L’art de moyenner

Quand on veut calculer la taille moyenne des Français, le principe est simple. On mesure la taille de chaque français de plus de 18 ans (les mesurer depuis la naissance fausserait la moyenne), on fait le total de ces tailles et on divise par le nombre total de Français adultes. On trouve un nombre comme 176 cm qui est donc la taille moyenne des Français adultes. On peut recommencer avec les Françaises, on trouve 163 cm.

Pour calculer la moyenne de la taille des girafes, on ne retient que la taille des adultes. @ Hervé Lehning

La moyenne arithmétique

En mathématiques, on parle de moyenne arithmétique. Par exemple, la moyenne arithmétique des dix nombres du tableau ci-dessous est égale à leur somme 618 divisée par 10 soit 61,8.

82

71 98 64 77 39 86 69 22

10

La vitesse moyenne

Prenons l’exemple du calcul d’une vitesse moyenne sous la forme d’une petite énigme :

Deux villes A et B sont distantes de 100 km, un automobiliste effectue le trajet de A à B en une heure et le retour en deux heures. Quelle est sa vitesse moyenne ?

Comme le premier trajet s’effectue à 100 km/h de moyenne et le retour à 50 km/h, on peut être tenté de faire la moyenne arithmétique des deux nombres et répondre 75 km/h. En fait, ce résultat est faux. Un raisonnement plus correct consiste à dire que l’automobiliste a parcouru 200 km en trois heures et donc que sa vitesse moyenne a été de 200 / 3 = 67 km/h (en arrondissant). La différence est notable.

La moyenne harmonique

Cette nouvelle moyenne, adéquate pour calculer les vitesses, est appelée la moyenne harmonique. Si on considère une suite finie de n nombres a, b, etc. les moyennes arithmétique et harmonique A et B sont données par les formules :

A = (a + b + …) / n   et   1 / H = (1/a + 1/b + …) / n

Il existe toute sorte d’autres moyennes correspondantes chacune à la nature des quantités à moyenner. On ne moyenne pas de même des longueurs, des poids, des vitesses, des températures, etc.

Les messages chiffrés du Figaro en 1890

En 1890, le Figaro contenait une rubrique de correspondances personnelles dont certains messages étaient a priori incompréhensibles. Voici une partie de ceux du premier janvier :

La rubrique correspondances personnelles du Figaro, du premier janvier 1890. @ BNF

Chiffre de César

Parmi des messages écrits en style télégraphique, nous en trouvons deux, manifestement entièrement chiffrés. Dans le premier, bonne année est devenue cpoof booff. Autrement dit, il s’agit d’un simple décalage (ou chiffre de César) et le tout signifie : Bonne année d’un ami bien malheureux.

Substitution alphabétique

Le message suivant (d’indicatif LILI) est bien plus intéressant à décrypter. De prime abord, nous pouvons juste penser que le chiffre 2 représente e, du moins si la méthode de chiffrement utilisée est une substitution alphabétique car il s’agit du symbole majoritaire. Heureusement, en feuilletant le Figaro des jours suivants, nous rencontrons un grand nombre de messages sous le même indicatif LILI. Nous nous arrêtons naturellement le douze janvier sur un message à moitié chiffré, une erreur classique de chiffrement.

La rubrique correspondances personnelles du 12 janvier 1890 dans le Figaro. @BNF

Écrit en style télégraphique, le message commence par votre pensée ne me quitte pas, est tout mon bonheur, voudrais vous voir, la suite qu’on veut cacher est 32. u. 13. n2. La disposition des deux 2 nous fait penser à je t’aime si i et j sont assimilés comme ils le sont en latin. Les chiffres 1, 2 et 3 représentent donc les voyelles a, e et i, les lettres u et n représentent t et m. La méthode de chiffrement semble être de représenter chaque voyelle par son numéro d’ordre et chaque consonne par la lettre qui la suit. Pour vérifier cette hypothèse, nous revenons au message du premier janvier :

1.w. m2. qs2n32s n2t w25y c400. 100. w45e. 2us2. u. qs2t e w. o. q20t r s2w.

En le déchiffrant selon la méthode que nous venons d’exposer, on obtient une phrase en style télégraphique :

a v le premier mes veux bonn ann voud etre t pres d v n pens q rev

ce qui signifie probablement :

À vous le premier, mes vœux de bonne année. Je voudrais être tout près de vous. Ne pense qu’un rêve !

Même si une erreur a pu se glisser dans la dernière phrase, le sens des deux premières prouve que notre hypothèse est correcte. De façon étonnante, la méthode de décryptement fonctionne pour un autre message du douze janvier, celui portant l’indicatif Bleuet :

 Complètement rétabli. Rentre à Paris semaine prochaine, je serai heureux de pouvoir vous voir mercredi 4 h. Mille amitiés.

Intérêt

Au-delà des curieux, ces messages chiffrés pourront intéresser les historiens qui y verront un témoignage des rapports humains à cette époque, surtout de ceux que l’on souhaitait cacher.

La balustrade hyperbolique du jardin du Luxembourg

Au Luxembourg, des balustrades circulaires du XVIIIe siècle ferment la perspective des jardins.

Rien que des coniques

On les voit donc sous forme de coniques, c’est-à-dire de sections planes d’un cône.

Balustrade hyperbolique au Luxembourg © Hervé Lehning

Vues de l’intérieur, il s’agit donc d’une hyperbole parfaite, que l’on peut comparer avec la bouche d’égout elliptique au sol. La parabole quant à elle appartient au monde des idées, cas limite entre l’hyperbole et l’ellipse, que l’on pourrait voir en se positionnant parfaitement sur la colonnade.

Décrypter l’art concret

Philippe Leblanc a exposé chez Philomuses, au quartier latin à Paris, une série d’œuvres a priori abstraites. Les titres même font mystère. Par exemple, la suivante se nomme Chinacci 25.

Chinacci 25 © Philippe Leblanc

L’écriture chinoise ancienne des nombres

En lisant le tableau en colonne, le mathématicien sera frappé par la régularité des premiers termes : 1, 1, 2, 3, 5 où chaque nombre est la somme des deux précédents. Le suivant peut facilement être interprété comme un 8. De fait, le tableau de Philippe Leblanc utilise un système d’écriture des nombres inventé en Chine quelques siècles avant Jésus-Christ. À cette époque, les Chinois comptaient au moyen de baguettes et non de bouliers comme plus tard. Ils imaginèrent ainsi une façon d’écrire les nombres. Pour cela, ils utilisaient deux notations qu’ils alternaient pour éviter les confusions entre unités, dizaines, centaines, etc. Voici donc les chiffres de 1 à 9 écrits de deux façons différentes.

La suite de Fibonacci

On s’aperçoit ainsi que le tableau représente les 25 premiers termes de la suite de Fibonacci, le dernier terme en bas à droite du tableau valant 75025. Le titre de l’œuvre prend alors son sens, Chinacci 25 étant une contraction de Chinois-Fibonacci, 25 premiers termes. Après cette première analyse, on peut se demander ce que signifient les différences de couleurs, entre jaune et bleu. Pour le voir, il faut réaliser que les bâtons de l’œuvre sont découpés au laser dans une tôle d’acier, qui cache une boîte lumineuse. C’est le fond de cette boîte qui est peinte selon plusieurs bandes verticales dont les largeurs suivent également la suite de Fibonacci : une bande de largeur X en jaune, une deuxième bande de largeur X en bleu foncé, une bande de largeur 2X en jaune orangé, une quatrième bande de largeur 3X en bleu clair. La deuxième œuvre Mayanacci 25  s’éclaire alors d’elle-même.

Mayainacci 25 © Philippe Leblanc

La suite de Fibonacci s’y écrit en lignes puisque la première se lit 1, 1, 2, 3 en comptant les points. La barre qui suit signifie alors probablement 5. On peut ainsi décrypter les nombres suivants. Il s’agit en fait de l’écriture des nombres qu’utilisaient les Mayas, en base vingt. Les unités, les vingtaines, etc. s’empilent de bas en haut. Les couleurs respectent une règle différente de celle du tableau précédent puisque, dans chacune des cinq lignes et des cinq colonnes, on trouve une et une seule fois chacune des cinq couleurs présentes.

Toutes les mathématiques du monde

Un pari : présenter le côté culturel des maths sans se perdre dans la technique

Mon pari, en écrivant Toutes les mathématiques du monde, était de présenter ce que sont les mathématiques sans entrer dans la technique. Comment ont-elles évolué de questions concrètes comme le dénombrement et l’arpentage jusqu’à devenir l’archétype de l’abstraction ? Pourquoi ont-elles envahi le monde contemporain ? Peut-on comprendre ce monde sans culture mathématique ? Suivre un simple débat sans cela ? Notre réponse est « non » mais cette culture mathématique est accessible à tous, sans pour autant devenir un spécialiste.

Les colombes givrées

Ce glaçon étrange, que j’ai nommé les colombes givrées s’était détaché d’un glacier pour tomber dans un fjord et était venu s’échouer sur une plage où je venais de débarquer. Un rayon de soleil illuminait cette œuvre d’art éphémère que le hasard avait façonnée, l’art consistait à trouver le bon angle permettant de capturer la lumière malgré la légère pluie qui tombait.

Les colombes givrées © Hervé Lehning

Le glacier à l’origine du glaçon

Voici le front du glacier d’où s’échappent les glaçons plus ou moins gros :

Le front du glacier © Hervé Lehning

Comme on peut le voir sur cette photographie, la vie animale est riche à l’endroit où le glacier se jette dans la mer. Les oligo-éléments charriés par le glacier attirent le plancton, qui attire le poisson, qui attire des oiseaux pêcheurs et quelques phoques.

Pythagore : la belle démonstration de Léonard de Vinci

En page 72 de mon livre, Toutes les mathématiques du monde, je laisse le lecteur découvrir la belle démonstration du théorème de Pythagore par Léonard de Vinci à travers un simple dessin. ABC y est un triangle rectangle original, ACDE le carré construit sur son hypoténuse, ABFG et BCIH les carrés construits sur les côtés de l’angle droit.

L’idée de Léonard

L’idée originale de Léonard de Vinci est d’introduire deux triangles rectangles égaux à ABC supplémentaires DEJ et FHB. Voici un exposé détaillé de sa façon de s’en servir.

Les deux quadrilatères ABJE (en bleu) et DJBC (en vert) sont égaux car ils se superposent au moyen d’une rotation de 180°. La somme de leurs aires est égale à celle du carré construit sur l’hypoténuse plus deux fois celle du triangle rectangle.

On retrouve les mêmes quadrilatères en AGIC et FGIH sur le côté droit. Dans ce cas, ils se superposent par symétrie d’axe IBG. La somme de leurs aires est égale à la somme des aires des carrés construits sur les côtés de l’angle droit plus deux fois celles du triangle rectangle. On en déduit que l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les côtés de l’angle droit, c’est-à-dire le théorème de Pythagore.

 

Le code des éventails

Dame avec un éventail © Gustav Klimt

À l’époque où les jeunes filles de la cour d’Espagne étaient très surveillées, elles inventèrent un code fondé sur la position et les mouvements de leurs éventails, qui devinrent ainsi des instruments de séduction. Par exemple, le placer près du cœur signifiait « tu as gagné mon amour », bouger l’éventail entre les mains, « je te hais », le faire glisser sur la joue pour aller jusqu’au menton, « je t’aime », le placer sur les lèvres, « embrasse-moi ». Il existait ainsi une trentaine de codes, assez pour faire passer ses sentiments et ses envies à celui qui est face à vous. La connaissance de ces codes est utile pour comprendre certains films, même si les mimiques peuvent aussi suggérer le message. Il s’agit d’une sorte de cryptographie gestuelle.

Sur la toile de Klimt, la façon dont la femme tient son éventail signifie « tu as gagné mon amour ». L’histoire ne dit pas si Klimt l’a placé ainsi volontairement.

Extrait du code

 

S’éventer lentement Je suis mariée
… rapidement Je suis fiancée
Laisser l’éventail reposer sur sa joue droite Oui
…  sur sa joue gauche Non
Tenir l’éventail dans la main droite Vous êtes entreprenant
Maintenir l’éventail sur l’oreille gauche Laissez-moi tranquille
Tournoyer l’éventail avec la main droite J’en aime un autre
… avec la main gauche Nous sommes surveillés
Toucher avec le doigt sa partie haute Je voudrais te parler
Descendre l’éventail, le laisser pendre Nous serons amis
Le placer devant le visage en main gauche À quoi penses-tu ?
… avec la main droite Suis-moi
Le tenir en main gauche face au visage Je désire un entretien
Le porter ouvert dans la main gauche Allons parle-moi
Ouvrir complètement l’éventail Attends-moi
L’éventail placé près du cœur Tu as gagné mon amour
Bouger l’éventail autour de la joue Je t’aime
Cacher ses yeux derrière l’éventail ouvert Je t’aime
Rendre l’éventail fermé M’aimes-tu ?
Le glisser sur la joue jusqu’au menton Je vous aime
Porter l’éventail ouvert dans la main droite Je suis très amoureuse
L’éventail moitié ouvert posé sur les lèvres Peux-tu m’embrasser ?
Placer l’éventail sur les lèvres Embrasse-moi
Tourner l’éventail avec la main gauche On nous voit
Le fermer complètement ouvert, lentement Je promets de t’épouser
Le fermer en se touchant l’œil droit Quand te verrai-je ?
Le nombre de branches ouvertes donne… La réponse à la question
Mouvement menaçant, éventail fermé Ne sois pas imprudent
Le placer ouvert devant l’oreille gauche Cache notre secret
Bouger l’éventail autour du front Tu as changé
Approcher l’éventail autour des yeux Je suis désolée
Ouvrir et fermer l’éventail plusieurs fois Tu es cruel
Placer l’éventail derrière la tête Ne m’oublie pas
Les mains jointes serrant l’éventail ouvert Oublie-moi !
L’éventail derrière la tête, doigts tendus Au revoir, adieu
Bouger l’éventail entre les mains Je te hais

 

Rencontre en descendant du Pelvoux

Chamois surpris en descendant du Pelvoux © Hervé Lehning

 

Sur les sentiers de montagne, on rencontre souvent des promeneurs armés de jumelles essayant de distinguer quelques chamois au loin, sur les sommets. Nul ne semble espérer voir un chamois de très près.

L’art de surprendre un chamois

C’est cependant plutôt facile en tenant compte de plusieurs caractéristiques de cet animal. Premièrement, même si sa vue n’est pas si mauvaise quand il s’agit de repérer un animal en mouvement, il distincte mal un objet immobile. Par exemple, le jeune chamois sur la photo ci-dessus se doute visiblement de ma présence mais n’arrive pas à me distinguer car je me suis immobilisé, même si je me tiens debout à une dizaine de mètres de lui. J’ai pu m’approcher d’aussi près car je me suis déplacé contre le vent pour qu’il ne me sente pas, de plus le vacarme d’un torrent en contrebas ne lui a pas permis pas de m’entendre. Deux personnes bruyantes arrivant de l’autre côté l’ont fait s’enfuir quelques minutes plus tard. Elles ont été étonnées d’apprendre qu’un chamois broutait tranquillement quelques instants plus tôt au lieu même où elles se trouvaient.

Un porte-avions en altitude et sa clothoïde

La méthode la plus rapide pour se rendre à Namché Bazar, puis vers l’Everest et d’autres sommets himalayens, est de prendre l’avion de Kathmandou à Lukla, ville située à 2900 mètres d’altitude, sur un piton rocheux. Il est possible ensuite de se rendre à Namché Bazar en une ou deux étapes à pied.

La piste de l’aéroport de Lukla. © Hervé Lehning

L’arrivée sur l’aéroport est impressionnante. De loin, la piste ressemble à celle d’un porte-avions perché en altitude. Le bout de piste est au sommet d’une barre rocheuse de 700 mètres de haut. Après quelques dizaines de mètres à plat, elle s’incline de 15 % pour redevenir horizontale au niveau du parking, après 350 mètres. La pente permet un atterrissage plus court. En observant la piste, on remarque qu’elle s’incurve progressivement. Quelle est la courbe empruntée entre les deux morceaux droits ?

Raccordement entre deux droites par un cercle.

La première partie permet la prise de contact avec le sol mais le freinage se fait essentiellement dans la partie en pente. Bien entendu, il n’est pas question de raccorder brutalement les deux droites. On peut imaginer de le faire au moyen d’un cercle de rayon R comme sur la figure ci-dessus. Dans ce cas, l’avion serait soumis brutalement à une accélération centrifuge égale à V2 / R où V est sa vitesse, ce qui aurait comme conséquence de le déstabiliser.

Une clothoïde

Il est donc nécessaire de raccorder les deux droites avec le cercle, exactement comme on le fait pour les voies de chemin de fer ou les échangeurs d’autoroutes. La courbe la plus souvent utilisée pour cela est une clothoïde, obtenue en faisant varier la courbure (l’inverse du rayon) linéairement entre 0 (pour la droite) et 1 / R (pour le cercle).

Une clothoïde