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Jean-Henri Fabre, un précurseur

Jean-Henri Fabre est connu pour son observation des insectes. Excellent vulgarisateur, il est de ceux qui savent communiquer leurs passions. Les mathématiques en font partie.

Jean-Henri Fabre

Jean-Henri Fabre (1823 – 1915)

Bien que titulaire d’une licence de mathématiques, d’un doctorat en sciences naturelles et de plusieurs autres diplômes, Jean-Henri Fabre est un autodidacte comme il le rappelle lui-même :

Apprendre sous la direction d’un maître m’a été refusé. J’aurais tort de m’en plaindre. L’étude solitaire a sa valeur ; elle ne vous coule pas dans un moule officiel, elle vous laisse votre pleine originalité. Le fruit sauvage, s’il arrive à maturité, a une autre saveur que le produit de serre chaude ; il laisse aux lèvres qui savent l’apprécier un mélange d’amertume et de douceur dont le mérite s’accroît par le contraste.

Son côté autodidacte le rend attachant pour certains et agaçant pour d’autres. Quelques modernes lui reprochent aussi de ne pas avoir épousé les thèses de Darwin qui, en revanche, reconnaissait en lui un observateur incomparable. Il s’explique lui-même dans une de ses lettres à Darwin :

Vous vous étonnez de mon peu de goût pour les théories, si séduisantes qu’elles soient. Ce travers d’esprit, si c’en est un, tient un peu à mes longues études mathématiques qui m’ont habitué à ne reconnaître la vérité qu’à la lueur d’un irrésistible faisceau de lumière. Ne jurant par aucun maître, libre d’idées préconçues, peu enclin aux séductions des théories, je cherche avec passion la vérité, près à l’admettre quelle qu’elle soit et de quelque fait qu’elle vienne. Et comme moyen de recherche, je ne connais qu’une chose : l’expérience.

Par ailleurs, Darwin l’avait chargé d’expériences sur les insectes retournant à leurs nids. Les résultats se trouvent dans l’œuvre de Fabre. De façon générale, on trouvera la plupart des écrits de Fabre sur internet.

Fabre créationniste ?

Parmi les critiques modernes faites à Jean-Henri Fabre, certains le stigmatisent comme créationniste car il ne croyait pas à la théorie de Darwin, qu’il comparait à celle de la génération spontanée. À la défense de Fabre, il faut noter que la théorie originelle de Darwin n’était pas celle qui porte son nom aujourd’hui. Il s’agissait plutôt d’une transposition de la sélection des espèces domestiques, pratiquée depuis longtemps par les éleveurs, en une sélection naturelle sous l’effet de modifications du milieu. Autrement dit, il lui manquait l’explication qui viendra avec la découverte des gênes, par Gregor Mendel au début du XXe siècle. La théorie de l’évolution telle que nous la connaissons est postérieure de vingt ans à la mort de Fabre ! Comment peut-on lui reprocher de ne pas l’avoir reconnue ?

Mais l’essentiel n’est pas là, il est dans deux choses, sans parler de l’inélégance d’attaquer les morts, qui ne peuvent se défendre. Premièrement, il faut savoir ne pas se tromper d’adversaires. Les obscurantistes que sont les créationnistes ne sont pas les disciples de Jean-Henri Fabre. Ils sont dans des religions qui refusent la science, et malheureusement pas la violence. Deuxièmement, de Jean-Henri Fabre retenons plutôt l’exceptionnel talent de vulgarisateur. Pour finir sur une note poétique et liée à la question de l’évolution, voici l’un de ses commentaires sur la parade nuptiale des scorpions languedociens : La colombe a, dit-on, inventé le baiser. Je lui connais un précurseur : c’est le scorpion.

Parade amoureuse de scorpions languedociens. Dans un cas sur deux au moins, le mâle (à droite) finira dévoré par la femelle (à gauche), ce qui atténue l’impression romantique donnée par Fabre.

Jean-Henri Fabre a réussi à me faire regarder les scorpions autrement, c’est pourquoi je me souviens de cette remarque. Aujourd’hui, elle me fait m’interroger : selon la théorie créationniste, parler de précurseur d’une espèce a-t-il un sens ?

Descriptions et mathématiques chez Fabre

Dans ses souvenirs entomologiques, Jean-Henri Fabre dépeint les mœurs des insectes de manière vivante, en les ramenant souvent aux nôtres. Il décrit ainsi le carabe doré en nous emmenant d’abord visiter les abattoirs de Chicago pour comparer ensuite leur efficacité à celles des carabes dont on saisit mieux ainsi la férocité comme la voracité.

Le carabe doré, qui sera l’occasion d’une digression sur les mœurs humaines pour Jean-Henri Fabre.

Il conclut alors sur nos origines et notre avenir, avec l’abolition de l’esclavage et l’instruction des femmes, les deux voies du progrès moral selon lui. Cette façon de généraliser sera parfois critiquée plus tard, comme peu scientifique. Il est vrai que, par moments, Fabre concluait un peu vite. Par exemple, voici comment il décrit la toile d’une araignée, l’épeire :

Nous reconnaîtrons d’abord que les rayons sont équidistants ; ils forment de l’un à l’autre des angles sensiblement égaux […] les divers tours de spire […] avec les deux rayons qui les limitent, forment d’un côté un angle obtus et de l’autre un angle aigu […] d’un secteur à l’autre, ces mêmes angles, l’obtus comme l’aigu, ne changent pas de valeur, autant que peuvent en juger les scrupules du regard seul.

Fabre reconnaît alors une propriété caractéristique de la spirale logarithmique et en conclut que la toile de l’épeire épouse cette forme, ce qui est rapide surtout quand la mesure a été faite à l’œil. Ceci dit, cela n’enlève rien à la qualité de son travail, et il n’en reste pas moins que, du fait de sa construction, la toile prend une forme de spirale.

Scarabée sacré en train de confectionner une boule.

De même, c’est de manière très mathématique qu’il explique la forme de poire que le scarabée sacré donne à la bouse dans laquelle il dépose son œuf : une sphère pour minimiser la surface externe afin de réduire la dessiccation, qui rendrait la bouse immangeable pour la larve, coiffée d’une sorte de cylindre contenant l’œuf, qui se trouve ainsi dans un endroit plus aéré.

 

Les lois de Mendel et le principe de Hardy

Gregor Mendel (1822 – 1884) est connu pour avoir posé les premières lois de la génétique. Elles sont de nature si mathématique que Godfrey Hardy, le grand mathématicien britannique du début XXe siècle, connu pour sa critique des mathématiques appliquées, les a prolongées. Imaginons qu’une fleur vienne en deux couleurs : blanche et noire, jamais grise ou autre et que ces deux variétés puissent s’hybrider, c’est-à-dire se mélanger. Imaginons que deux parents à fleurs blanches donnent toujours des enfants à fleurs blanches, alors que les parents à fleurs noires peuvent donner des blanches comme des noires.

Né Johann Mendel en 1822, Mendel prendra le prénom de Gregor à son entrée au monastère de Brunn (Tchéquie), en Autriche à l’époque. Il y trouva un milieu intellectuel stimulant et put y installer un jardin expérimental, où il fit ses recherches sur l’hybridation. En 1866, il devint supérieur de son couvent, ce qui mit fin à ses recherches en botanique. Il se consacra alors à l’administration du monastère ainsi qu’à des recherches en météorologie, pour lesquelles il fut reconnu par ses contemporains … davantage que pour ses apports à la génétique.

La mathématique de l’hybridation

Gregor Mendel a étudié ces lois de l’hybridation en pollinisant artificiellement des pois, qui se présentent sous deux formes facilement discernables. Nous ne décrirons pas ses expériences en détail. Son premier résultat est d’ordre statistique. En croisant une fleur noire et une fleur blanche, à la première génération, on obtient des fleurs blanches et, à la seconde, trois quarts de fleurs blanches et un quart de fleurs noires.

Deux premières générations d’un croisement blanche / noire.

Pour le mathématicien, une explication logique est de penser que le gène de la couleur des fleurs se divise en deux moitiés, ses deux allèles : blanc et noir. A priori, il existe donc quatre combinaisons possibles de ces deux allèles : blanc / blanc, blanc / noir, noir / blanc et noir / noir. Cette propriété est cachée car seuls les porteurs du gène blanc / blanc ont des fleurs blanches, tous les autres ont des fleurs noires. C’est pourquoi on parle de caractère dominant pour la couleur noire, et de caractère récessif pour la couleur blanche. Cette domination est cependant très relative car les combinaisons se faisant de façon équiprobable, à la seconde génération, nous trouvons une fois sur quatre la combinaison blanc / blanc, donc des fleurs blanches.

Cette théorie de Mendel ne fut pas comprise en son temps. Les biologistes pensaient que les caractères dominants devaient forcément augmenter dans la population, ce que les calculs précédents nient. Plus étrangement encore, on ne vit pas immédiatement le lien avec la théorie de l’évolution de Darwin, pourtant contemporaine de celle de Mendel.

Le principe de Hardy

À l’opposé de Mendel, qui était prêtre, Godfrey Hardy était un athée convaincu. Son athéisme comprenait cependant une étrange part d’autodérision, si on en croît l’anecdote suivante. La peur d’un naufrage lui fit écrire à un collègue pour lui annoncer qu’il avait démontré l’hypothèse de Riemann. Il aurait ensuite justifié son envoi en disant que Dieu, qu’il tenait pour son ennemi intime, n’allait pas le laisser mourir et laisser croire ainsi qu’un tel impie avait réussi à démontrer cette conjecture, encore ouverte de nos jours. Il est tout aussi étrange qu’un mathématicien pur aussi convaincu ait publié un article de biologie. Il le serait encore davantage si, un jour, il était plus connu pour son apport à la génétique que pour ses théorèmes mathématiques. Le moteur de recherche Google laisse penser que ce jour viendra puisque « théorème Hardy » donne 56 700 résultats alors que « principe Hardy » en donne 4 450 000. Godfrey Hardy y verrait sans doute une revanche de son ennemi.

Si les mathématiques appliquées ont pu un jour être vues comme « impures » par certains mathématiciens « purs », ce fut le cas de Godfrey Hardy. On s’étonnera alors de voir son nom mêlé à une question de biologie. C’est pourquoi il s’excusa presque de s’immiscer dans ce domaine. En 1908, au cours d’un dîner, on lui demanda s’il était possible de déterminer mathématiquement la proportion d’allèles dominants permettant l’évolution dans une population. Hardy étant un mathématicien pur, sa réponse réclama quelques hypothèses. Tout d’abord, la population devait être de grande taille, sans migration, estimée infinie, les individus s’y croiseraient aléatoirement mais les générations seraient séparées. Enfin, il n’y aurait ni mutation, ni sélection. Tout ceci assure la rigueur du raisonnement suivant.

Considérons un gène à deux allèles A et a possédant les fréquences p et q = 1 – p  dans une certaine génération. Quelles sont les fréquences à la génération suivante ?

Pour le déterminer, comptons d’abord les fréquences des diverses combinaisons à la génération suivante : AA, Aa et aa. Il s’agit d’une question élémentaire de probabilité. Pour qu’un individu soit AA, il doit avoir reçu l’allèle A de ses deux parents, supposés aléatoires d’après l’hypothèse de Hardy. La fréquence de chacun étant égale à p, la probabilité est égale à p2. De même, celle de aa est q2. Pour Aa, deux cas sont possibles puisque cela peut provenir d’un A de la mère et d’un a du père, comme du contraire. On obtient donc 2 pq.

Si la population totale de cette nouvelle génération est égale à N, le nombre d’allèles y est égal à 2N. L’allèle A se trouve deux fois dans AA et une fois dans Aa, son nombre est donc égal à 2 p2 N + 2 pq N. Sa fréquence est ainsi égale à p2 + pq = p (p + q) = p puisque p + q = 1. Il en est de même de l’allèle a. Autrement dit, sous les hypothèses énoncées plus haut, la fréquence des allèles ne se modifie pas d’une génération à l’autre.

Ainsi, les relations de dominance entre allèles n’influent pas sur leurs fréquences. Autrement dit, l’évolution est impossible sous les hypothèses de Hardy … il faut tenir compte des mutations.

 

La spirale logarithmique, une courbe zoologique ?

La même courbe se retrouve-t-elle dans les galaxies, certains mollusques et les toiles d’araignées ? Enquête sur la spirale logarithmique.

La spirale d’Archimède

Imaginez ! Une droite tourne à vitesse angulaire constante autour d’un point O. Si, partant de O, un point M parcourt cette droite à vitesse constante, on obtient une spirale d’Archimède. On démontre facilement que les spires y sont régulièrement espacées.

Spirale d’Archimède. Elle est engendrée par un point mobile M partant d’un point O, à vitesse constante sur une droite tournant à vitesse angulaire constante autour de O.

La spirale logarithmique

Si, toujours partant de O, le point M parcourt la droite à une vitesse proportionnelle à la longueur OM, il dessine une autre courbe, appelée spirale logarithmique depuis Pierre Varignon (1654 – 1722) mais étudiée auparavant par René Descartes (1596 – 1650) avant d’être choisie par Jacques Bernoulli (1654 – 1705) pour orner sa tombe. Malheureusement, le sculpteur ignorait cette courbe et grava une spirale d’Archimède.

 

Spirale logarithmique. Elle est engendrée par un point mobile M partant d’un point O, à vitesse proportionnelle à OM sur une droite tournant à vitesse angulaire constante autour de O.

Au lieu d’être régulièrement espacées, les spires suivent une progression géométrique de raison constante. Autre propriété de la spirale : elle coupe le rayon OM suivant un angle constant.

Inscription sur la tombe de Jacques Bernoulli, avec la spirale en bas.
Sur cet agrandissement, on voit que le sculpteur a gravé une spirale d’Archimède et non une spirale logarithmique. L’inscription latine « eadem mutata resurgo » signifie « déplacée, je réapparais à l’identique ».

Le développement du nautile

Le nautile est un mollusque marin dont la coquille est en forme de spirale. L’espace entre les spires étant triplé à chaque enroulement, elle évoque une spirale logarithmique. Pour examiner si cette forme est fortuite ou non, il est nécessaire d’en comprendre la provenance.

Coupe d’un nautile faisant apparaître une forme de spirale logarithmique.

La coquille du nautile est divisée en chambres closes, l’animal n’occupant que la dernière. Les autres sont remplies d’un mélange de liquide et de gaz, toutes communiquent entre elles au moyen d’un siphon.

Nautile vivant. L’animal n’occupe que la dernière chambre. Il se déplace d’avant en arrière en expulsant de l’eau du côté de sa bouche.

Ces chambres correspondent à l’évolution progressive du mollusque. Quand il grossit, ne pouvant agrandir la chambre où il se trouve, il en crée une autre dans son prolongement, un peu plus grosse mais semblable.

Pour montrer que cette idée mène effectivement à une spirale logarithmique, prenons comme modèle de la coquille une suite de triangles rectangles d’angle au sommet constant égal à 30°. Le rapport entre un triangle et son suivant est de 115 % (l’inverse du cosinus de 30° soit 2  divisé par racine de 3 pour être précis), ce qui correspond bien à une spirale logarithmique. L’idée correspond à un accroissement progressif de la taille de l’animal. Il n’est pas besoin d’imaginer de plans compliqués inscrits dans les gènes du nautile pour cela, juste une façon de croître.

Suite de triangles rectangles formant une (approximation de) spirale logarithmique.

La spirale logarithmique se retrouve pour les mêmes raisons dans d’autres animaux, comme la planorbe, un escargot marin très utilisé dans les aquariums car il se nourrit d’algues et de plantes à la limite du pourrissement.

Une coquille de planorbe en forme de spirale logarithmique.

Les toiles d’araignées

La toile d’araignée est avant tout un piège destiné à attraper des insectes. Certaines espèces tissent des toiles où il est bien difficile de reconnaître la moindre régularité.

Il n’est pas facile de reconnaître la moindre courbe mathématique dans cette toile d’araignée. En revanche, sans le soleil en contre jour, il est difficile de la détecter.

Les espèces les plus communes en France, les épeires, fabriquent cependant des toiles en forme de spirales. Après avoir bâti un cadre entre quelques branches, l’araignée tisse un réseau régulier de segments rectilignes partant tous d’un même point. Un fois ce travail fini, elle forme une spirale en les reliant. Le célèbre entomologiste Jean-Henri Fabre (1823 – 1915) a voulu y reconnaître une spirale logarithmique, tout en remarquant que l’action de la pesanteur transformait chaque segment en chaînette, la forme que prend naturellement un fil pesant comme les câbles électriques ou les chaînes que l’on porte autour du cou.

Cette toile d’épeire laisse plus penser à une spirale d’Archimède qu’à une spirale logarithmique. On y remarque également les segments transformés en chaînette sous l’effet de la pesanteur.

Sornettes sur la planète

Les scientifiques essayent d’expliquer le monde dans lequel ils vivent, en utilisant du mieux qu’ils le peuvent leurs connaissances, fondées sur l’observation. Cela n’a pas été toujours sans difficultés, erreurs et tâtonnements en fonction des savoirs du moment. Ainsi en a-t-il été de la forme de la Terre ou de sa position et de son mouvement dans le système Solaire.

Le goût des métaphores

Aux époques où l’érudition, et le savoir en général, était, dans chaque pays, détenu par les autorités religieuses, les débats se sont souvent enlisés dans des joutes stériles entre rationnel et irrationnel. Les religions se sont, en général, construites sur des écrits d’époques reculées ou l’emploi de métaphores était courant. Ainsi l’affirmation que l’on trouve au chapitre 5 de l’évangile de Matthieu « vous êtes le sel de la Terre » n’indique pas que les disciples de Jésus étaient faits en sel et non en chair et en os ! Il en est de même des quatre coins de la Terre !

Le géocentrisme fait de la résistance

Représentation géocentrique de l’univers. La Bible le justifie par un court verset du livre de Josué (10-13) où le soelil s’arrête pour permettre la victoire d’Israël.

Ces époques lointaines devraient être révolues car si la fabrication du savoir est entre les mains de scientifiques de plus en plus performants, la connaissance que l’on a de ce savoir est maintenant l’affaire de chacun, de sa propre culture et de son accès à l’information. Quelques cas resteront cependant irréductibles : en 1999, année de l’éclipse totale de Soleil en France, j’ai été pris à parti un jour dans un café, par un consommateur qui croyait encore et doit croire toujours que le Soleil tourne autour de la Terre. Mais, hélas, la crédulité des uns fait le bonheur des autres.

La Terre est plate !

Les peuples de marins peuvent difficilement ignorer que la Terre est ronde. Même par ciel dégagé, les bateaux disparaissent graduellement derrière l’horizon. Ceci ne s’expliquerait pas si la Terre était plate. En revanche, si elle est sphérique, c’est logique. De nos jours, nous disposons d’une preuve qui semble incontournable : les photographies prises de l’espace.

 

Photographie de la Terre prise de l’espace.

Pour certains, cela prouve simplement l’existence d’un complot international pour faire croire que la Terre est ronde ! L’obscurantisme a toujours fait recette à travers les siècles. D’autres sont des personnes cultivant un sens de l’humour atypique. Ainsi, on peut lire sur internet, plaisanterie ou délire ?

La Terre est plate, elle a la forme d’un disque avec, au centre, le Pôle Nord et les continents groupés autour de lui sauf l’Antarctique qui correspond en fait à la circonférence du disque. Personne n’est jamais tombé du disque car personne n’a jamais pu traverser l’Antarctique…

La Terre plate avec le pôle nord en son centre et le pôle sud comme montagne frontière empêchant les océans de se déverser à l’extérieur.

Les expériences d’un ingénieur anglais

Au XIXe siècle, un ingénieur anglais et original, Samuel Rowbotham (1816 – 1864) décida de réaliser des expériences pour décider si la Terre était ronde ou plate. L’idée était de vérifier, en utilisant un télescope, si une rivière, la Bedford, en l’occurrence s’incurvait ou pas. Si la Terre est bien ronde, on ne peut voir un bateau plat sur une rivière à plus de cinq kilomètres… or Rowbotham réussit à en voir un à plus de dix kilomètres ! Preuve que la Terre est plate ? Non, sans doute mais l’expérience est troublante… En fait, elle s’explique par la réfraction de la lumière, le phénomène qui explique les mirages dans le désert. Même si notre ingénieur était animé d’un esprit malicieux, sa démarche était sans contexte de nature scientifique… et son expérience ne fait que raffermir la théorie selon laquelle la Terre est ronde.

La Terre est creuse !

L’existence de vastes cavernes souterraines est une évidence. Tous les spéléologues peuvent en témoigner. Les théories selon lesquelles certaines seraient occupées par des animaux fantastiques ou des civilisations intra-terrestres sont plus hasardeuses. C’est parfait quand elles ne sont que l’occasion d’œuvres littéraires fantastiques, comme chez Jules Verne et son Voyage au centre de la Terre et chez Edgar Jacobs et L’énigme de l’Atlantide.

C’est beaucoup plus ennuyeux quand certains commencent à croire à une Terre réellement creuse et habitée à l’intérieur. Au XVIIe siècle, l’astronome Edmund Halley, celui qui prédit correctement le retour de la comète qui depuis porte son nom, a envisagé une Terre creuse faite de plusieurs coquilles séparées par des atmosphères. Son but était d’expliquer des anomalies dans le champ magnétique. L’hypothèse d’une atmosphère lumineuse à l’intérieur de la Terre expliquait de plus les aurores boréales en s’échappant vers l’extérieur… d’où l’hypothèse d’entrées au niveau des pôles. Halley alla jusqu’à émettre l’hypothèse que ces trois mondes intérieurs pouvaient être habités.

Modèle de Terre creuse.

Cette hypothèse n’a pas convaincu ses collègues scientifiques de l’époque… mais plaît davantage à toutes sortes d’ésotériques modernes. Certains voient même un soleil intérieur et des habitants vivants dans un monde concave, donc les pieds en l’air, ce miracle ayant lieu grâce à la force centrifuge. Bien entendu, la physique nous apprend que c’est impossible !

L’annulation du champ magnétique

Le champ magnétique terrestre s’inverse avec une période fluctuant entre quelques milliers et quelques millions d’années, c’est-à-dire que le pôle nord magnétique est parfois au pôle nord géographique, parfois au pôle sud. La polarité des roches magmatiques, qui dépend du champ magnétique à l’époque de leur solidification, montre que celui-ci s’est inversé plusieurs fois. Que se passe-t-il entre ces deux phases ? Si un champ passe de la valeur –1 à la valeur +1 de manière continue, il semble clair qu’il doit passer par 0 entre les deux. Quand le champ est annulé, le pire devient probable sinon certain, car le magnétisme terrestre est une protection contre les bombardements cosmiques ! On ne peut cependant pas attribuer les principales extinctions de masse (celle du Permien, celle des Dinosaures ou celle des Mammouths) à une inversion du champ magnétique terrestre, comme certains l’ont proposé, car les dates ne correspondent pas ! De plus, un champ continu sur une sphère peut s’inverser sans jamais s’annuler. Il s’agit d’un résultat mathématique. En revanche, il est exact qu’une valeur réelle continue ne peut changer de signe sans s’annuler. Le danger de l’annulation du champ magnétique terrestre est un mythe.

La Terre, être vivant !

Le souffle de Gaïa par Josephine Wall.

1979, un chimiste, James Lovelock, puisant dans la mythologie, assimila la Terre à un organisme vivant, qu’il nomma Gaïa, du nom de la déesse grecque qui personnifie notre planète. En fait, son idée personnelle n’était pas aussi radicale. Il voyait plutôt l’atmosphère terrestre comme un système autorégulé, pas comme un être vivant. Malheureusement, comme on pouvait s’y attendre, cette idée a suscité un bon nombre de dérives mystiques aussi dangereuses qu’inconséquentes. Nous voyons les dangers d’une déification de notre planète ! Respecter notre environnement est une chose, sacrifier l’humanité à une soi-disant déesse en est une autre.

Si le fragile vaisseau Terre doit être préservé, c’est essentiellement pour offrir à l’humanité qui y vit la meilleure chance de se développer.

L’hypothèse de Riemann au salar d’Uyuni

Le salar d’Uyuni est un gigantesque désert de sel sur les hauts plateaux boliviens. On y trouve un cimetière de locomotives offrant plusieurs nuances de rouilles du meilleur effet photographique.

Locomotive rouillant sur le salar d’Uyuni

Un tag étonnant

Une grande partie de ce matériel ferroviaire à l’abandon est tagué. Une inscription nous a tout de même étonné par sa composante mathématique.

L’hypothèse de Riemann taguée sur une locomotive rouillant dans le salar d’Uyuni

Le tag affirme que les zéros non triviaux (i.e. entiers négatifs pairs) de la fonction dzéta de Riemann sont complexes de partie réelle égale à 1/2. Il s’agit d’une conjecture faite par Bernhard Riemann en 1859 et aujourd’hui dotée d’un prix d’un million de dollars par l’institut Clay. Rencontre étonnante !

 

La taille des œufs de coucous

Certaines espèces de coucous font couver leurs œufs par des oiseaux de tailles très différentes. Chacune a sa stratégie de parasitage. Certains, dont le coucou gris, semblent adapter la taille de leurs œufs à celle de ceux de leur hôte involontaire.

Le coucou gris

Le coucou gris, qui a la taille d’un pigeon, parasite des passereaux. À première vue, le scénario est simple. La femelle coucou pond un œuf dans le nid de rousserolles, de roitelets, de fauvettes, ou d’autres. Son œuf est le premier à éclore. Le petit coucou expulse alors la couvée entière du nid. Les passereaux nourrissent ensuite l’intrus jusqu’à ce qu’il soit adulte.

Jeune coucou se faisant nourrir par une rousserolle.

Stratégies du coucou

Pour atteindre son but, le couple de coucous repère puis guette un nid de passereau, de l’espèce qui les a élevés de préférence. Ce choix n’est pas toujours possible, et une erreur peut être fatale au jeune coucou. Par exemple, si la femelle pond dans un nid de granivores, son petit mourra de faim, car le coucou est insectivore.

Quand la femelle passereau a pondu, celle du coucou profite de son absence, pour gober un œuf et le remplacer rapidement par l’un des siens. Son œuf éclot avant ceux des passereaux car il a commencé à incuber dans son corps. Sitôt né, encore aveugle, le petit coucou expulse tous les œufs du nid afin d’être nourri seul par ses parents adoptifs.

Oisillon coucou jetant un œuf hors du nid.

Les mathématiques du coucou

Bien que le coucou soit cinq à six fois plus grand que les passereaux qu’il parasite, sa femelle pond des œufs de taille comparable aux leurs. Plus étrange, elle semble adapter la taille de ses œufs à celle de ceux qui se trouvent dans le nid dans lequel elle pond. L’un des premiers scientifiques à avoir étudié la question quantitativement, Oswald Latter en 1902, a récolté 29 œufs de coucous dans des nids de roitelets et de fauvettes et notés les diamètres. En réunissant ces données dans deux histogrammes, nous obtenons deux courbes en cloche distinctes ce qui indique que nous avons affaire à deux populations distinctes. Autrement dit, la femelle coucou adapte bien la taille de ses œufs à ceux déjà présents dans le nid dans lequel elle pond.

Distributions des diamètres des œufs pondus dans les nids de roitelets (en orange) et de fauvettes (en vert).Cette étude a depuis été confirmée pour plusieurs espèces de coucous. La recherche est d’autant plus active sur la question que, suivant les espèces, les coucous pratiquent le parasitisme de couvée, ou non et, parmi les coucous parasites, certains sont éjecteurs (ils détruisent les œufs de leur hôte dès leur éclosion) et d’autres, non. Les seconds parasitent des espèces de taille comparable à la leur alors que les autres choisissent des oiseaux plus petits.

Le parasitisme de couvée

Les canards colverts pratiquent le parasitisme de couvée, mais à l’intérieur de leur espèce. © Hervé Lehning

Le parasitisme de couvée ne se limite pas à certaines espèces de coucous. Cependant, le phénomène d’adaptation de la taille de l’œuf à celle de ceux de l’hôte n’a pas forcément lieu. Par exemple, certaines canes colverts pondent dans des nids d’autres colverts. Les flamands roses font de même ainsi que bien d’autres espèces d’oiseaux (on en a dénombré 236). Dans d’autres cas, les oiseaux parasitent des espèces de taille similaire à la leur. Seuls ceux qui parasitent des oiseaux plus petits connaissent ce phénomène d’adaptation de la taille de leurs œufs.

 

 

 

Les vols d’étourneaux

Les étourneaux, et d’autres oiseaux se comportent souvent comme une unité filant parfois dans une direction précise pour s’en détourner soudain. Les mouvements des bancs de poisson sont similaires. D’où viennent ces comportements ?

Un vol d’étourneaux

La défense contre les prédateurs

La raison essentielle de ces regroupements est la défense contre les prédateurs. Par exemple, quand les étourneaux sont effrayés, ils s’élèvent, se rassemblent et volent en formant la masse la plus compacte possible. Un rapace évite de fondre sur ce groupe de crainte de se blesser. Il cherche plutôt à sélectionner des retardataires ou des oiseaux affaiblis.

La nuée vire et tourne de telle sorte qu’il est difficile de prévoir ses mouvements, qui semblent aléatoires. De nos jours, les zoologistes sont persuadés que ce ballet ne doit rien à la présence d’un mystérieux chef d’orchestre ou à un esprit surnaturel du groupe. Dans les années 1980, Wayne Potts, professeur à l’université d’Utah, a filmé des nuées de bécasseaux pour s’apercevoir que n’importe quel individu pouvait initier un mouvement du groupe, qui se propageait ensuite très rapidement par ondes rayonnant autour de l’initiateur, et cela dans tous les sens. De plus, ces ondes se propagent bien plus rapidement que la vitesse de réaction normale d’un individu isolé peut le laisser penser. En revanche, les mouvements des oiseaux séparés du groupe ne l’influencent pas. Ils sont les cibles privilégiées des prédateurs, donc ne sont pas suivis. Cette règle a l’avantage d’accélérer la réponse du groupe à une attaque.

Un modèle mathématique

D’après l’étude de Wayne Potts, chaque oiseau réagit à ce qui l’entoure, et uniquement à cela. Son comportement peut donc être modélisé : chacun ne réagit qu’à ses voisins. En 1986, un informaticien, Craig Reynolds, précisa des règles qui simulent le comportement des nuées d’oiseaux comme celui des bancs de poissons. Il a nommé « boids » ces oiseaux virtuels (un mot à faible distance linguistique de « birds »). On peut trouver des animations sur internet utilisant son modèle (chercher Boids avec votre moteur de recherche préféré). Les trois règles sont toutes de nature locale, chaque oiseau ne réagit qu’aux mouvements de ses voisins.

Séparation

Si un oiseau est trop proche de ses voisins, il s’en écarte pour éviter les collisions.

Alignement

Alignement dans la direction du vol des oiseaux qui l’entourent.

Cohésion

Cohésion pour aller vers la position moyenne des oiseaux qui l’entourent.

Si vous voulez programmer une simulation de vol d’étourneaux, il vous reste à définir plusieurs paramètres : rayon du cercle de voisinage (en gris clair sur les figures), vitesses, accélération utilisée pour rejoindre la position idéale définie par les trois règles. Ces principes ont été utilisés pour la première fois dans Le retour de Batman en 1992, pour générer des vols de chauves-souris.

Le modèle peut être amélioré en limitant le voisinage à un secteur de cercle, correspondant à la vision de l’oiseau, à la considération d’obstacles que l’oiseau évitera et également aux prédateurs éventuels.

 

Les mathématiciens sont-ils tous platoniciens ?

Comme Platon, les mathématiciens sont des créateurs de mondes, tels celui du mythe de la caverne. Doit-on pour autant considérer les mathématiciens comme platoniciens ?

Qu’elle fut ou non gravée à l’entrée de son académie, la phrase Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre est conforme à la pensée de Platon : il est bon que le philosophe apprenne la géométrie. Au livre VII de La république, il mentionne d’ailleurs son étude comme un pré requis à celle de la philosophie, et une matière indispensable dans le cursus du futur citoyen. Les mathématiques forgent la pensée de Platon, comme on le voit dans Le Ménon. Inversement, tout mathématicien est-il platonicien ?

Un créateur de mythes

Avant d’essayer de répondre à cette question, examinons le mode de pensée de Platon. Sa méthode fondamentale est la création de mythes. Le procédé est classique dans l’Antiquité où l’usage de métaphores permettait d’introduire des concepts abstraits à travers des expériences quotidiennes. Le mythe le plus célèbre inventé par Platon est celui de la caverne, où il introduit le concept de « monde des idées ». En voici un résumé rapide. Des hommes, enfermés dans une caverne, ne voient l’extérieur qu’à travers des ombres. Ils n’ont pas accès à la réalité mais seulement à son image. Ce mythe est une métaphore où la caverne est notre monde, et l’extérieur, le monde des idées. Une transposition est nécessaire pour comprendre le message de Platon, même si celle-ci est claire.

Le monde des idées

Ce monde des idées, existe-t-il ? Platon l’a postulé, ce qui l’a mené à adopter la thèse de l’immortalité de l’âme. Elle lui permet d’affirmer qu’elle vient de ce monde et, pour cette raison, en garde une vague mémoire. La philosophie grecque a parfois ce côté jusqu’au boutiste, que l’on retrouve facilement chez les mathématiciens. Pas question pour eux que 2 + 2 fasse 3,99. C’est 4 sans discussion possible. Cette démarche, correcte quand elle reste dans son cadre, peut aboutir parfois à des extravagances inutiles, comme l’idée d’une âme immortelle, même dans le passé. Platon en avait besoin pour expliquer notre accès instinctif à son monde des idées. Pour lui, on n’apprend pas, on se souvient. Cette remarque explique la pédagogie de Socrate dans Le Ménon, quand il fait démontrer le théorème de Pythagore à un esclave. Celui-ci est censé retrouver des connaissances lointaines, du temps où son âme n’était pas prisonnière de son corps. Socrate aide son interlocuteur à « accoucher » de ce qui existe déjà en lui. Dans ce sens, l’invention est impossible, seul « trouver » l’est. Ce vocabulaire correspond à celui utilisé en général en mathématiques. L’expression « il invente des théorèmes » est souvent péjorative, car elle sous entend qu’ils sont faux.

Le monde des idées mathématiques

De même, les mathématiciens inventent des mondes, semblables au monde des idées de Platon. Aucun point du monde réel n’est jamais le point idéal que nous imaginons. Il a forcément une certaine épaisseur. Il en est de même de la droite et du cercle. Nous en avons des idées que nous visualisons et même matérialisons, mais c’est sur les idées que nous raisonnons. Pour rendre ses résultats plus solides, depuis l’Antiquité, le monde de la géométrie est régi par un certain nombre d’axiomes, c’est-à-dire de résultats considérés comme vrais sans démonstration. Cette méthode a été généralisée et approfondie par David Hilbert au début du XXe siècle. De nos jours, chaque théorie (arithmétique, géométrie, etc.) a ses axiomes, qui la structurent.

L’ombre des idées

Ces théories ont un rapport complexe avec la réalité. Officiellement, pour les mathématiciens, les axiomes résultent du libre arbitre des créateurs de ces théories. Est-il raisonnable de le prétendre, ou est-ce un moyen de se libérer de la réalité ? Restons dans le domaine de la géométrie pour donner un exemple. On y démontre une propriété de la parabole, liée à son foyer (appelée propriété focale pour cela), que nous résumons par un dessin.

Propriété focale de la parabole : Si une droite D parallèle à l’axe d’une parabole coupe celle-ci en un point M, la droite symétrique de D par rapport à la tangente en M à la parabole passe par son foyer.

Cette propriété a des conséquences visibles dans notre univers quotidien : paraboles sur les toits des immeubles, fours solaires petits et grands, phares des voitures ou des bords de mer. La propriété des paraboles existant dans le monde de la géométrie s’applique dans notre monde.

Parabole en montagne. L’utilisation d’un miroir en forme de parabole permet de focaliser les rayons du soleil en un point et donc de faire bouillir de l’eau. © Hervé Lehning

Peu de mathématiciens doutent réellement de cette efficacité, même si certains scientifiques l’estiment « déraisonnable ».

Vérité des axiomes

La raison de cette « estimation » est l’opinion exprimée par les mathématiciens contemporains eux-mêmes. Si vous les questionnez sur ce que sont les axiomes, il est probable qu’ils répondront comme nous l’avons exposé plus haut. Ce sont des règles que l’on se donne de manière arbitraire, et sur lesquelles on développe une théorie cohérente, en suivant les règles de la logique. De ce point de vue, cette théorie n’est pas plus « réelle » ou « vraie » que les axiomes qui la fondent. Cependant, les résultats acquis sont extrêmement solides. Si on admet la « vérité » des axiomes, celle des théorèmes suit.

Les théories mathématiques : des modèles

Si cette vérité est conditionnelle, pourquoi les résultats des mathématiques sont-ils utiles dans le monde réel ? La réponse est simple. Les axiomes ne sont pas choisis arbitrairement ! Plutôt que de le prétendre, il serait préférable de dire que, s’ils l’étaient, on pourrait encore parler de mathématiques. Mais ils ne le sont pas ! Le fait est que l’on ne s’intéresse pas à ces mathématiques du bon plaisir. Ils sont choisis pour que les théories mathématiques qui en découlent soient de bons modèles de la réalité. Pour cela, ils s’en inspirent. Comme Platon, les mathématiciens inventent des mondes idéaux, dont la réalité est un reflet. En ce sens, ils sont platoniciens mais des platoniciens rarement dupes de leurs modèles. Ils ont conscience que leur monde des idées est une abstraction dont ils sont l’origine. Ce n’est pas un monde préexistant de toute éternité, comme le monde des idées de Platon.

Des plantes et des maths

Les plantes ont un rapport étonnant avec les mathématiques, hasard ou nécessité ? Je vous laisse juger.

Suite de Fibonacci

Léonard de Pise, dit Fibonacci, a créé sa suite comme un simple exercice d’arithmétique :

Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ? 

Le calcul est simple, la suite donne : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, etc. Chaque nombre est la somme des deux qui le précèdent.Cette règle a fasciné au-delà de l’exercice. De plus, on la retrouve souvent dans la nature. En voici quelques exemples.

1, 2, 3, fleurs dans le désert du Namib (Namibie).                     © Hervé Lehning

Cette suite se retrouve plus souvent dans le décompte des pétales des fleurs. La seule façon de les compter est malheureusement de les effeuiller …

Saurez-vous trouver le nombre de Fibonacci derrière ces pétales de griffes de sorcière (littoral du sud de la France) ? © Hervé Lehning

La géométrie, des rosaces à la sphère

Après l’arithmétique, nous trouvons la géométrie avec des rotations surprenantes et des développements en sphère.

Rotation naturelle dans une plante succulente. La règle de formation des feuilles implique que celles-ci se déduisent l’une de l’autre par rotation. Littoral du sud de la France.     © Hervé Lehning
Cette plante sauvage des Alpes se développe naturellement en sphère. Parc des Écrins                © Hervé Lehning

Intersection d’un cercle et d’une droite dans la toundra

Cercle et droite sur une plante de la toundra. Groenland      © Hervé Lehning

Cette plante de la toundra groenlandaise présente deux formes géométriques simples : un cercle et une droite. Le cercle est naturel. Il correspond au développement de la plante dans toutes les directions à partir d’une graine, mais pourquoi a-t-elle dépéri d’un seul côté d’une droite ?

Un lemming ne se suicide jamais !

Selon la légende, le lemming – un petit rongeur ressemblant à un hamster, vivant dans les régions nordiques comme la Suède, le Canada et le Groenland – est d’un altruisme tel qu’il se suicide en masse pour le bien de sa communauté quand celle-ci devient trop nombreuse. Même si l’idée de suicides d’animaux est étonnante, l’évolution de la population lemming suit effectivement une courbe étrange.

Évolution de la population de lemmings, on note un cycle de quatre ans. Le rapport entre les minima et maxima est de 1 à 1000, ce qui peut faire penser à une extinction des lemmings.

Un film « documentaire »

Cette courbe se recopie elle-même tous les quatre ans mais, quand la population lemming est à son minimum, on peut penser à une extinction car le rapport entre minimum et maximum est de 1 à 1000 environ. En fait, il n’en est rien et ils reviennent toujours avec une périodicité de quatre ans, et ceci dans toutes les contrées où ils vivent. En 1958, dans White Wilderness, les studios Walt Disney ont présenté des vagues de lemmings se précipitant dans la mer du haut d’une falaise. Bien entendu, il s’agissait d’un trucage cinématographique. Un examen attentif du film montre d’ailleurs que l’on ne voit jamais plus de 12 lemmings simultanément à l’écran. S’il n’en est pas à l’origine, ce film « documentaire » a sans doute conforté la fable selon laquelle le lemming se suicide en masse quand la population de sa communauté devient trop importante pour la région où il habite.

Un modèle mathématique

Un labbe en train de dévorer un bébé manchot. @ Hervé Lehning

En fait, ces fluctuations peuvent s’expliquer par la présence d’un prédateur exclusivement dévoué au lemming, l’hermine. Ce petit rongeur en a d’autres, comme les renards, les labbes et les harfangs, mais ceux-ci mangent ce qu’ils trouvent le plus facilement alors que l’hermine ne chasse que le lemming. Elle provoque ainsi sa quasi extinction … et donc la sienne en conséquence, ce qui laisse aux survivants la chance de reconstituer le peuple lemming et à l’histoire de recommencer éternellement. Cette façon, somme toute littéraire, de présenter le phénomène permet de comprendre son côté qualitatif. Un modèle mathématique précise son côté quantitatif. Nous en proposons une version très rudimentaire, car il ne tient pas compte des saisons, même s’il suffit cependant à vérifier le phénomène.

Une hermine.

Admettons qu’en l’absence de prédateurs, la population des lemmings croisse hebdomadairement avec un taux dépendant de la natalité et de la mortalité naturelles. La présence de l’hermine change la donne, et ce taux doit être minoré d’une valeur proportionnelle au nombre d’hermines. Autrement dit, un nouveau coefficient rentre en jeu, qui correspond à la prédation. Pour fixer les idées, si le taux de croissance naturelle des lemmings est égal à 1,05 et le taux de prédation égal à 0,0001, une population de 1000 hermines donne un taux de croissance de la population lemming égal à son taux naturel 1,05 moins la prédation, soit 0,0001 multiplié par 1000. Le taux total est donc égal à 1,04. Si la population lemming est de 40000 individus, elle est de 40000 multiplié par 1,04 la semaine suivante, soit 41600 individus.

Pendant ce temps, la population d’hermines évolue aussi du fait de son taux de croissance naturel qui doit être majoré d’une valeur proportionnelle au nombre de lemmings. Si le taux de croissance naturel est de 0,97 et le taux dû à l’alimentation (c’est-à-dire à la prédation) est de 0,000001, le taux de croissance des hermines est de 0,97 plus 40000 multiplié par 0,000001, soit 1,01. La population d’hermines la semaine suivante est donc égale à 1000 multiplié par 1,01 soit 1010.

Gestion des animaux dans les parcs naturels

Les mêmes calculs peuvent être repris la semaine suivante et les quatre paramètres ajustés pour correspondre à la réalité constatée sur le terrain, ce que nous avons fait d’ailleurs. Les valeurs ci-dessus donnent bien une périodicité de quatre années environ. Ces formules sont générales et valables pour d’autres couples proies / prédateurs. Elles servent pour la gestion des animaux dans les parcs naturels. Par exemple, si on constate un risque de fort accroissement du nombre de prédateurs, la direction du parc peut décider d’autoriser la chasse d’un certain nombre d’animaux pour éviter un cycle d’évolution des populations chaotique.