Le jour où le dogme de Pythagore s’écroula

Pythagore pensait que tout était nombre, nombre entier plus précisément ou rapport de nombres entiers. De nos jours, on dit nombres rationnels, du latin ratio qui, dans ce contexte signifie rapport.

La duplication du carré

Dans le Ménon de Platon, le problème de Socrate est celui de la duplication du carré, c’est-à-dire de trouver un carré d’aire double d’un carré donné.

Le grand carré orange duplique le carré représenté de travers. Pour le démontrer, il suffit de compter les triangles.

La solution pour dupliquer un carré est d’en construire un dont le côté est la diagonale du premier. Selon le théorème de Pythagore, 2 = 2 2a est le côté du carré et d sa diagonale. Si tout est nombre, a et d sont deux nombres entiers naturels (en choisissant bien l’unité).

Un raisonnement par l’absurde

Ici commence un raisonnement mathématique subtil, l’un des plus anciens de ce type. Bien que nous ne connaissions aucun de ces deux nombres, nous imaginons la factorisation de 2 = 2 2 et y comptons les occurrences du facteur 2 en utilisant chacune des formes à droite et à gauche du signe égal. Ce nombre est pair dans 2 puisque chaque apparition dans d est doublée par l’effet de la multiplication par lui-même. Le même phénomène se produit dans 2. En multipliant cette quantité par 2, on en ajoute un. Le nombre de 2 dans 2 2 est donc impair. L’égalité 2 = 2 2 conduit à une absurdité : le nombre de 2 est à la fois pair (dans 2) et impair (dans 2 2). L’hypothèse de l’existence d’une commune mesure entre les côtés des deux carrés aboutit à une absurdité, elle est donc fausse.

L’écroulement du dogme de Pythagore

L’idée de Pythagore s’écroule, il existe des longueurs incommensurables. Son dogme « tout est nombre » ne retrouvera vie que dans les temps modernes, quand d’autres « objets » seront admis dans le champ des nombres, en particulier, le rapport de la diagonale au côté du carré, racine de 2 que nous disons irrationnel, non pas parce que ce nombre ne serait pas raisonnable mais parce qu’il ne s’agit pas d’un rapport d’entiers.

 

L’unité est-elle un nombre?

Les Grecs anciens refusaient de considérer l’unité comme un nombre, comme on peut le lire dans La Métaphysique d’Aristote :

Il est, d’ailleurs, de toute évidence que c’est l’unité qui exprime la mesure ; […] le nombre est une pluralité mesurée […] Aussi, n’a-t-on pas moins raison de dire que l’unité n’est pas un nombre.

Un ne fait pas nombre

Ce refus de considérer « un » comme un nombre vient de l’assimilation du concept de nombre à ceux de pluralité ou de multiplicité. Cette confusion se retrouve en français ou « nombreux » ne peut signifier « un ».

Une reconnaissance tardive

En 1585, Simon Stevin écrit dans les premières pages de La pratique d’arithmétique :

Comme l’unité est nombre par lequel la quantité d’une chose expliquée se dit un.

Alors que cela nous semble aujourd’hui naturel, Simon Stevin se sent obligé de défendre cette position dans un long raisonnement de plusieurs pages, preuve que cette notion n’est pas admise comme naturelle à son époque. Pourquoi ? Tout simplement parce qu’elle s’oppose à la tradition philosophique du Moyen-Âge pour qui il n’est point de vérité en dehors d’Aristote, d’où le discours étonnant :

Il est notoire que l’on dit vulgairement que l’unité n’est pas nombre, mais seulement son principe […] ce que nous nions. Nous pouvons argumenter de la sorte : La partie est de même matière qu’est son entier, unité est partie de multitude d’unités, donc l’unité est de même matière qu’est la multitude d’unités. Mais la matière de multitude d’unités est nombre donc la matière d’unité est nombre.

Le « un » est donc devenu nombre à l’époque de Simon Stevin même si certains, comme Diophante, un célèbre mathématicien grec du IIIe siècle après Jésus-Christ, l’utilisaient déjà comme tel… mais après avoir donné les définitions usuelles à l’époque, comme en sorte d’hommage à la tradition.

 

 

Boby Lapointe et le bibi-binaire

Boby Lapointe (1922 – 1972) est connu comme chanteur humoriste, le seul chanteur français jamais sous-titré en France. Pourquoi ? Pas à cause de son élocution aléatoire mais parce que l’apprécier demandait une sacrée gymnastique intellectuelle ! Voici le début d’une de ses chansons les plus faciles pour en montrer le style.

Le poisson Fa

Il était une fois
Un poisson fa.
Il aurait pu être poisson-scie,
Ou raie,
Ou sole,
Ou tout simplement poisseau d’eau,

Ou même un poisson un peu là,
Non, non, il était poisson fa :
Un poisson fa,
Voilà.

et cela continue avec toutes les notes…

Une formation mathématique

Pas étonnant diront certains car la formation de Boby Lapointe  était fortement marquée par les mathématiques. Il aurait pu faire partie de l’Oulipo, comme adepte des littératures à contraintes ! Après un bac MathElem en 1940, il suivit les cours d’une classe de MathSpé et aurait intégré SupAero s’il n’avait pas été requis par le STO (service du travail obligatoire) en Autriche, dont il s’est évadé pour vivre dans la clandestinité. Boby Lapointe était donc un matheux et on le voit dans une de ses inventions.

L’hexadécimal

Revenons aux mathématiques avant de revenir à Boby Lapointe ! Vous avez sans doute remarqué que les clefs Wifi sont formées de chiffres décimaux entrecoupés de quelques lettres, entre A et F, comme par exemple : 9A8356D713058F4569C54039A0.

Il s’agit en fait d’un nombre écrit en base seize, en hexadécimal autrement dit. Dans cette base, les chiffres sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Les cinq derniers représentent les nombres décimaux de 10 à 15. Ce système permet d’écrire les nombres binaires de façon raccourcie. Par exemple, pour écrire le nombre binaire 1 100 101 en hexadécimal, il suffit de grouper les bits par quatre : 110 0101 et de traduire ces groupes : 110 vaut 6 et 0101, 5. Ce nombre s’écrit donc 65 en base seize. De même, un milliard, qui s’écrit 11 1011 1001 1010 1100 1010 0000 0000 en binaire, s’écrit 3B 9AC A00 en hexadécimal, ce que l’on obtient en traduisant chaque groupe de quatre bits.

Signification des chiffres hexadécimaux, c’est-à-dire des chiffres du système de base 16. En plus des chiffres usuels, ce système utilise les chiffres A, B, C, D, E et F qui représentent 10, 11, 12, 13, 14 et 15.

Le système bibi-binaire

Boby Lapointe inventa une notation pour les chiffres hexadécimaux où chaque chiffre se voit attribuer un symbole et une prononciation.

Système bibi-binaire de Boby Lapointe. Chaque chiffre du système hexadécimal se voit attribuer un graphisme et une prononciation dépendant de son écriture en base deux. L’ordre de l’écriture est indiqué pour le chiffre 0.

Ainsi 2019, qui s’écrit 7E3 en hexadécimal puisque 2019 vaut         7 x 16² + 14 x 16 + 3, se dit « bidehi » en bibi-binaire et s’écrit :

Zéro est-il un nombre ?

Zéro est un symbole utile pour écrire les nombres mais est-il lui-même un nombre ? Si nous restons sur l’idée des nombres naturels, la réponse est « non ». Ils sont faits pour compter, et que signifie dénombrer l’absence ? Zéro est un être troublant. Il n’a été accueilli que tardivement dans la communauté des nombres. À son introduction, zéro était plus la marque d’une absence, pour faciliter la notation positionnelle des nombres, qu’un nombre véritable. 

Naissance de zéro comme nombre

Nous devons son apparition en tant que nombre au mathématicien indien Brahmagupta (598 – 668). Dans le Brahmasphutasiddhanta, ce qui signifie « l’ouverture de l’Univers », écrit entièrement en vers, il donne les règles régissant zéro, ainsi que les nombres positifs ou négatifs, en termes de dettes et de fortunes :

Une dette moins zéro est une dette. Une fortune moins zéro est une fortune. Zéro moins zéro est zéro. Une dette soustraite de zéro est une fortune. Une fortune soustraite de zéro est une dette. Le produit de zéro par une dette ou une fortune est zéro. Le produit de zéro par zéro est zéro. Le produit ou le quotient de deux fortunes est une fortune. Le produit ou le quotient de deux dettes est une fortune. Le produit ou le quotient d’une dette et d’une fortune est une dette. Le produit ou le quotient d’une fortune et d’une dette est une dette.

Chacun reconnaîtra dans ces lignes une version ancienne de la règle des signes, dont un extrait de La vie de Henry Brulard, le roman autobiographique de Stendhal (1783 – 1842) semble un écho humoristique :

Supposons que les quantités négatives sont des dettes d’un homme, comment en multipliant 10 000 francs de dette par 500 francs, cet homme aurait-il ou parviendra-t-il à avoir une fortune de 5 000 000, cinq millions ?

L’usage des termes mathématiques hors contexte peut donner des résultats amusants, cependant la question n’est pas là. L’important est que les règles de calcul habituelles sur les nombres soient respectées, mais revenons à Brahmagupta. Pour lui, zéro n’est pas seulement la notation d’une absence d’unité, de dizaine ou de centaine, etc., comme dans la numération de position, mais aussi un vrai nombre, sur lequel on peut compter. Il le définit d’ailleurs comme le résultat de la soustraction d’un nombre par lui-même. Il donne les bons résultats l’impliquant dans les opérations licites (addition, soustraction et multiplication) mais se trompe en estimant que 0 divisé par 0 est égal à lui-même. On peut le comprendre, la question n’est pas simple. Elle est restée obscure, même pour un grand nombre de mathématiciens jusqu’au XIXe siècle puisque, dans ses Éléments d’algèbre, Alexis Clairaut (1713 – 1765), après avoir donné les règles de calcul, est obligé d’insister sur la nuance entre le signe d’un nombre et celui d’une opération :

On demandera peut-être si on peut ajouter du négatif avec du positif, ou plutôt si on peut dire qu’on ajoute du négatif. À quoi je réponds que cette expression est exacte quand on ne confond point ajouter avec augmenter. Que deux personnes par exemple joignent leurs fortunes, quelles qu’elles soient, je dirai que c’est là ajouter leurs biens, que l’un ait des dettes et des effets réels, si les dettes surpassent les effets, il ne possédera que du négatif, et la jonction de la fortune à celle du premier diminuera le bien de celui-ci, en sorte que la somme se trouvera, ou moindre que ce que possédait le premier, ou même entièrement négative.

Ces questions de fortunes et de dettes, de Brahmagupta à Clairaut font penser que le zéro serait venu d’un problème de comptabilité patrimoniale. Au-delà des termes utilisés, rien ne permet cependant de l’affirmer.

Zéro dans les opérations

La règle d’extension des résultats à zéro n’est pas d’origine philosophique, mais calculatoire. Par exemple, à partir de la définition que donne Brahmagupta de zéro : 2 – 2 = 0, on déduit des règles habituelles de l’arithmétique :

2 + 0 = 2 + (2 – 2) = 4 – 2 = 2

ce qui peut sembler une évidence par ailleurs : quand on ajoute rien, on conserve ce que l’on a… La question est beaucoup moins évidente quand on veut multiplier par zéro. Quel sens cela a-t-il dans l’absolu ? Pour le voir, l’important est de se focaliser sur les règles de calcul, sans y chercher d’autre philosophie. La question se traite de la même manière que la précédente :

3 x 0 = 3 x (2 – 2) = 3 x 2 – 3 x 2 = 6 – 6 = 0.

Bien entendu, dans les raisonnements précédents, les nombres 2 et 3 peuvent être remplacés par n’importe quels autres, le résultat n’est pas modifié. Un nombre multiplié par zéro est donc égal à zéro. Ce résultat, qui peut sembler étrange de prime abord, est nécessaire pour la généralité des règles opératoires.

La méthode permet de trouver des résultats plus étonnants. Par exemple, que vaut un nombre à la puissance zéro ? Pour répondre à cette question, se demander ce que signifie de porter un nombre à la puissance zéro est inutile, voire nuisible. A priori, 2 à la puissance 4 (par exemple) est égal à 2 multiplié 4 fois par lui-même, soit 24 = 2 x 2 x 2 x 2. De même, en remplaçant 4 par n’importe quel nombre entier supérieur à 1, donc 21 = 2. Mais que peut bien vouloir dire un nombre multiplié 0 fois par lui-même ? Se poser la question ainsi, c’est se condamner à ne pas pouvoir y répondre puisqu’elle est absurde. En fait, il faut trouver un principe d’extension. La propriété essentielle est la formule : 24+1 = 24 x 2, valable en remplaçant 4 par n’importe quel nombre. En le remplaçant par 0, nous obtenons : 20+1 = 20 x 21, ce qui donne : 2 = 20 x 2. En simplifiant par 2, nous obtenons : 20 = 1. Ce résultat est encore vrai si nous remplaçons 2 par tout nombre non nul. Ainsi, un nombre non nul porté à la puissance 0 est égal à 1, ou du moins il faut le poser comme définition si on veut que la propriété des puissances vue plus haut (24+1 = 24 x 2) soit générale.

Cette égalité (20 = 1) correspond à une idée subtile : celle de la généralité des calculs. On définit la puissance 0 pour que les règles de calcul connues sur les puissances restent vraies dans ce cas particulier. Il reste malgré tout l’ambiguïté de 0 à la puissance 0.

 

Le carré Luoshu

La première référence à un carré magique est une légende chinoise associée à la rivière Luohe, un affluent du fleuve Jaune, qui eut son heure de gloire pendant le millénaire précédant notre ère, quand la ville de Luoyang, bâtie sur ses rives, était capitale de la Chine. Ses multiples versions parlent toutes d’une tortue portant d’étranges inscriptions sur son dos.

Une tortue légendaire

Pour calmer le dieu de la rivière, à chaque inondation, les habitants d’un village menacé d’être englouti lui offraient des sacrifices en vain. Cependant, ils remarquèrent qu’à chaque fois, une tortue venait sur les lieux du sacrifice et repartait. Le dieu du fleuve n’en tenait cure jusqu’à ce qu’un jour, un enfant remarqua des formes curieuses sur le dos de l’animal.

Dos de la tortue selon la légende

Dans chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale, le nombre était le même. Ainsi, les villageois comprirent que le dieu du fleuve demandait quinze sacrifices, et purent l’apaiser…

Les carrés magiques

Ce carré est depuis appelé « carré Luoshu » du nom de la rivière. Il a vite conquis le Moyen-Orient puis la Grèce où il était connu de Pythagore. Il est toujours utilisé comme amulette porte-bonheur et dans des exercices divinatoires. De nos jours, ces carrés où les sommes des nombres des lignes, colonnes et diagonales sont identiques sont appelés « carrés magiques », preuve de l’antique croyance. On peut de plus ajouter une contrainte, celle de n’utiliser que les premiers nombres donc ceux de 1 à 9, dans le cas d’un carré d’ordre trois, et ceux de 1 à 16 pour ceux d’ordre quatre. Avec cette dernière contrainte, il n’existe aucun carré d’ordre deux : vous pouvez disposer les nombres de 1 à 4 comme vous le voulez, le carré formé ne sera jamais magique. De ce fait, les pythagoriciens en faisaient un symbole du chaos. Aux symétries près, le carré d’ordre trois est unique, c’est le Luoshu (voir à la fin de cet article). De nos jours, les ésotériques préfèrent l’écrire de façon à faire apparaître le nombre 618 en première ligne car ce sont les premières décimales du nombre d’or. Pour eux, il devient ainsi doublement magique.

Le carré magique d’ordre 3

Carré magique d’ordre 3 faisant apparaître les décimales du nombre d’or.

Schéma de preuve

Si les cases du carré contiennent tous les nombres de 1 à 9, la somme de toutes les cases est 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9, c’est-à-dire 45. Les sommes de toutes les rangées et des diagonales sont donc égales à 45 divisé par 3, soit 15. Selon leur place, les nombres participent à 4, 3 ou 2 sommes égales à 15. En partant d’un nombre initial, comme 1, nous examinons le nombre de décompositions donnant 15 en tout. Pour 1, il en existe deux : 9 + 5 et 8 + 6. En opérant ainsi, nous obtenons le tableau :

Ce tableau permet de remplir le carré.

Les rubans de Pascal

Blaise Pascal (1623 – 1662) a inventé une méthode ingénieuse pour calculer le reste d’une division (sans l’effectuer) et donc de tester la divisibilité d’un nombre par un autre, que nous nommerons n dans la suite de cet article.

Une suite de restes

Pascal considère la suite des restes des puissances de 10 par n en commençant par 0, pour n = 7, cela donne :

puissances 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
restes 1 3 2 6 4 5 1 3 2 6 4 5 1 3

 

En effet, le reste de 1 est 1, celui de 10 est 3, celui de 100 est 2 (puisque 100 = 14 x 7 + 2), etc. La suite des restes est périodique. Ce résultat n’est pas lié au nombre 7, il est général. Cette suite est appelée le ruban de Pascal associé au nombre 7.

Calcul du reste d’une division

A partir de ce ruban, pour calculer le reste de la division par 7 d’un nombre comme 348, on écrit les décimales de 348 dans l’ordre inverse en dessous du début du ruban :

ruban 1 3 2
nombre 8 4 3
calculs 8 12=5 6 8+5+6=5

 

On effectue d’abord les multiplications en colonnes de 1 par 8, 3 par 4 et 2 par 3. On retranche autant de fois 7 que possible, donc 12 est remplacé par 5. On additionne alors les résultats obtenus et on retranche à nouveau autant de fois 7 que possible, on trouve 5 qui est le reste de la division de 348 par 7.

Pourquoi ? Cela vient des règles de calcul sur les nombres modulo 7 (c’est-à-dire en ne gardant à chaque étape que le reste dans la division par 7). On part de 348 = 3.102 + 4.101 + 8.100. En remplaçant, les puissances de 10 par leurs restes, on obtient 348 = 3.2 + 4.3 + 8.1 mod 7. On effectue les multiplications et les additions en retranchant 7 autant de fois qu’on peut et on a montré le bien fondé de l’algorithme utilisé ainsi que sa généralité.

On peut ainsi calculer très rapidement le reste des divisions de très grands nombres, comme celui de 56 218 491 par 7.

ruban 1 3 2 6 4 5 1 3
nombre 1 9 4 8 1 2 6 5
calculs 1 27=6 8=1 48=6 4 10=3 6 15=1 0

On trouve rapidement que le reste est égal à 0 donc que 56 218 491 est divisible par 7. Le test de divisibilité par 7 est donc de même nature que le test de divisibilité par 9 : au lieu de faire la somme des chiffres, on en fait une combinaison linéaire dont les coefficients sont ceux du ruban de Pascal. Il en est de même pour tous les nombres.

Divers rubans

Pour utiliser cette technique, il est bon de disposer d’un certain nombre de rubans. Voici ceux des nombres premiers inférieurs à 20 où on s’est arrêté à la partie périodique :

 

Nb
2 1 0
3 1 1
5 1 0
7 1 3 2 6 4 5 1
11 1 10 1
13 1 10 9 12 3 4 1
17 1 10 15 14 4 6 9 5 16 7 2 3 13 11 8 12 1
19 1 10 5 12 6 3 11 15 17 18 9 14 7 13 16 8 4 2 1

 

On peut ainsi facilement déterminer le reste d’un nombre comme 521 365 941 dans la division par 19.

1 10 5 12 6 3 11 15 17
1 4 9 5 6 3 1 2 5
1 40=2 45=7 60=3 36=17 9 11 30=11 85=9 1+2+7+3+17+9+11+11+9=13

Le reste de 521 365 941 dans la division par 19 est donc 13.

 

Une carte à Léa

Une carte postale adressée à une jeune fille nommée Léa chez ses parents le 27 janvier 1905 a de quoi surprendre car elle ne comporte que des  nombres séparés de points ou de tirets.

Transcription de la carte

Le texte est constitué de nombres entre 2 et 25, qui représentent sans doute des lettres de l’alphabet, séparés par des points et des tirets. Les tirets séparent probablement les mots entre eux. Nous le reproduisons ici en remplaçant les tirets par des espaces :

25.22     21.2.8.8.24     7.22.4.19.2.20.20.24     25.2.23       5.24   12.9.24   17.24   18.22.23   24.5.4.23.18 17.24   20.22.14.22.23.8 4.23.24.20   4.24.5.9   19.24.7.9.23.8   2  17.2.9.4.8     17.22.23 23.9 18.24.8   2   5.22.4.18.24.8     5.24   25.22.18.23.20   17.24 20.22.23     4.23.24.20   24.9   22     17.22.14.24     8.23     18.9 8.22.14.22.23.8     5.2.25.25.24     17.24     8.9.23.8 23.25.7.22.18.23.24.20.18     12.9.22.20.19       24.13.13.24.8 8.2.20.18     24.20     4.24.18.22.4.19     22.9     4.24.14.2.23.4 25.2.20     22.20.21.24     22.19.2.4.24     18.2.9.18     22   18.2.23

Analyse

On remarque rapidement que le numéro 24 est majoritaire. Il représente sans doute le E. Un mot à l’avant dernière ligne se trouve alors à moitié décrypté. Il s’agit de 24.13.13.24.8. Le numéro 13 répété entre deux E ne peut être qu’une consonne, plus précisément L. On en déduit que ce mot est « elles ». Le suivant est alors probablement « sont ». Le chiffre s’écroule alors progressivement. En particulier la formule de politesse est « tout à toi ». Finalement, on obtient le texte :

Ma gosse, pardonne-moi ce que je t’ai écrit, je n’avais rien reçu depuis 2 jours. J’ai eu tes 2 cartes ce matin. Je n’ai rien eu à ja*e. Si tu savais comme je suis impatient quand elles sont en retard. Au revoir mon ange. Tout à toi.

L’étoile dans le texte est sans doute une erreur de chiffrement.

Le TVI à la Grande Ruine

Pour monter sur un sommet à 3712 mètres d’altitude, comme la Grande Ruine dans le massif de Ecrins (image mise en avant @Hervé Lehning), en partant d’un refuge situé à 3169 mètres d’altitude (le refuge Adèle Planchard), il est nécessaire de passer par toutes les altitudes intermédiaires.

Quelque soit la voie prise pour monter au sommet, nous passerons au moins une fois à chaque altitude entre le point de départ et celui d’arrivée. La photo représente un sommet proche de l’Everest, dans l’Himalaya. @Hervé Lehning

Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (ou TVI)

Ce résultat de bon sens correspond à un théorème de mathématiques concernant les fonctions continues sur un intervalle réel à valeurs réelles. La plupart des fonctions qu’on rencontre en mathématiques sont continues sauf, éventuellement, en quelques points exceptionnels, appelés pour cela points de discontinuité. Physiquement, dans la pratique, ces points correspondent souvent à des sauts.

Exemple de discontinuité : en un point x, les limites à droite et à gauche  diffèrent de la valeur en x. Dans ce cas, la fonction présente un saut en x.

Le théorème des valeurs intermédiaires peut s’illustrer ainsi :

Si f est une fonction continue sur [a, b] et m est une valeur entre f (a) et f (b), il existe x tel que f (x) = m.
Ce théorème est donc un théorème existentiel: il affirme l’existence d’un nombre sans permettre pour autant de le calculer.

Utilité

L’utilité pratique  essentielle de ce théorème est de montrer l’existence de racines d’équations : si une fonction continue change de signe entre deux points a et b, elle s’annule entre ces deux points.

On en déduit, par exemple, qu’une fonction continue sur un segment [a, b] à valeurs dans lui-même admet au moins un point fixe, c’est-à-dire un point x tel que f (x) = x. Pour le démontrer, il suffit de remarquer que la fonction g définie par (x) = f  (x)  –  x change de signe entre a et b.

Peut-on mesurer l’intelligence ?

Les nombres fascinent tellement qu’ils arrivent à pénétrer des domaines purement qualitatifs, comme l’évaluation de l’intelligence. Les tests de Quotient Intellectuel ont été créés, dans le cadre de l’instruction obligatoire, pour détecter les enfants susceptibles de rencontrer des difficultés scolaires. En 1904, le ministère de l’Instruction publique chargea Alfred Binet (1857 – 1911) d’imaginer un outil pour ce faire. Son échelle psychométrique visait à un diagnostic rapide d’arriération en comparant les performances de l’enfant à celles de sa classe d’âge. À l’époque, ce n’était pas un test destiné à la sélection, mais au contraire à aider les enfants en difficulté. Binet lui-même notait d’ailleurs l’influence de la culture familiale sur les résultats des tests et, quand on lui demandait ce qu’était l’intelligence, il répondait : l’intelligence est ce que mesure mes tests.

Le quotient intellectuel des enfants

La notion de quotient intellectuel découle des études de Binet, mais a été fixée par Wilhelm Stern (1871 – 1938) comme le rapport entre l’âge mental d’un enfant et son âge physique… d’où le terme de « quotient ». Un QI de 100 correspond donc à un enfant normal… et le QI d’un même enfant varie avec l’âge. Il est mesuré par des tests qui dépendent également de l’âge. Ces tests portent souvent sur des reconnaissances de structures, ce qui est relativement naturel si on veut mesurer l’aptitude à suivre les cours de l’école élémentaire, pas forcément si on s’intéresse à celle de survivre dans une nature hostile… ce qui pourtant demande aussi de l’intelligence.

Exemple de test de QI actuel. Il s’agit de choisir la figure du dernier carré, qui complète les précédentes. Ce type de test privilégie les compétences logiques et mathématiques.

Vu le but, ces tests sont légitimes et doivent permettre de venir en aide à des élèves en difficulté en évaluant où se situe leur problème : émotivité exacerbée ou arriération mentale ? Le QI peut discriminer entre ces deux hypothèses.

Extension aux adultes

Jusqu’en 1939, le QI est resté cantonné à la mesure de l’âge mental des enfants. David Wechsler (1896 – 1981) eut l’idée d’un test s’appliquant aux adultes. La définition donnée ci-dessus n’ayant aucun sens dans ce cadre, il eut recours à un subterfuge.

Courbe en cloche de la répartition du QI dans la population. La moyenne est égale à 100 et l’écart-type à 15, ce qui signifie que 34 % des cas sont situés entre 100 et 115 (et symétriquement entre 85 et 100), et que 14 % des cas sont situés entre 70 et 85 (symétriquement entre 115 et 130).

La répartition du QI des enfants suivant une courbe en cloche de moyenne 100 et d’écart-type 15, il supposa qu’il en était de même pour les adultes et étalonna ses tests pour qu’il en soit effectivement ainsi ! Les tests utilisés actuellement descendent de ces tests de Wechsler.

Changement d’utilisation

À la différence de ceux imaginés par Binet, les tests de QI actuels sont plutôt destinés à détecter des personnes à haut potentiel intellectuel, ou que l’on croît tels. Ces tests ont plus d’un effet pervers. S’ils peuvent aider à corriger l’orientation scolaire de certains enfants, supposés inadaptés du fait de leur précocité ou de leur émotivité exagérée, ils peuvent aussi fabriquer des aigris si la réussite ultérieure ne correspond pas à l’intelligence supposée.

L’intelligence est-elle unidimensionnelle ?

Quelle que soit la sophistication de ces tests, on peut douter que l’intelligence puisse être classée selon une seule dimension. Pour commencer, qu’est-ce que l’intelligence ? Bien entendu, on peut répondre comme Binet : l’intelligence est ce que mesurent les tests de QI. Une telle réponse a l’avantage d’être simple et opératoire… et le défaut de ne servir à rien. La question n’est pas aisée car, sans même savoir de quoi il s’agit, il faut être intelligent aussi bien pour définir l’intelligence, que pour en comprendre l’éventuelle définition. De même, il faut ne pas l’être pour croire qu’elle peut se résumer à un nombre fourni par un test. Une définition doit apporter une certaine compréhension du phénomène, et répondre à la question : à quoi sert-il d’être intelligent ? Dans ce sens utilitaire, la définition la plus courante est : l’intelligence est la faculté de s’adapter. Même si des qualités communes sont nécessaires pour cela, il est clair que cela dépend des circonstances. Prenons l’exemple de situations conflictuelles. Une qualité essentielle est de reconnaître qui est votre adversaire, et qui est votre allié potentiel. Cette forme d’intelligence relationnelle est utile dans le commerce, dans l’enseignement comme en politique. Une fois votre adversaire potentiel détecté, il est bon de savoir prévoir l’action qu’il va mener. Nous retrouvons ici la forme d’intelligence privilégiée en mathématiques et dans les tests de QI. Ces deux formes d’intelligence ne sont pas les seules, même si elles sont peut-être les principales. Notre but n’est pas ici d’en faire la liste, le lecteur intéressé pourra consulter les formes d’intelligence de Howard Gardner. En admettant que nous soyons capables de noter exactement chaque être humain sur ces deux formes d’intelligence, pour obtenir une note globale, il est ensuite nécessaire d’attribuer un pourcentage à chacune, ce qui est loin d’être évident. Les tests de QI ont sans aucun doute une utilité mais il est vain d’en faire une mesure de l’intelligence, surtout si on s’entraîne à les passer !

La mesure de l’affinité et des émotions

La logique publicitaire de certains sites de rencontre est simple : l’harmonie dans un couple est question d’affinités ! Certes mais comment la mesurer ? Les sites en question le font au moyen de tests psychologiques où il faut répondre à des questions sur une échelle de 7 ou de 10, l’étalonnement étant laissé à la discrétion de chacun. Les résultats sont surprenants, et n’ont vraiment de valeur que pour les questions matérielles comme l’âge, le niveau d’étude, la consommation de tabac ou d’alcool.

La plus grande difficulté de ces tests est qu’ils sont fondés sur la déclaration de l’individu. Il est ainsi peu probable qu’une personne cherchant une rencontre se dise infidèle, orgueilleux, querelleur, jaloux, etc. De même, il sera bien difficile de connaître son affectivité réelle.

La mathématique des émotions

L’affectivité et le côté émotionnel ont une grande importance dans les choix des personnes, par exemple pour l’achat. La publicité en tient compte, et ne cherche pas à utiliser des arguments rationnels. Les émotions y prennent leur place, et un constructeur automobile n’a pas craint ce slogan : soyez raisonnable, faites-vous plaisir.

C’est pour cela que les études marketing essayent d’en tenir compte, mais comment les mesurer ? On peut le faire par des enquêtes où les personnes remplissent des questionnaires. Elles évaluent alors elles-mêmes leur degré de plaisir ou de déplaisir, de gêne, d’enthousiasme, etc. en face de tel ou tel produit, ou de telle ou telle expérience. Le résultat n’est pas toujours fiable. On peut aussi essayer de prendre des mesures du pouls, ou autres, des consommateurs devant chaque situation. Cependant, les contraintes physiques, qu’une telle méthode implique, faussent les résultats. En général, on décompose les émotions possibles en positives et négatives, par exemple la joie, le plaisir et le bien-être d’un côté, l’inquiétude, la colère et la déception de l’autre. On demande alors à l’individu interrogé de noter chacune de ces émotions de 1 à 7 (ou 10). Les résultats d’une telle enquête demandent à être interprétés, ils ne peuvent fournir directement une note. Ils sont en fait destinés à trouver la cible d’une publicité. Dans ce cadre, ces mesures ont un sens. En déduire une note, comme le font les sites de rencontre, est abusif. Le charme des émotions comme des sentiments est de ne pouvoir être notés.

Comment comprendre le monde moderne sans culture mathématique ? Accéder à celle-ci n’exige cependant pas d’apprendre à résoudre la moindre équation.