Archives pour la catégorie Énigmes

Le carré Luoshu

La première référence à un carré magique est une légende chinoise associée à la rivière Luohe, un affluent du fleuve Jaune, qui eut son heure de gloire pendant le millénaire précédant notre ère, quand la ville de Luoyang, bâtie sur ses rives, était capitale de la Chine. Ses multiples versions parlent toutes d’une tortue portant d’étranges inscriptions sur son dos.

Une tortue légendaire

Pour calmer le dieu de la rivière, à chaque inondation, les habitants d’un village menacé d’être englouti lui offraient des sacrifices en vain. Cependant, ils remarquèrent qu’à chaque fois, une tortue venait sur les lieux du sacrifice et repartait. Le dieu du fleuve n’en tenait cure jusqu’à ce qu’un jour, un enfant remarqua des formes curieuses sur le dos de l’animal.

Dos de la tortue selon la légende

Dans chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale, le nombre était le même. Ainsi, les villageois comprirent que le dieu du fleuve demandait quinze sacrifices, et purent l’apaiser…

Les carrés magiques

Ce carré est depuis appelé « carré Luoshu » du nom de la rivière. Il a vite conquis le Moyen-Orient puis la Grèce où il était connu de Pythagore. Il est toujours utilisé comme amulette porte-bonheur et dans des exercices divinatoires. De nos jours, ces carrés où les sommes des nombres des lignes, colonnes et diagonales sont identiques sont appelés « carrés magiques », preuve de l’antique croyance. On peut de plus ajouter une contrainte, celle de n’utiliser que les premiers nombres donc ceux de 1 à 9, dans le cas d’un carré d’ordre trois, et ceux de 1 à 16 pour ceux d’ordre quatre. Avec cette dernière contrainte, il n’existe aucun carré d’ordre deux : vous pouvez disposer les nombres de 1 à 4 comme vous le voulez, le carré formé ne sera jamais magique. De ce fait, les pythagoriciens en faisaient un symbole du chaos. Aux symétries près, le carré d’ordre trois est unique, c’est le Luoshu (voir à la fin de cet article). De nos jours, les ésotériques préfèrent l’écrire de façon à faire apparaître le nombre 618 en première ligne car ce sont les premières décimales du nombre d’or. Pour eux, il devient ainsi doublement magique.

Le carré magique d’ordre 3

Carré magique d’ordre 3 faisant apparaître les décimales du nombre d’or.

Schéma de preuve

Si les cases du carré contiennent tous les nombres de 1 à 9, la somme de toutes les cases est 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9, c’est-à-dire 45. Les sommes de toutes les rangées et des diagonales sont donc égales à 45 divisé par 3, soit 15. Selon leur place, les nombres participent à 4, 3 ou 2 sommes égales à 15. En partant d’un nombre initial, comme 1, nous examinons le nombre de décompositions donnant 15 en tout. Pour 1, il en existe deux : 9 + 5 et 8 + 6. En opérant ainsi, nous obtenons le tableau :

Ce tableau permet de remplir le carré.

Les rubans de Pascal

Blaise Pascal (1623 – 1662) a inventé une méthode ingénieuse pour calculer le reste d’une division (sans l’effectuer) et donc de tester la divisibilité d’un nombre par un autre, que nous nommerons n dans la suite de cet article.

Une suite de restes

Pascal considère la suite des restes des puissances de 10 par n en commençant par 0, pour n = 7, cela donne :

puissances 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
restes 1 3 2 6 4 5 1 3 2 6 4 5 1 3

 

En effet, le reste de 1 est 1, celui de 10 est 3, celui de 100 est 2 (puisque 100 = 14 x 7 + 2), etc. La suite des restes est périodique. Ce résultat n’est pas lié au nombre 7, il est général. Cette suite est appelée le ruban de Pascal associé au nombre 7.

Calcul du reste d’une division

A partir de ce ruban, pour calculer le reste de la division par 7 d’un nombre comme 348, on écrit les décimales de 348 dans l’ordre inverse en dessous du début du ruban :

ruban 1 3 2
nombre 8 4 3
calculs 8 12=5 6 8+5+6=5

 

On effectue d’abord les multiplications en colonnes de 1 par 8, 3 par 4 et 2 par 3. On retranche autant de fois 7 que possible, donc 12 est remplacé par 5. On additionne alors les résultats obtenus et on retranche à nouveau autant de fois 7 que possible, on trouve 5 qui est le reste de la division de 348 par 7.

Pourquoi ? Cela vient des règles de calcul sur les nombres modulo 7 (c’est-à-dire en ne gardant à chaque étape que le reste dans la division par 7). On part de 348 = 3.102 + 4.101 + 8.100. En remplaçant, les puissances de 10 par leurs restes, on obtient 348 = 3.2 + 4.3 + 8.1 mod 7. On effectue les multiplications et les additions en retranchant 7 autant de fois qu’on peut et on a montré le bien fondé de l’algorithme utilisé ainsi que sa généralité.

On peut ainsi calculer très rapidement le reste des divisions de très grands nombres, comme celui de 56 218 491 par 7.

ruban 1 3 2 6 4 5 1 3
nombre 1 9 4 8 1 2 6 5
calculs 1 27=6 8=1 48=6 4 10=3 6 15=1 0

On trouve rapidement que le reste est égal à 0 donc que 56 218 491 est divisible par 7. Le test de divisibilité par 7 est donc de même nature que le test de divisibilité par 9 : au lieu de faire la somme des chiffres, on en fait une combinaison linéaire dont les coefficients sont ceux du ruban de Pascal. Il en est de même pour tous les nombres.

Divers rubans

Pour utiliser cette technique, il est bon de disposer d’un certain nombre de rubans. Voici ceux des nombres premiers inférieurs à 20 où on s’est arrêté à la partie périodique :

 

Nb
2 1 0
3 1 1
5 1 0
7 1 3 2 6 4 5 1
11 1 10 1
13 1 10 9 12 3 4 1
17 1 10 15 14 4 6 9 5 16 7 2 3 13 11 8 12 1
19 1 10 5 12 6 3 11 15 17 18 9 14 7 13 16 8 4 2 1

 

On peut ainsi facilement déterminer le reste d’un nombre comme 521 365 941 dans la division par 19.

1 10 5 12 6 3 11 15 17
1 4 9 5 6 3 1 2 5
1 40=2 45=7 60=3 36=17 9 11 30=11 85=9 1+2+7+3+17+9+11+11+9=13

Le reste de 521 365 941 dans la division par 19 est donc 13.

 

Une carte à Léa

Une carte postale adressée à une jeune fille nommée Léa chez ses parents le 27 janvier 1905 a de quoi surprendre car elle ne comporte que des  nombres séparés de points ou de tirets.

Transcription de la carte

Le texte est constitué de nombres entre 2 et 25, qui représentent sans doute des lettres de l’alphabet, séparés par des points et des tirets. Les tirets séparent probablement les mots entre eux. Nous le reproduisons ici en remplaçant les tirets par des espaces :

25.22     21.2.8.8.24     7.22.4.19.2.20.20.24     25.2.23       5.24   12.9.24   17.24   18.22.23   24.5.4.23.18 17.24   20.22.14.22.23.8 4.23.24.20   4.24.5.9   19.24.7.9.23.8   2  17.2.9.4.8     17.22.23 23.9 18.24.8   2   5.22.4.18.24.8     5.24   25.22.18.23.20   17.24 20.22.23     4.23.24.20   24.9   22     17.22.14.24     8.23     18.9 8.22.14.22.23.8     5.2.25.25.24     17.24     8.9.23.8 23.25.7.22.18.23.24.20.18     12.9.22.20.19       24.13.13.24.8 8.2.20.18     24.20     4.24.18.22.4.19     22.9     4.24.14.2.23.4 25.2.20     22.20.21.24     22.19.2.4.24     18.2.9.18     22   18.2.23

Analyse

On remarque rapidement que le numéro 24 est majoritaire. Il représente sans doute le E. Un mot à l’avant dernière ligne se trouve alors à moitié décrypté. Il s’agit de 24.13.13.24.8. Le numéro 13 répété entre deux E ne peut être qu’une consonne, plus précisément L. On en déduit que ce mot est « elles ». Le suivant est alors probablement « sont ». Le chiffre s’écroule alors progressivement. En particulier la formule de politesse est « tout à toi ». Finalement, on obtient le texte :

Ma gosse, pardonne-moi ce que je t’ai écrit, je n’avais rien reçu depuis 2 jours. J’ai eu tes 2 cartes ce matin. Je n’ai rien eu à ja*e. Si tu savais comme je suis impatient quand elles sont en retard. Au revoir mon ange. Tout à toi.

L’étoile dans le texte est sans doute une erreur de chiffrement.

Les nombres premiers (définition)

A priori, les nombres premiers sont les nombres entiers naturels (1, 2, 3, 4 , 5, 6, etc.) qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes ce qui amène à éliminer dans la liste précédente les nombres composés c’est-à-dire produits de deux nombres comme 4 (2 x 2), 6 (2 x 3), etc.

1 est-il premier ?

Avec cette définition, 1 serait premier. On l’élimine pourtant en ajoutant qu’un nombre premier doit avoir deux diviseurs  distincts: 1 et lui-même. La raison est plus profonde qu’il ne peut paraître. Voyons pourquoi.

Le théorème fondamental de l’arithmétique

Si on exclut 1 de l’ensemble des nombres premiers, on peut démontrer un théorème fondamental en arithmétique :

tout nombre entier naturel supérieur à 2 est le produit d’un nombre fini de nombres premiers et ce de façon unique, à l’ordre près des facteurs.

Ainsi, 530 = 2 x 5 x 53

Pour démontrer ce théorème, l’essentiel est de montrer que tout nombre est soit premier, soit divisible par un nombre premier… ce qui est une évidence. En appliquant cette remarque de façon itérative, nous aboutissons à notre théorème.

Si on n’exclut pas 1, toute décomposition est multiple puisqu’on peut ajouter autant de facteurs 1 que l’on veut sans changer le résultat. Voila pourquoi on élimine 1 de la liste des nombres premiers.

 

 

Les pesées de Leibniz et de Bachet

Voici une question autrefois pratique, qui reste aujourd’hui ludique. Elle suppose l’utilisation d’une balance de Roberval, qui fut inventée par Gilles Personier de Roberval (1602 –  1675). Nous en donnons le schéma mais, pour comprendre l’usage que l’on en fait, il suffit de savoir que les deux plateaux s’équilibrent quand les masses qui s’y trouvent sont égales.

Schéma d’une balance de Roberval. Le parallélogramme articulé aux quatre sommets (en rouge) peut pivoter autour du point marqué (en blanc) sur la figure. L’aiguille est dirigée verticalement quand les poids sur les plateaux s’équilibrent.

Pesée binaire de Leibniz

Leibniz a montré que, si on dispose d’une série de poids dont chacun est le double du précédent, on peut réaliser toutes les pesées possibles. Pour voir comment, imaginons un objet de 713 grammes à peser avec des poids de 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 et 512 grammes. L’objet étant dans un plateau, nous commençons par placer le plus gros poids possible, c’est-à-dire celui de 512 grammes dans l’autre. Nous recommençons ensuite itérativement jusqu’à l’équilibre.

Voyons les étapes de ce processus. Le déficit est de 713 – 512 = 201 grammes. Nous utilisons alors le poids de 128 grammes (le plus gros possible). Il reste 201 – 128 = 73 grammes. Après le poids de 64 grammes, il ne reste plus que 9 grammes. Nous terminons en décomposant 9 en 8 + 1. Finalement, nous avons équilibré le poids de 713 grammes avec les poids prévus. D’un point de vue arithmétique, cela s’écrit :

713 = 512 + 128 + 64 + 8 + 1.

Ce résultat correspond à l’écriture de 713 en base deux : 713 = 29 + 27 + 26 + 23 + 20 ce que l’on peut noter : 1011001001. En base dix, nous écrivons : 713 = 7.102+ 101+ 3.100. La différence apparente est que l’écriture en base deux n’implique que des additions, pas de multiplication. En fait, il n’en est rien puisque les chiffres en base deux sont seulement 0 et 1 au lieu de 0, 1, …, 9. La propriété est générale, notre démarche prouve d’ailleurs que tout nombre s’écrit en binaire.

Pesée ternaire de Bachet

À l’occasion d’une récréation mathématique, Claude Bachet de Mériziac (1581 – 1638) a montré que, à condition d’utiliser les deux plateaux, on peut peser n’importe quel objet à l’aide d’une série de poids dont chacun est le triple du précédent. Voyons comment sur l’exemple précédent et des poids de 1, 3, 9, 27, 81, 243 et 729 grammes. L’idée précédente fonctionne si on dispose de deux poids de chaque sorte. Il suffit d’écrire 713 en ternaire. On commence par retrancher deux fois 243 à 713, il reste 227. On recommence avec deux fois 81, il reste 65. On retranche alors deux fois 27, il reste 11 ce qui fait 9 plus deux fois 1. Cette suite d’opérations fournit l’écriture ternaire : 222102 ce que l’on peut écrire : 713 = 2.35 + 2.34 + 2.33 + 32 + 2.30. Pour conclure, l’idée essentielle est d’éliminer les 2 du membre de droite de cette égalité en remarquant que : 3 = 2 + 1. Plus précisément : 713 + 35 + 34 + 33 + 30 = 36 + 35 + 34 + 32 + 31 ce qui se simplifie en : 713 + 33 + 30 = 36 + 32 + 31, c’est-à-dire en : 713 + 27 + 1 = 729 + 9 + 3. Il suffit donc de disposer des poids de 27 et 1 grammes dans le plateau de gauche et de 729, 9 et 3 grammes dans celui de droite.

L’os d’Ishango

Au musée des sciences naturelles de Bruxelles, se trouve un os strié de nombreuses entailles, découvert dans les années 1950 à Ishango au Congo belge (devenu RDC) par Jean de Heinzelin de Braucourt (1920 – 1998). Cet os daté de 20000 ans avant notre ère n’est pas le plus ancien artefact de ce type connu, mais le nombre de ses entailles a donné un grand nombre d’hypothèses.

Compter les entailles

L’os d’Ishango est couvert de stries.

Si on sait chercher, on y trouve le nombre 60 qui, depuis les Mésopotamiens, est lié à l’astronomie, des nombres premiers comme 11, 13, 17 et 19, etc. Certains en ont déduit qu’il s’agissait d’un calendrier lunaire car 60 correspond presqu’au nombre de jours de deux lunaisons. La somme des nombres de deux colonnes se retrouvant parfois ailleurs, d’autres y voient l’ancêtre de la calculatrice. Une autre hypothèse proposée est qu’il s’agirait d’un jeu mathématique qu’aurait pratiqué l’homme d’Ishango.

Calcul des probabilités

La multiplicité des hypothèses montre que leur origine commune réside dans le calcul des probabilités : plus vous considérez de nombres, plus vous y trouverez de relations entre eux et avec d’autres. Il est cependant probable que l’os d’Ishango n’ait été destiné qu’à compter, peut-être du gibier. C’est le plus important car cela prouve que l’homme d’Ishango savait compter, même s’il n’était pas le premier.

L’hypothèse de Riemann au salar d’Uyuni

Le salar d’Uyuni est un gigantesque désert de sel sur les hauts plateaux boliviens. On y trouve un cimetière de locomotives offrant plusieurs nuances de rouilles du meilleur effet photographique.

Locomotive rouillant sur le salar d’Uyuni

Un tag étonnant

Une grande partie de ce matériel ferroviaire à l’abandon est tagué. Une inscription nous a tout de même étonné par sa composante mathématique.

L’hypothèse de Riemann taguée sur une locomotive rouillant dans le salar d’Uyuni

Le tag affirme que les zéros non triviaux (i.e. entiers négatifs pairs) de la fonction dzéta de Riemann sont complexes de partie réelle égale à 1/2. Il s’agit d’une conjecture faite par Bernhard Riemann en 1859 et aujourd’hui dotée d’un prix d’un million de dollars par l’institut Clay. Rencontre étonnante !

 

Les vols d’étourneaux

Les étourneaux, et d’autres oiseaux se comportent souvent comme une unité filant parfois dans une direction précise pour s’en détourner soudain. Les mouvements des bancs de poisson sont similaires. D’où viennent ces comportements ?

Un vol d’étourneaux

La défense contre les prédateurs

La raison essentielle de ces regroupements est la défense contre les prédateurs. Par exemple, quand les étourneaux sont effrayés, ils s’élèvent, se rassemblent et volent en formant la masse la plus compacte possible. Un rapace évite de fondre sur ce groupe de crainte de se blesser. Il cherche plutôt à sélectionner des retardataires ou des oiseaux affaiblis.

La nuée vire et tourne de telle sorte qu’il est difficile de prévoir ses mouvements, qui semblent aléatoires. De nos jours, les zoologistes sont persuadés que ce ballet ne doit rien à la présence d’un mystérieux chef d’orchestre ou à un esprit surnaturel du groupe. Dans les années 1980, Wayne Potts, professeur à l’université d’Utah, a filmé des nuées de bécasseaux pour s’apercevoir que n’importe quel individu pouvait initier un mouvement du groupe, qui se propageait ensuite très rapidement par ondes rayonnant autour de l’initiateur, et cela dans tous les sens. De plus, ces ondes se propagent bien plus rapidement que la vitesse de réaction normale d’un individu isolé peut le laisser penser. En revanche, les mouvements des oiseaux séparés du groupe ne l’influencent pas. Ils sont les cibles privilégiées des prédateurs, donc ne sont pas suivis. Cette règle a l’avantage d’accélérer la réponse du groupe à une attaque.

Un modèle mathématique

D’après l’étude de Wayne Potts, chaque oiseau réagit à ce qui l’entoure, et uniquement à cela. Son comportement peut donc être modélisé : chacun ne réagit qu’à ses voisins. En 1986, un informaticien, Craig Reynolds, précisa des règles qui simulent le comportement des nuées d’oiseaux comme celui des bancs de poissons. Il a nommé « boids » ces oiseaux virtuels (un mot à faible distance linguistique de « birds »). On peut trouver des animations sur internet utilisant son modèle (chercher Boids avec votre moteur de recherche préféré). Les trois règles sont toutes de nature locale, chaque oiseau ne réagit qu’aux mouvements de ses voisins.

Séparation

Si un oiseau est trop proche de ses voisins, il s’en écarte pour éviter les collisions.

Alignement

Alignement dans la direction du vol des oiseaux qui l’entourent.

Cohésion

Cohésion pour aller vers la position moyenne des oiseaux qui l’entourent.

Si vous voulez programmer une simulation de vol d’étourneaux, il vous reste à définir plusieurs paramètres : rayon du cercle de voisinage (en gris clair sur les figures), vitesses, accélération utilisée pour rejoindre la position idéale définie par les trois règles. Ces principes ont été utilisés pour la première fois dans Le retour de Batman en 1992, pour générer des vols de chauves-souris.

Le modèle peut être amélioré en limitant le voisinage à un secteur de cercle, correspondant à la vision de l’oiseau, à la considération d’obstacles que l’oiseau évitera et également aux prédateurs éventuels.

 

L’énigme du tunnel de Samos

Dans l’île grecque de Samos, on peut visiter un tunnel qui, selon Hérodote, fut creusé au VIe siècle avant notre ère, simultanément par ses deux extrémités … et l’erreur au point de rencontre ne fut que de 60 centimètres, comme le tracé du tunnel l’atteste toujours. On ne sait pas comment son architecte, Eupalinos, en fit les plans, mais on sait qu’ils ne doivent rien au hasard. La plupart des historiens qui se sont penchés sur la question en on déduit qu’Eupalinos avait anticipé les instruments et les mathématiques inventés plusieurs siècles après sa mort. Est-ce vraisemblable ? Pourquoi les aurait-on oubliés ensuite ? De plus, pourquoi faire des hypothèses inutiles ? Il est plus raisonnable d’essayer d’imaginer des méthodes compatibles avec les mathématiques et les instruments connus de l’époque.

Un aqueduc extérieur imaginaire …

De la source captée jusqu’à l’entrée du tunnel, l’eau suit des conduites extérieures, quoique enterrées. On peut imaginer que, dans un premier temps, l’aqueduc allait ainsi jusqu’à la sortie du tunnel en suivant grossièrement les lignes de niveaux du terrain. La topographie le permet comme le montre la carte du lieu.

Les lignes de niveaux aux alentours du tunnel de Samos (entrée en A, sortie en B) montrent qu’il est possible de contourner la montagne par l’ouest (voir l’orientation sur le dessin) en restant à niveau (ligne ACB). Le trajet fait alors environ 2200 mètres (le double du trajet direct AB).

…qui aide à trouver la sortie

Cette hypothèse est difficile à soutenir car aucun vestige d’un tel ouvrage ne nous est parvenu. De plus, le tunnel est quasiment horizontal, seul le canal qui le longe a une déclivité de six mètres sur un peu plus d’un kilomètre. Cette hypothèse d’un aqueduc extérieur donne cependant une première approche du problème, naturelle pour un constructeur d’aqueduc. Pour déterminer l’entrée et la sortie, il s’agit de se déplacer à l’horizontale au flanc de la montagne, pour rejoindre un point duquel l’aqueduc peut continuer. Des preuves archéologiques montrent que les Samiens disposaient d’instruments pour déterminer l’horizontale. Le principe en est simple. Il s’agissait de longues gouttières en terre cuite dans lesquelles on versait de l’eau. L’horizontale était obtenue quand l’eau ne s’écoulait pas. De même, ils utilisaient des fils à plomb, ce qui permettait de déterminer la verticale. On peut imaginer suivre l’horizontale ainsi en plantant des pieux dont les sommets restent au même niveau. Si le niveau mesure 2 mètres de long, et que l’incertitude est inférieure à 1 millimètre pour chaque pieu, nous obtenons une incertitude totale de 1,10 mètres. L’erreur effective à la jonction des deux branches du tunnel étant de 60 centimètres, l’utilisation de cette méthode est vraisemblable. Cependant, elle exige de planter 1100 pieux. On peut la simplifier de ce point de vue en utilisant des visées oculaires permettant d’espacer les pieux.

Pour cela, on plante deux pieux à 10 mètres l’un de l’autre, dont les sommets sont à l’horizontale et on les aligne avec un pieu à cent mètres environ, tenu par un assistant. Ceci permet de passer à un total d’une cinquantaine de pieux (deux tous les 100 mètres environ).

Visée pour maintenir l’horizontale. Les pieux A et B sont alignés grâce à un niveau à eau. Si l’erreur entre les deux est limitée à 2 millimètres, celle entre A et C sera limitée à 2 centimètres. La capacité de l’œil humain rend insensible l’erreur due à l’acuité visuelle.

L’œil humain a une capacité de résolution de 0,5 minute environ (1 / 120 degré). Avec un viseur, sur cent mètres, nous pouvons espérer une incertitude inférieure à 2 centimètres. Sur une distance de 2 200 mètres, cela donne une incertitude totale de 44 centimètres, ce qui est compatible avec l’erreur effective de 60 centimètres.

La direction de la sortie

La deuxième extrémité trouvée, comment déterminer la direction dans laquelle le tunnel doit être percé ? Une idée simple tient à la topographie du terrain. Il s’en faut de peu que l’on ne puisse voir les deux extrémités du tunnel du haut de l’Acropole. Dans ce cas, il aurait suffi d’y disposer trois pieux alignés et, par approximations successives de les aligner à des pieux plantés aux extrémités du tunnel à construire. L’opération est semblable à la précédente, sans mise à niveau.

Si le sommet S est visible des extrémités A et B, il suffit d’aligner cinq pieux, trois en S, un en A et un en B pour déterminer la direction AB. Cette opération peut être faite par essais successifs.

En fait, la topographie du terrain ne permet pas cette solution. On peut malgré tout l’appliquer, soit en surélevant le sommet au moyen d’une tour de dix mètres environ, soit en plantant des pieux intermédiaires. Une station supplémentaire, éventuellement légèrement surélevée, suffit pour réaliser un alignement visible de proche en proche.

En disposant des relais (comme I) entre les extrémités A et B et le sommet, il est possible de réaliser un alignement de pieux entre A et B. On vérifie cet alignement comme précédemment, de proche en proche.

Ceci fait, les deux pieux à chaque extrémité donnent la direction à suivre. Il est facile de la conserver ensuite. Cependant, pour être sûr de se rencontrer, le mieux est d’obliquer légèrement un peu avant le milieu des travaux car, dans un plan, deux droites non parallèles se rencontrent toujours. L’une des branches du tunnel effectivement construit par Eupalinos présente des portions en zigzag montrant qu’il n’était pas certain de ses mesures et voulait éviter de manquer le deuxième tronçon qui, lui, reste rectiligne.

Le problème de la longueur du tunnel est accessoire. Même s’il est utile de la connaître pour savoir quand obliquer pour être sûr de la rencontre, il suffit d’en avoir une approximation grossière. Une fois le tunnel construit, on peut la calculer de façon plus précise et en déduire la pente à donner au canal. Finalement, sa profondeur varie de 3 à 9 mètres pour assurer un flux constant.

De l’utilité d’une mauvaise orthographe pour chiffrer

Une bonne orthographe peut perdre l’apprenti chiffreur car elle facilite la recherche de mots probables. Ainsi, écrire « pitèn » au lieu de « capitaine » peut servir à la dissimulation…

Le tueur du zodiaque

Un tueur en série, qui sévit en Californie à la fin des années soixante et début des années soixante-dix, nargua la police avec des messages chiffrés de façon a priori simple. Tout porte à penser qu’il est mort depuis puisque ses crimes et ses revendications cessèrent, mais rien ne le prouve. Nous ne nous intéresserons pas à cet aspect ici mais aux quelques messages chiffrés qu’il envoya à la police et à la presse dont le suivant.

Décryptement

L’un d’entre eux fut décrypté par un enseignant et son épouse, Donald et Betty Harden. Leur idée fut de rentrer dans la psychologie d’un tueur en série qui, selon eux, a un égo surdéveloppé… ainsi le message devait commencer par la lettre « I » qui, en anglais, signifie « je ». Ensuite, ils ont cherché « kill » et « killing » qui correspondent au verbe « tuer ». Le code s’écroula ensuite petit à petit. Pour tromper les décrypteurs, le tueur avait de plus fait de nombreuses fautes d’orthographe. Voici le message décrypté :

I LIKE KILLING PEOPLE BECAUSE IT IS SO MUCH FUN IT IS MORE FUN THAN KILLING WILD GAME IN THE FORREST BECAUSE MAN IS THE MOST DANGEROUS ANAMAL OF ALL TO KILL SOMETHING GIVES ME THE MOST THRILLING EXPERENCE IT IS EVEN BETTER THAN GETTING YOUR ROCKS OFF WITH A GIRL THE BEST PART OF IT IS THAT WHEN I DIE I WILL BE REBORN IN PARADICE AND ALL THE I HAVE KILLED WILL BECOME MY SLAVES I WILL NOT GIVE YOU MY NAME BECAUSE YOU WILL TRY TO SLOI DOWN OR STOP MY COLLECTING OF SLAVES FOR MY AFTERLIFE EBEORIETEMETHHPITI

Nous pouvons le traduire ainsi : « J’aime tuer les gens parce que c’est du plaisir, plus que de tuer du gibier dans la forêt, parce que l’homme est l’animal le plus dangereux de tous à tuer. C’est excitant, même plus que d’avoir du bon temps avec une fille. Le mieux sera quand je mourrai. Je renaîtrai au paradis et tous ceux que j’ai tués deviendront mes esclaves. Je ne donnerai pas mon nom car vous essayeriez de ralentir ou de stopper ma récolte d’esclaves pour mon au-delà. Ebeorietemethhpiti. »

Malheureusement, malgré ce qu’il avait annoncé à la police, sa signature restait incompréhensible. Il annonçait d’ailleurs lui-même pourquoi il ne donnait pas son nom.