mais ignorants

Pourtant, feu le pouvoir du latin ne venait pas d’une connaissance de cette langue, ni des élites, ni du peuple. Tous l’ignoraient à des degrés divers mais cela faisait savant et le peuple envoûté ne pouvait répondre à un argument s’il était énoncé dans cette langue. La religion est mystère et quoi de mieux qu’une langue venue de la nuit des temps pour l’évoquer ? Le pouvoir du latin venait d’ailleurs de là. D’autres religions fonctionnent de même. Aux yeux du peuple, les caractéristiques essentielles du latin étaient d’être une langue partagée par les savants et les puissants, qui explique le monde, tout en étant incompréhensible donc incontestable par le commun des mortels.

Les chiffres, le latin de notre époque ?

Il suffit de lire ces trois caractéristiques pour voir que, dans notre monde occidental, la langue des chiffres a aujourd’hui remplacé le latin. Même envoûtement sans compréhension ni possibilité de contestation. Si Molière vivait de nos jours, il s’amuserait sans doute de certains débats autour de pourcentages où nul ne semble rien comprendre… et personne n’ose le dire. Prenons un exemple. Dans un pays imaginaire, un homme politique affirme : Monsieur, vous avez augmenté les impôts de 20 %, nous les rétablirons en les baissant de 20 % ! Son adversaire passera sans doute pour un extraterrestre s’il fait remarquer que cela ne correspond pas à un rétablissement mais finalement à une baisse. En effet, si on multiplie les impôts par 1,2, ce qui correspond à l’augmentation de 20 %, pour les multiplier ensuite par 0,8, ce qui correspond à la baisse de 20 %, nous les avons finalement multipliés par 1,2 x 0,8, soit 0,96… ce qui correspond à une baisse finale de 4 %. Dans un autre style, voici un discours a priori très convaincant : La part de la richesse produite détenue par les 1 % les plus riches est passée de 7 à 9 % entre 1982 et 2006. À l’inverse les bas salaires ont eux stagné et, sur 25 ans, la hausse du SMIC net réel demeure bien inférieure à celle des gains de productivité moyens. À la première lecture, il semble très précis, tout est chiffré : 1 %, 7 à 9 %, etc. À la seconde lecture, on s’aperçoit que tout est flou. Par exemple, le rédacteur a mis en parallèle, les 1 % plus riches et les bas salaires. Ces plus riches sont-ils « les plus haut salaires » ou « les plus grosses fortunes » ? Sur le fond, cela n’a guère d’importance, l’idée véhiculée est claire mais que viennent faire ces chiffres dans l’affaire ? La réponse est la même que pour les médecins de Molière. Le rédacteur de ce texte a voulu s’auréoler du prestige d’une science qui lui semble étrangère. Nous voyons sur cet exemple, que nous aimerions imaginaire, que les chiffres ont bien pris la place autrefois occupée par le latin chez ceux qui briguent le pouvoir…

La preuve par les chiffres

Certains chiffres ne font que sous-entendre. Par exemple, que penser de l’affirmation : La fortune de Bill Gates équivaut au Produit Intérieur Brut du Portugal ? Elle sous-entend que certains individus, dont Bill Gates, sont plus puissants que certains états, et non des moindres. Pourtant, que compare-t-on ici ? D’un côté, tout le patrimoine de Bill Gates, de l’autre, la richesse produite en une année au Portugal. La même confusion que la précédente ! Si l’on voulait prouver que Bill Gates est plus puissant que le Portugal, il faudrait comparer les deux patrimoines. En fait, la fortune de Bill Gates a beau être colossale pour un seul individu, c’est une goutte d’eau par rapport à celle du Portugal. On retrouve la même utilisation des chiffres dans des affirmations du style : Pour les États-Unis, la valeur des actifs des fonds de pension était en 1996 de 4 752 milliards de dollars, soit 62 % du PIB américain, celle de fonds de placement collectif de 3 539 milliards de dollars, soit 46 % du PIB, et celle des compagnies d’assurance s’établissait 3 052 milliards soit 30 % du PIB. Au total, ces fonds de pension détiennent l’équivalent de 138 % du PIB américain. Autrement dit, on confond sciemment ou non, un revenu et un patrimoine… Il est facile de produire à l’envi ce genre de preuve.

 

Fahrenheit et la peur des nombres négatifs

Sans doute pour éviter les nombres négatifs, Daniel Gabriel Fahrenheit (1686 – 1736) fixa l’origine des températures (0° Fahrenheit) à la plus basse qu’il ait observée. C’était durant l’hiver 1709 dans la ville de Dantzig, où il habitait. Pour 100° Fahrenheit, il choisit la température corporelle d’un cheval sain ! Dans son système, l’eau gèle à 32° et elle bout à 212° environ.

100° Fahrenheit correspond à la température corporelle d’un cheval sain.

L’absolu du zéro

Ces choix étranges de Fahrenheit s’expliquent par la réticence de l’époque devant les nombres négatifs. On préférait d’ailleurs parler de quantités plutôt que de nombres. Il s’agissait d’artifices de calcul pour résoudre des équations, dont on écartait ensuite les solutions négatives. Tout en étant une origine, zéro véhicule une idée d’absolu, en dessous duquel on ne peut aller, comme on le voit chez Blaise Pascal (1623 – 1662) qui, dans ses Pensées, écrit cette phrase surprenante :

Trop de vérité nous étonne ; j’en sais qui ne peuvent comprendre que, qui de zéro ôte 4, reste zéro.

Cette idée a perduré jusqu’au XIXe siècle, Lazare Carnot (1753 – 1823) écrivait encore :

Pour obtenir réellement une quantité négative isolée, il faudrait retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible. Comment donc concevoir une quantité négative isolée ?

La solution de Cauchy

La question semble cependant résolue avec Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) qui, dans son Cours d’analyse de l’Ecole royale polytechnique définit les nombres relatifs comme une partie numérique précédée d’un signe + ou – :

Le signe + ou – placé devant un nombre en modifiera la signification, à-peu-près comme un adjectif modifie celle du substantif.

Conversion entre degrés Celsius et degrés Fahrenheit

Les variations étant linéaires dans les deux cas, la relation est affine, c’est-à-dire de la forme : TF = a TC + b. Les deux coïncidences donnent les relations : b = 32 et 100 a + b = 212 d’où : a = 1,8 et b = 32. Nous en déduisons la formule : TF = 1,8 TC + 32. Ainsi la température de 37° Celsius donne : 1,8 x 37 + 32 = 98,6° Fahrenheit.

La psychologie des nombres

Quelle est la différence entre 98 € et 100 € ? Mathématiquement parlant, la réponse est 2 €. Au niveau psychologique ou émotionnel, la différence est bien plus importante. Pour ne pas en être victime, la méthode est simple : arrondissez ! Si on vous dit 98 €, traduisez en 100 € et vous ne serez pas piégé. Dans l’esprit de l’acheteur, 98 € signifie 90 € plus quelques euros. Il raisonne en logique additive. Sauf pour les produits de prestige, qui doivent être chers, il vaut mieux afficher ses prix dans la dizaine inférieure. Plusieurs expériences ont été menées aux États-Unis. En particulier, l’envoi de deux catalogues identiques, l’un affichant des prix ronds comme 10 $ et l’autre des prix minorés de 1 cent, comme 9,99 $, a montré que le second catalogue apportait plus de ventes.

Le prix psychologique

De façon plus étonnante sans doute, le meilleur prix pour maximiser le profit sur un produit n’est ni le plus petit, ni le plus grand possible. Ce prix, qui peut être déterminé au moyen d’un sondage, est appelé le « prix psychologique ». En dessous de ce prix, le produit semble de qualité insuffisante à l’acheteur potentiel. Au-dessus, il paraît trop cher.

Détermination graphique du prix psychologique. La courbe du dessus représente le pourcentage d’acheteurs potentiels estimant le produit de qualité suffisante, celle du bas, le pourcentage l’estimant trop cher. Le prix psychologique correspond au point où l’écart est le plus grand.

En revanche, si vous voulez écrire un livre de conseils pour réussir, mieux vaut en proposer 31 que 29 car ce nombre sera perçu comme bien plus grand.

La règle à calcul, autrefois symbole de l’ingénieur

Une façon d’effectuer les additions est d’utiliser les propriétés des longueurs : deux mètres plus trois mètres font cinq mètres. Ainsi, avec deux règles graduées, on peut facilement opérer une addition.

En faisant coïncider le 0 de la règle verte avec le 2 de la règle bleue, on lit sous la graduation 5 de la verte, la somme de 2 et de 5.

L’idée sous-jacente est tellement simple qu’on ne voit pas immédiatement l’analogie sous-jacente. Elle consiste pourtant à assimiler nombre et longueur, deux notions a priori distinctes. En grec, le sens premier d’analogie est « proportion mathématique ». On passe d’une quantité à une autre par l’application d’un certain rapport. Cependant, dès l’époque de Platon, ce terme a pris le sens plus général de correspondance, de ressemblance, de similitude. En mathématiques, il est aujourd’hui utilisé à plusieurs niveaux, du concret à l’abstrait, du rigoureux à l’approximatif ou à l’heuristique, c’est-à-dire à ce qui donne des idées.

Et les multiplications …

La fonction logarithme transformant une multiplication en addition donne alors une méthode analogique pour calculer un produit. Il suffit de transformer l’échelle linéaire en échelle logarithmique. On obtient un instrument de calcul utilisé avant l’avènement des calculatrices bon marché, et autrefois symbole de l’ingénieur.

Une règle à calculs est composée de trois réglettes dont une coulisse entre les deux autres. En faisant coïncider la graduation 1 de l’une et la graduation 2 de l’autre, puis en alignant le curseur sur la graduation 5 de la première, on lit le résultat de la multiplication 2 x 5 sur la seconde.

Bien entendu, la règle à calcul permet d’effectuer également des divisions et toutes sortes de calculs plus complexes.

Le calcul analogique

De façon plus générale, l’idée du calcul analogique est de représenter les nombres par des grandeurs géométriques (longueurs, aires, volumes, angles) ou physiques (mécaniques, électriques, hydrauliques, chimiques), et d’exploiter des phénomènes géométriques ou physiques dont la modélisation mathématique est fondée sur les équations que l’on veut résoudre. En particulier, des systèmes électriques permettent de résoudre automatiquement certaines équations : celles qui les régissent. Les calculateurs analogiques ont été en usage jusqu’à ce que les ordinateurs, ou calculateurs numériques, les supplantent, c’est-à-dire jusqu’au début des années 70. Dans le domaine du calcul scientifique, numérique est ainsi devenu l’opposé d’analogique.

Mes règles à calcul

Mes premières règles à calcul ont été fabriquées en bambou, c’était alors un symbole de qualité.

Règle en bambou de la marque HEMMI de 30 cm de long
Règle en bambou de la marque HEMMI de 14 cm de long, la précision était moindre mais la règle tenait dans la poche pectorale d’une blouse.
Règle en bambou de la marque HEMMI de 10 cm de long, avec loupe.

Les suivantes sont en matière plastique comme celle-ci.

Petite règle à calcul en matière plastique de la marque Graphoplex. Longueur 15 cm.La dernière ressemble à une règle à calcul mais ne possède par de réglette mobile. C’est en fait une règle de conversion entre les unités internationales (mètres, etc.) et les unités américaines (pieds, etc.).

Règle de conversions entre les unités internationales et les unités américaines en plastique Graphoplex.

 

Les maths et la matière

Toujours à la recherche d’œuvres d’art inspirées par les mathématiques, et la science en général, j’ai découvert dans une petite galerie d’art parisienne (galerie Sonia Monti, Paris VIII), quelques œuvres de François Sforza, dont l’originalité est d’allier les maths et la matière.

La formule d’Euler

Leonhard Euler (1707 – 1783) est l’auteur d’une formule déclarée « plus belle formule des mathématiques » en plusieurs occasions :

Pourquoi si belle ? La raison souvent invoquée est la réunion de cinq constantes fondamentales : les éléments neutres de l’addition (0) et de la multiplication (1), la mystérieuse racine carrée de -1 (i) et les deux nombres transcendants les plus rencontrées (e et pi). François Sforza suggère de plus une démonstration élémentaire de la formule sur son tableau.

Lidentité d’Euler par François Sforza. La photo ne reflète  pas la matière de la peinture.

Dans un autre post, j’ai célébré cette même formule dans une autre matière : le verre.

La plus belle formule des mathématiques

L’hypothèse de Riemann

La fonction zêta de Riemann est à l’honneur dans une autre toile, accompagnée de son lien avec les nombres premiers, dû à Euler.

Fonction zêta par François Sforza. Au cœur de l’hypothèse de Riemann.

L’hypothèse de Riemann se trouve de façon étonnante au salar d’Uyuni en Bolivie, taguée sur une locomotive rouillée :

L’hypothèse de Riemann au salar d’Uyuni

Pour finir, voici quelques autres peintures de François Sforza.

L’inconnue de François Sforza.
Synaptik par François Sforza. Une plongée imaginaire dans notre cerveau où des formules mathématiques remontent le long des neurones.

 

Vibration sonore par François SforzaPour en savoir plus sur l’artiste

https://sforzafrancois.portfoliobox.net

 

Les nombres premiers (définition)

A priori, les nombres premiers sont les nombres entiers naturels (1, 2, 3, 4 , 5, 6, etc.) qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes ce qui amène à éliminer dans la liste précédente les nombres composés c’est-à-dire produits de deux nombres comme 4 (2 x 2), 6 (2 x 3), etc.

1 est-il premier ?

Avec cette définition, 1 serait premier. On l’élimine pourtant en ajoutant qu’un nombre premier doit avoir deux diviseurs  distincts: 1 et lui-même. La raison est plus profonde qu’il ne peut paraître. Voyons pourquoi.

Le théorème fondamental de l’arithmétique

Si on exclut 1 de l’ensemble des nombres premiers, on peut démontrer un théorème fondamental en arithmétique :

tout nombre entier naturel supérieur à 2 est le produit d’un nombre fini de nombres premiers et ce de façon unique, à l’ordre près des facteurs.

Ainsi, 530 = 2 x 5 x 53

Pour démontrer ce théorème, l’essentiel est de montrer que tout nombre est soit premier, soit divisible par un nombre premier… ce qui est une évidence. En appliquant cette remarque de façon itérative, nous aboutissons à notre théorème.

Si on n’exclut pas 1, toute décomposition est multiple puisqu’on peut ajouter autant de facteurs 1 que l’on veut sans changer le résultat. Voila pourquoi on élimine 1 de la liste des nombres premiers.

 

 

Les âges de la vie

Avant 30 ans, on parle d’enfants puis d’adolescents et enfin de jeunes gens (femmes ou hommes) mais il n’existe pas de termes spécifiques liés précisément à l’âge.

La crise de la trentaine

Tout change à 30 ans. À trente ans et un jour, on entre dans sa 31e année. On a alors la trentaine jusqu’à 39 ans. On est également un trentenaire mais cela se dit moins.

L’an zéro n’a jamais existé

Remarquez que les siècles fonctionnent différemment, ce qui prête à confusion. Ainsi, le 20e siècle a commencé en 1901 comme le 21e en 2001 et non en 2000. Pourquoi ? Tout simplement parce que zéro n’existait pas quand on inventa l’ère chrétienne… au VIe siècle après Jésus-Christ… mais revenons aux âges de la vie.

Centenaire pour l’éternité

À 40 ans, on devient un quadragénaire et on a la quarantaine. À 50 ans, un quinquagénaire et on a la cinquantaine. À 60 ans, un sexagénaire et on a la soixantaine. Ensuite, on devient successivement un septuagénaire, un octogénaire puis un nonagénaire mais on n’a la septantaine, la huitantaine ou l’octantaine puis la nonantaine que dans certaines régions. À 100 ans, les survivants sont des centenaires jusqu’à la fin de leurs jours.

Des nœuds dans l’ADN

L’ADN (ou acide désoxyribonucléique) est le support de l’hérédité. Cette molécule, présente dans chaque cellule, prend la forme d’une double hélice, qui s’enroule sur elle-même, formant ainsi un nœud.

Molécule d’ADN formant un nœud. Sa réplication demande de le dénouer. Image réalisée au moyen d’un microscope électronique.

Duplication des molécules

La duplication des informations contenues dans une molécule d’ADN se fait au moyen d’enzymes. Pour « voir » le processus, imaginez une longue fermeture éclair qu’on ouvre avant de la séparer en deux. Cela n’est possible que si le nœud peut être dénoué. Certains virus attaquent les molécules d’ADN en les coupant et en les recollant de sorte qu’ils soient impossibles à dénouer. Le type de nœud obtenu après l’attaque virale est caractéristique de chaque virus. La signature de ces virus est de nature topologique !

Par ailleurs, cette question du dénouement est au cœur de la théorie mathématique des nœuds. Certains sont faciles à dénouer, d’autres bien plus compliqués, voire impossible (voir la figure ci-dessous). À l’envers de celle des virus, la seule méthode est celle qu’Alexandre le Grand employa pour dénouer le nœud gordien : couper la corde !

Deux nœuds. Pour défaire le vert, il suffit de faire glisser la boucle de gauche. Le second requière la méthode d’Alexandre et des virus, non autorisée en théorie des nœuds.

Nœuds et mathématiques

Mathématiquement, les nœuds sont des courbes fermées de l’espace de dimension trois, que l’on représente souvent comme une courbe plane. Elle a alors des points doubles, où il faut distinguer la branche « au-dessus » de celle « en-dessous ». Si en essayant de démêler un nœud, on passe à un autre, les deux nœuds sont dits équivalents. La théorie des nœuds consiste donc à étudier si un nœud est équivalent à une courbe non nouée, comme le cercle, et plus généralement si deux nœuds sont équivalents. Pour étudier ce type de problème, on essaye d’introduire des invariants, c’est-à-dire des objets mathématiques invariants quand on passe d’un nœud à un nœud équivalent. Henri Poincaré (1854 – 1912) en a trouvé un particulièrement subtil, que l’on appelle le groupe du nœud, malheureusement son étude est délicate.

Stephen Smale (né en 1930), William Thurston (1946 – 2012) et Mikhaïl Gromov (né en 1943) réunis lors de la conférence Clay sur la résolution de la conjecture de Poincaré, en 2010.

William Thurston a découvert une réalisation concrète de ce groupe, liée à la géométrie des espaces de dimension trois, ce qui lui a valu la médaille Field en 1982, et explique son implication en biologie ainsi que celles de Stephen Smale ou de Mikhail Gromov, spécialistes de ce domaine, souvent présenté très loin de toute application.

Cercle qui roule se quarre

La quadrature du cercle consiste à construire un carré de même aire qu’un cercle donné. Si le cercle a pour rayon R, il s’agit donc de construire un carré de côté R multiplié par la racine carrée du nombre Pi. On peut donc réaliser la quadrature du cercle avec une règle graduée à la précision que l’on veut.

Des règles qui changent tout

Quand le problème est apparu dans l’Antiquité, il n’était pas question d’approximations, la règle était que la construction devait être exacte. Il en existe plusieurs. L’une d’entre elle demande de faire rouler un cercle sur une droite. La voici sous forme de tableau :

Le cercle part de la position à gauche (en rouge) pour arriver à celle de droite (en jaune) ce qui permet de définir le carré de droite, de même aire que le cercle initial.

En utilisant uniquement le théorème de Pythagore, on démontre que le carré est de côté racine de Pi, ce qui prouve que le carré et le cercle ont même aire (voir à la fin pour une démonstration).

Cette utilisation d’un procédé mécanique (faire rouler le cercle) ne convenait pas aux anciens, il fallait construire le carré à la règle (non graduée) et au compas. Dans ces conditions, le problème devient impossible, ce qui n’a été prouvé qu’au XIX-ième siècle en démontrant que le nombre Pi est transcendant c’est-à-dire qu’il n’est pas solution d’une équation algébrique à coefficients entiers.

De façon étonnante, un problème purement géométrique et très conditionné par des visions antiques a eu des conséquences importantes en algèbre et en analyse.

Un peu de géométrie

La figure essentielle est la suivante :

Il s’agit de montrer que HC a pour longueur la racine carrée de Pi.

En appliquant le théorème de Pythagore dans les trois triangles rectangles HBC, HC et ABC, on obtient :

HC² + 1 = BC², HC²+ Pi² = AC² et BC² + AC² = (Pi + 1)²

En faisant la somme des deux premières expressions puis un peu d’algèbre, il vient que HC² est égal à Pi ce qu’il fallait démontrer.

Une lampe pour une idée lumineuse

Cette quadrature du cercle, dont l’auteur initial nous est inconnu, m’a inspiré la lampe suivant :

Cercle qui roule se quarre par Hervé Lehning.

Comment comprendre le monde moderne sans culture mathématique ? Accéder à celle-ci n’exige cependant pas d’apprendre à résoudre la moindre équation.