La spirale logarithmique, une courbe zoologique ?

La même courbe se retrouve-t-elle dans les galaxies, certains mollusques et les toiles d’araignées ? Enquête sur la spirale logarithmique.

La spirale d’Archimède

Imaginez ! Une droite tourne à vitesse angulaire constante autour d’un point O. Si, partant de O, un point M parcourt cette droite à vitesse constante, on obtient une spirale d’Archimède. On démontre facilement que les spires y sont régulièrement espacées.

Spirale d’Archimède. Elle est engendrée par un point mobile M partant d’un point O, à vitesse constante sur une droite tournant à vitesse angulaire constante autour de O.

La spirale logarithmique

Si, toujours partant de O, le point M parcourt la droite à une vitesse proportionnelle à la longueur OM, il dessine une autre courbe, appelée spirale logarithmique depuis Pierre Varignon (1654 – 1722) mais étudiée auparavant par René Descartes (1596 – 1650) avant d’être choisie par Jacques Bernoulli (1654 – 1705) pour orner sa tombe. Malheureusement, le sculpteur ignorait cette courbe et grava une spirale d’Archimède.

 

Spirale logarithmique. Elle est engendrée par un point mobile M partant d’un point O, à vitesse proportionnelle à OM sur une droite tournant à vitesse angulaire constante autour de O.

Au lieu d’être régulièrement espacées, les spires suivent une progression géométrique de raison constante. Autre propriété de la spirale : elle coupe le rayon OM suivant un angle constant.

Inscription sur la tombe de Jacques Bernoulli, avec la spirale en bas.
Sur cet agrandissement, on voit que le sculpteur a gravé une spirale d’Archimède et non une spirale logarithmique. L’inscription latine « eadem mutata resurgo » signifie « déplacée, je réapparais à l’identique ».

Le développement du nautile

Le nautile est un mollusque marin dont la coquille est en forme de spirale. L’espace entre les spires étant triplé à chaque enroulement, elle évoque une spirale logarithmique. Pour examiner si cette forme est fortuite ou non, il est nécessaire d’en comprendre la provenance.

Coupe d’un nautile faisant apparaître une forme de spirale logarithmique.

La coquille du nautile est divisée en chambres closes, l’animal n’occupant que la dernière. Les autres sont remplies d’un mélange de liquide et de gaz, toutes communiquent entre elles au moyen d’un siphon.

Nautile vivant. L’animal n’occupe que la dernière chambre. Il se déplace d’avant en arrière en expulsant de l’eau du côté de sa bouche.

Ces chambres correspondent à l’évolution progressive du mollusque. Quand il grossit, ne pouvant agrandir la chambre où il se trouve, il en crée une autre dans son prolongement, un peu plus grosse mais semblable.

Pour montrer que cette idée mène effectivement à une spirale logarithmique, prenons comme modèle de la coquille une suite de triangles rectangles d’angle au sommet constant égal à 30°. Le rapport entre un triangle et son suivant est de 115 % (l’inverse du cosinus de 30° soit 2  divisé par racine de 3 pour être précis), ce qui correspond bien à une spirale logarithmique. L’idée correspond à un accroissement progressif de la taille de l’animal. Il n’est pas besoin d’imaginer de plans compliqués inscrits dans les gènes du nautile pour cela, juste une façon de croître.

Suite de triangles rectangles formant une (approximation de) spirale logarithmique.

La spirale logarithmique se retrouve pour les mêmes raisons dans d’autres animaux, comme la planorbe, un escargot marin très utilisé dans les aquariums car il se nourrit d’algues et de plantes à la limite du pourrissement.

Une coquille de planorbe en forme de spirale logarithmique.

Les toiles d’araignées

La toile d’araignée est avant tout un piège destiné à attraper des insectes. Certaines espèces tissent des toiles où il est bien difficile de reconnaître la moindre régularité.

Il n’est pas facile de reconnaître la moindre courbe mathématique dans cette toile d’araignée. En revanche, sans le soleil en contre jour, il est difficile de la détecter.

Les espèces les plus communes en France, les épeires, fabriquent cependant des toiles en forme de spirales. Après avoir bâti un cadre entre quelques branches, l’araignée tisse un réseau régulier de segments rectilignes partant tous d’un même point. Un fois ce travail fini, elle forme une spirale en les reliant. Le célèbre entomologiste Jean-Henri Fabre (1823 – 1915) a voulu y reconnaître une spirale logarithmique, tout en remarquant que l’action de la pesanteur transformait chaque segment en chaînette, la forme que prend naturellement un fil pesant comme les câbles électriques ou les chaînes que l’on porte autour du cou.

Cette toile d’épeire laisse plus penser à une spirale d’Archimède qu’à une spirale logarithmique. On y remarque également les segments transformés en chaînette sous l’effet de la pesanteur.

Les mathématiques des épidémies

Le passé a connu des épidémies terribles comme les pestes du Moyen-Âge. Avant qu’on comprenne leur mode de transmission, les hommes étaient incapables de s’en prémunir. Quand on le comprit, on put opérer des mises en quarantaine. Enfin, la solution vint avec les vaccinations, qui permettent de réduire le nombre de gens susceptibles de contacter une maladie. Cela suffit pour éviter une épidémie, comme l’explique le modèle SIR.

Le modèle SIR

William Kermack (1898 – 1970) et Anderson Mac Kendrick (1876 – 1943).

William Kermack et Anderson Mac Kendrick ont modélisé les épidémies en 1927. Leur modèle compartimente la population en trois classes : S, la classe des individus susceptibles d’attraper la maladie, I, celle de ceux qui en sont infectés (et contagieux) et R, ceux qui en sont revenus ou morts. Dans les deux cas, ces derniers sont immunisés et ne contamineront plus personne. Le modèle SIR considère l’évolution de ces trois classes dans le temps en fonction de deux taux mesurables expérimentalement. Le premier (a) est le taux de contagion de la maladie pour un infecté, c’est-à-dire la probabilité pour qu’un individu susceptible attrape la maladie après contact avec un individu infecté. Le second taux (b) mesure le passage de l’état I à l’état R. Après un laps de temps Δt, on compte a I S Δt infectés supplémentaires et R augmente de b I Δt. La variation du nombre d’infectés est donc égale à a S – b multiplié par I Δt. La condition pour que la maladie se propage (et donc donne lieu à une épidémie) est que le nombre de malades infectés augmente, c’est-à-dire que a S – b > 0. Le quotient b / a a donc valeur de seuil. Si le nombre de sujets susceptibles est inférieur à ce seuil, la maladie ne s’étend pas. Sinon, elle donne lieu à une épidémie (ou à une épizootie).

Un effet de seuil

D’une façon qui peut paraître paradoxale, l’apparition d’une épidémie ne dépend donc pas du nombre de personnes infectées, mais du nombre de personnes susceptibles d’attraper la maladie !

La vaccination permet de passer en dessous du seuil qui permet une épidémie.

Cette remarque justifie à elle seule les politiques de vaccination, même avec un vaccin peu efficace. Pour éviter une épidémie, c’est le nombre d’individus susceptibles d’attraper la maladie qu’il faut diminuer ! Ce nombre dépend de chaque maladie. Pour la rougeole, pour éviter l’épidémie, une couverture vaccinale de 95 % est nécessaire, ce qui n’est plus assuré en France du fait de campagnes obscurantistes antivaccins. La France a donc la honte d’exporter la rougeole dans des pays comme la Suisse ou le Costa Rica.

Le théorème du moustique

Cela justifie aussi le théorème du moustique découvert par Ronald Ross (1857 – 1932) en 1911, et selon lequel il n’est pas besoin d’éliminer tous les moustiques pour éradiquer le paludisme, il suffit d’en faire passer la population sous un certain seuil. Cette découverte a précédé sa justification théorique au moyen du modèle SIR. Auparavant, le lien entre les marécages et le paludisme était connu, comme le montrent les tentatives de drainage des marais Pontins près de Rome de l’Antiquité jusqu’au XIXe siècle. De même, le paludisme a disparu de France, où il était autrefois endémique dans les régions humides comme la Sologne, le marais Poitevin et même autour de Port-Royal des Champs, au cours du XIXe siècle grâce au drainage et non à la consommation de Quinquina, un apéritif à base de Quinine, un préventif du paludisme, comme cela a été parfois affirmé !

 

Sornettes sur la planète

Les scientifiques essayent d’expliquer le monde dans lequel ils vivent, en utilisant du mieux qu’ils le peuvent leurs connaissances, fondées sur l’observation. Cela n’a pas été toujours sans difficultés, erreurs et tâtonnements en fonction des savoirs du moment. Ainsi en a-t-il été de la forme de la Terre ou de sa position et de son mouvement dans le système Solaire.

Le goût des métaphores

Aux époques où l’érudition, et le savoir en général, était, dans chaque pays, détenu par les autorités religieuses, les débats se sont souvent enlisés dans des joutes stériles entre rationnel et irrationnel. Les religions se sont, en général, construites sur des écrits d’époques reculées ou l’emploi de métaphores était courant. Ainsi l’affirmation que l’on trouve au chapitre 5 de l’évangile de Matthieu « vous êtes le sel de la Terre » n’indique pas que les disciples de Jésus étaient faits en sel et non en chair et en os ! Il en est de même des quatre coins de la Terre !

Le géocentrisme fait de la résistance

Représentation géocentrique de l’univers. La Bible le justifie par un court verset du livre de Josué (10-13) où le soelil s’arrête pour permettre la victoire d’Israël.

Ces époques lointaines devraient être révolues car si la fabrication du savoir est entre les mains de scientifiques de plus en plus performants, la connaissance que l’on a de ce savoir est maintenant l’affaire de chacun, de sa propre culture et de son accès à l’information. Quelques cas resteront cependant irréductibles : en 1999, année de l’éclipse totale de Soleil en France, j’ai été pris à parti un jour dans un café, par un consommateur qui croyait encore et doit croire toujours que le Soleil tourne autour de la Terre. Mais, hélas, la crédulité des uns fait le bonheur des autres.

La Terre est plate !

Les peuples de marins peuvent difficilement ignorer que la Terre est ronde. Même par ciel dégagé, les bateaux disparaissent graduellement derrière l’horizon. Ceci ne s’expliquerait pas si la Terre était plate. En revanche, si elle est sphérique, c’est logique. De nos jours, nous disposons d’une preuve qui semble incontournable : les photographies prises de l’espace.

 

Photographie de la Terre prise de l’espace.

Pour certains, cela prouve simplement l’existence d’un complot international pour faire croire que la Terre est ronde ! L’obscurantisme a toujours fait recette à travers les siècles. D’autres sont des personnes cultivant un sens de l’humour atypique. Ainsi, on peut lire sur internet, plaisanterie ou délire ?

La Terre est plate, elle a la forme d’un disque avec, au centre, le Pôle Nord et les continents groupés autour de lui sauf l’Antarctique qui correspond en fait à la circonférence du disque. Personne n’est jamais tombé du disque car personne n’a jamais pu traverser l’Antarctique…

La Terre plate avec le pôle nord en son centre et le pôle sud comme montagne frontière empêchant les océans de se déverser à l’extérieur.

Les expériences d’un ingénieur anglais

Au XIXe siècle, un ingénieur anglais et original, Samuel Rowbotham (1816 – 1864) décida de réaliser des expériences pour décider si la Terre était ronde ou plate. L’idée était de vérifier, en utilisant un télescope, si une rivière, la Bedford, en l’occurrence s’incurvait ou pas. Si la Terre est bien ronde, on ne peut voir un bateau plat sur une rivière à plus de cinq kilomètres… or Rowbotham réussit à en voir un à plus de dix kilomètres ! Preuve que la Terre est plate ? Non, sans doute mais l’expérience est troublante… En fait, elle s’explique par la réfraction de la lumière, le phénomène qui explique les mirages dans le désert. Même si notre ingénieur était animé d’un esprit malicieux, sa démarche était sans contexte de nature scientifique… et son expérience ne fait que raffermir la théorie selon laquelle la Terre est ronde.

La Terre est creuse !

L’existence de vastes cavernes souterraines est une évidence. Tous les spéléologues peuvent en témoigner. Les théories selon lesquelles certaines seraient occupées par des animaux fantastiques ou des civilisations intra-terrestres sont plus hasardeuses. C’est parfait quand elles ne sont que l’occasion d’œuvres littéraires fantastiques, comme chez Jules Verne et son Voyage au centre de la Terre et chez Edgar Jacobs et L’énigme de l’Atlantide.

C’est beaucoup plus ennuyeux quand certains commencent à croire à une Terre réellement creuse et habitée à l’intérieur. Au XVIIe siècle, l’astronome Edmund Halley, celui qui prédit correctement le retour de la comète qui depuis porte son nom, a envisagé une Terre creuse faite de plusieurs coquilles séparées par des atmosphères. Son but était d’expliquer des anomalies dans le champ magnétique. L’hypothèse d’une atmosphère lumineuse à l’intérieur de la Terre expliquait de plus les aurores boréales en s’échappant vers l’extérieur… d’où l’hypothèse d’entrées au niveau des pôles. Halley alla jusqu’à émettre l’hypothèse que ces trois mondes intérieurs pouvaient être habités.

Modèle de Terre creuse.

Cette hypothèse n’a pas convaincu ses collègues scientifiques de l’époque… mais plaît davantage à toutes sortes d’ésotériques modernes. Certains voient même un soleil intérieur et des habitants vivants dans un monde concave, donc les pieds en l’air, ce miracle ayant lieu grâce à la force centrifuge. Bien entendu, la physique nous apprend que c’est impossible !

L’annulation du champ magnétique

Le champ magnétique terrestre s’inverse avec une période fluctuant entre quelques milliers et quelques millions d’années, c’est-à-dire que le pôle nord magnétique est parfois au pôle nord géographique, parfois au pôle sud. La polarité des roches magmatiques, qui dépend du champ magnétique à l’époque de leur solidification, montre que celui-ci s’est inversé plusieurs fois. Que se passe-t-il entre ces deux phases ? Si un champ passe de la valeur –1 à la valeur +1 de manière continue, il semble clair qu’il doit passer par 0 entre les deux. Quand le champ est annulé, le pire devient probable sinon certain, car le magnétisme terrestre est une protection contre les bombardements cosmiques ! On ne peut cependant pas attribuer les principales extinctions de masse (celle du Permien, celle des Dinosaures ou celle des Mammouths) à une inversion du champ magnétique terrestre, comme certains l’ont proposé, car les dates ne correspondent pas ! De plus, un champ continu sur une sphère peut s’inverser sans jamais s’annuler. Il s’agit d’un résultat mathématique. En revanche, il est exact qu’une valeur réelle continue ne peut changer de signe sans s’annuler. Le danger de l’annulation du champ magnétique terrestre est un mythe.

La Terre, être vivant !

Le souffle de Gaïa par Josephine Wall.

1979, un chimiste, James Lovelock, puisant dans la mythologie, assimila la Terre à un organisme vivant, qu’il nomma Gaïa, du nom de la déesse grecque qui personnifie notre planète. En fait, son idée personnelle n’était pas aussi radicale. Il voyait plutôt l’atmosphère terrestre comme un système autorégulé, pas comme un être vivant. Malheureusement, comme on pouvait s’y attendre, cette idée a suscité un bon nombre de dérives mystiques aussi dangereuses qu’inconséquentes. Nous voyons les dangers d’une déification de notre planète ! Respecter notre environnement est une chose, sacrifier l’humanité à une soi-disant déesse en est une autre.

Si le fragile vaisseau Terre doit être préservé, c’est essentiellement pour offrir à l’humanité qui y vit la meilleure chance de se développer.