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La spirale logarithmique, une courbe zoologique ?

La même courbe se retrouve-t-elle dans les galaxies, certains mollusques et les toiles d’araignées ? Enquête sur la spirale logarithmique.

La spirale d’Archimède

Imaginez ! Une droite tourne à vitesse angulaire constante autour d’un point O. Si, partant de O, un point M parcourt cette droite à vitesse constante, on obtient une spirale d’Archimède. On démontre facilement que les spires y sont régulièrement espacées.

Spirale d’Archimède. Elle est engendrée par un point mobile M partant d’un point O, à vitesse constante sur une droite tournant à vitesse angulaire constante autour de O.

La spirale logarithmique

Si, toujours partant de O, le point M parcourt la droite à une vitesse proportionnelle à la longueur OM, il dessine une autre courbe, appelée spirale logarithmique depuis Pierre Varignon (1654 – 1722) mais étudiée auparavant par René Descartes (1596 – 1650) avant d’être choisie par Jacques Bernoulli (1654 – 1705) pour orner sa tombe. Malheureusement, le sculpteur ignorait cette courbe et grava une spirale d’Archimède.

 

Spirale logarithmique. Elle est engendrée par un point mobile M partant d’un point O, à vitesse proportionnelle à OM sur une droite tournant à vitesse angulaire constante autour de O.

Au lieu d’être régulièrement espacées, les spires suivent une progression géométrique de raison constante. Autre propriété de la spirale : elle coupe le rayon OM suivant un angle constant.

Inscription sur la tombe de Jacques Bernoulli, avec la spirale en bas.
Sur cet agrandissement, on voit que le sculpteur a gravé une spirale d’Archimède et non une spirale logarithmique. L’inscription latine « eadem mutata resurgo » signifie « déplacée, je réapparais à l’identique ».

Le développement du nautile

Le nautile est un mollusque marin dont la coquille est en forme de spirale. L’espace entre les spires étant triplé à chaque enroulement, elle évoque une spirale logarithmique. Pour examiner si cette forme est fortuite ou non, il est nécessaire d’en comprendre la provenance.

Coupe d’un nautile faisant apparaître une forme de spirale logarithmique.

La coquille du nautile est divisée en chambres closes, l’animal n’occupant que la dernière. Les autres sont remplies d’un mélange de liquide et de gaz, toutes communiquent entre elles au moyen d’un siphon.

Nautile vivant. L’animal n’occupe que la dernière chambre. Il se déplace d’avant en arrière en expulsant de l’eau du côté de sa bouche.

Ces chambres correspondent à l’évolution progressive du mollusque. Quand il grossit, ne pouvant agrandir la chambre où il se trouve, il en crée une autre dans son prolongement, un peu plus grosse mais semblable.

Pour montrer que cette idée mène effectivement à une spirale logarithmique, prenons comme modèle de la coquille une suite de triangles rectangles d’angle au sommet constant égal à 30°. Le rapport entre un triangle et son suivant est de 115 % (l’inverse du cosinus de 30° soit 2  divisé par racine de 3 pour être précis), ce qui correspond bien à une spirale logarithmique. L’idée correspond à un accroissement progressif de la taille de l’animal. Il n’est pas besoin d’imaginer de plans compliqués inscrits dans les gènes du nautile pour cela, juste une façon de croître.

Suite de triangles rectangles formant une (approximation de) spirale logarithmique.

La spirale logarithmique se retrouve pour les mêmes raisons dans d’autres animaux, comme la planorbe, un escargot marin très utilisé dans les aquariums car il se nourrit d’algues et de plantes à la limite du pourrissement.

Une coquille de planorbe en forme de spirale logarithmique.

Les toiles d’araignées

La toile d’araignée est avant tout un piège destiné à attraper des insectes. Certaines espèces tissent des toiles où il est bien difficile de reconnaître la moindre régularité.

Il n’est pas facile de reconnaître la moindre courbe mathématique dans cette toile d’araignée. En revanche, sans le soleil en contre jour, il est difficile de la détecter.

Les espèces les plus communes en France, les épeires, fabriquent cependant des toiles en forme de spirales. Après avoir bâti un cadre entre quelques branches, l’araignée tisse un réseau régulier de segments rectilignes partant tous d’un même point. Un fois ce travail fini, elle forme une spirale en les reliant. Le célèbre entomologiste Jean-Henri Fabre (1823 – 1915) a voulu y reconnaître une spirale logarithmique, tout en remarquant que l’action de la pesanteur transformait chaque segment en chaînette, la forme que prend naturellement un fil pesant comme les câbles électriques ou les chaînes que l’on porte autour du cou.

Cette toile d’épeire laisse plus penser à une spirale d’Archimède qu’à une spirale logarithmique. On y remarque également les segments transformés en chaînette sous l’effet de la pesanteur.

L’hypothèse de Riemann au salar d’Uyuni

Le salar d’Uyuni est un gigantesque désert de sel sur les hauts plateaux boliviens. On y trouve un cimetière de locomotives offrant plusieurs nuances de rouilles du meilleur effet photographique.

Locomotive rouillant sur le salar d’Uyuni

Un tag étonnant

Une grande partie de ce matériel ferroviaire à l’abandon est tagué. Une inscription nous a tout de même étonné par sa composante mathématique.

L’hypothèse de Riemann taguée sur une locomotive rouillant dans le salar d’Uyuni

Le tag affirme que les zéros non triviaux (i.e. entiers négatifs pairs) de la fonction dzéta de Riemann sont complexes de partie réelle égale à 1/2. Il s’agit d’une conjecture faite par Bernhard Riemann en 1859 et aujourd’hui dotée d’un prix d’un million de dollars par l’institut Clay. Rencontre étonnante !

 

La taille des œufs de coucous

Certaines espèces de coucous font couver leurs œufs par des oiseaux de tailles très différentes. Chacune a sa stratégie de parasitage. Certains, dont le coucou gris, semblent adapter la taille de leurs œufs à celle de ceux de leur hôte involontaire.

Le coucou gris

Le coucou gris, qui a la taille d’un pigeon, parasite des passereaux. À première vue, le scénario est simple. La femelle coucou pond un œuf dans le nid de rousserolles, de roitelets, de fauvettes, ou d’autres. Son œuf est le premier à éclore. Le petit coucou expulse alors la couvée entière du nid. Les passereaux nourrissent ensuite l’intrus jusqu’à ce qu’il soit adulte.

Jeune coucou se faisant nourrir par une rousserolle.

Stratégies du coucou

Pour atteindre son but, le couple de coucous repère puis guette un nid de passereau, de l’espèce qui les a élevés de préférence. Ce choix n’est pas toujours possible, et une erreur peut être fatale au jeune coucou. Par exemple, si la femelle pond dans un nid de granivores, son petit mourra de faim, car le coucou est insectivore.

Quand la femelle passereau a pondu, celle du coucou profite de son absence, pour gober un œuf et le remplacer rapidement par l’un des siens. Son œuf éclot avant ceux des passereaux car il a commencé à incuber dans son corps. Sitôt né, encore aveugle, le petit coucou expulse tous les œufs du nid afin d’être nourri seul par ses parents adoptifs.

Oisillon coucou jetant un œuf hors du nid.

Les mathématiques du coucou

Bien que le coucou soit cinq à six fois plus grand que les passereaux qu’il parasite, sa femelle pond des œufs de taille comparable aux leurs. Plus étrange, elle semble adapter la taille de ses œufs à celle de ceux qui se trouvent dans le nid dans lequel elle pond. L’un des premiers scientifiques à avoir étudié la question quantitativement, Oswald Latter en 1902, a récolté 29 œufs de coucous dans des nids de roitelets et de fauvettes et notés les diamètres. En réunissant ces données dans deux histogrammes, nous obtenons deux courbes en cloche distinctes ce qui indique que nous avons affaire à deux populations distinctes. Autrement dit, la femelle coucou adapte bien la taille de ses œufs à ceux déjà présents dans le nid dans lequel elle pond.

Distributions des diamètres des œufs pondus dans les nids de roitelets (en orange) et de fauvettes (en vert).Cette étude a depuis été confirmée pour plusieurs espèces de coucous. La recherche est d’autant plus active sur la question que, suivant les espèces, les coucous pratiquent le parasitisme de couvée, ou non et, parmi les coucous parasites, certains sont éjecteurs (ils détruisent les œufs de leur hôte dès leur éclosion) et d’autres, non. Les seconds parasitent des espèces de taille comparable à la leur alors que les autres choisissent des oiseaux plus petits.

Le parasitisme de couvée

Les canards colverts pratiquent le parasitisme de couvée, mais à l’intérieur de leur espèce. © Hervé Lehning

Le parasitisme de couvée ne se limite pas à certaines espèces de coucous. Cependant, le phénomène d’adaptation de la taille de l’œuf à celle de ceux de l’hôte n’a pas forcément lieu. Par exemple, certaines canes colverts pondent dans des nids d’autres colverts. Les flamands roses font de même ainsi que bien d’autres espèces d’oiseaux (on en a dénombré 236). Dans d’autres cas, les oiseaux parasitent des espèces de taille similaire à la leur. Seuls ceux qui parasitent des oiseaux plus petits connaissent ce phénomène d’adaptation de la taille de leurs œufs.

 

 

 

Des plantes et des maths

Les plantes ont un rapport étonnant avec les mathématiques, hasard ou nécessité ? Je vous laisse juger.

Suite de Fibonacci

Léonard de Pise, dit Fibonacci, a créé sa suite comme un simple exercice d’arithmétique :

Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ? 

Le calcul est simple, la suite donne : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, etc. Chaque nombre est la somme des deux qui le précèdent.Cette règle a fasciné au-delà de l’exercice. De plus, on la retrouve souvent dans la nature. En voici quelques exemples.

1, 2, 3, fleurs dans le désert du Namib (Namibie).                     © Hervé Lehning

Cette suite se retrouve plus souvent dans le décompte des pétales des fleurs. La seule façon de les compter est malheureusement de les effeuiller …

Saurez-vous trouver le nombre de Fibonacci derrière ces pétales de griffes de sorcière (littoral du sud de la France) ? © Hervé Lehning

La géométrie, des rosaces à la sphère

Après l’arithmétique, nous trouvons la géométrie avec des rotations surprenantes et des développements en sphère.

Rotation naturelle dans une plante succulente. La règle de formation des feuilles implique que celles-ci se déduisent l’une de l’autre par rotation. Littoral du sud de la France.     © Hervé Lehning
Cette plante sauvage des Alpes se développe naturellement en sphère. Parc des Écrins                © Hervé Lehning

Intersection d’un cercle et d’une droite dans la toundra

Cercle et droite sur une plante de la toundra. Groenland      © Hervé Lehning

Cette plante de la toundra groenlandaise présente deux formes géométriques simples : un cercle et une droite. Le cercle est naturel. Il correspond au développement de la plante dans toutes les directions à partir d’une graine, mais pourquoi a-t-elle dépéri d’un seul côté d’une droite ?

Quels poids portent-ils ?

Sur les chemins de l’Himalaya, jusqu’à 5000 mètres d’altitude, on rencontre sans cesse des porteurs et porteuses, parfois des enfants, surmontés de charges impressionnantes. Comment évaluer leurs poids ?

Compter les canettes

L’évaluation est relativement simple pour les porteurs de caisses de bière : on compte le nombre de canettes. le poids de chacune est facile à évaluer, un peu plus d’un tiers de kilo. Vingt paquets de dix donnent un fardeau de 70 kilogrammes … à porter sur des milliers de mètres de dénivelée !

Hotte d’un colporteur de l’Himalaya. Elle pèse environ 70 kg.                             © Hervé Lehning

Evaluer des volumes et des densités

Quel poids porte cette petite fille de 13 ans rencontrée sur le chemin de son village ?

Fillette de 13 ans, surmontée d’un imposant chargement, en route pour Phortse (400 mètres plus haut).             © Hervé Lehning

Elle y transporte des feuilles, que l’on utilise pour transformer le produit des toilettes en compost. La charge correspond malgré tout aux bottes de foin ordinaires qui, pressées, pèsent environ 20 kilogrammes. Malgré le côté impressionnant de sa charge, il est peu probable que cette jeune fille transporte plus de 10 à 15 kilogrammes sur son dos. Cela reste important pour une enfant dont la croissance n’est manifestement terminée, mais reste comparable aux poids des cartables de certains de nos collégiens.

Une buse de fonte

Buse en fonte sur le chemin de Namché Bazar. © Hervé Lehning

Autrement plus impressionnante est la buse en fonte que transporte cet homme en route vers Namché Bazar. Elle est destinée à créer une conduite forcée, pour servir à une micro usine hydro électrique. Le progrès vient ici à dos d’homme. Quel est le poids de cette buse ? Il est relativement facile d’évaluer le volume de fonte. La longueur est de 2,5 mètre environ, le diamètre 30 centimètres et l’épaisseur 1 centimètre. En mètres cubes, le volume est donc égal à :

2,5 x (0,152 – 0,142) x 3,14

soit 0,018 m3. La fonte ayant une densité de 7,4 tonnes au m3, nous en déduisons un poids de 130 kilogrammes environ. Même si nous admettons une erreur de 20 % dans notre évaluation, nous aboutissons à un poids supérieur à 100 kilogrammes, ce qui est impressionnant.

Les paraboles de l’Himalaya

Les paraboles sont utilisées dans l’Himalaya pour faire bouillir de l’eau. Pour cela, il suffit de diriger son axe vers le soleil. Ses rayons sont alors réfléchis vers le foyer où on a placé une casserole.

La parabole et son foyer

Si le soleil est dans l’axe de la parabole, ses rayons réfléchis passent tous par le foyer.

Selon la légende, Archimède aurait utilisé ce procédé pour incendier les voiles des navires romains lors du siège de Syracuse en 212 avant Jésus-Christ. Nous pouvons douter de la réalité de cette anecdote, car le moindre mouvement des bateaux suffit pour placer leurs voiles loin du foyer. Les servants du miroir parabolique auraient bien du mal à les suivre. Il est plus facile de chauffer une bouilloire immobile que la voile d’un navire en mouvement !

Les ponts himalayens

Les ponts himalayens sont des ouvrages souples suspendus par leurs deux extrémités. L’ancrage étant essentiel, leur altitude dépend de la qualité de la roche. Les deux extrémités doivent être approximativement à la même hauteur et indéracinables.

La courbe du pont

Globalement, le pont se comporte comme une chaîne suspendue par ses deux extrémités. Autrement dit, il prend la forme d’une courbe appelée chaînette pour cette raison. Les lignes électriques hautes tensions ainsi que les câbles de téléphériques en donnent d’autres exemples. Galilée pensait qu’il s’agissait d’une parabole, sans doute parce qu’elle est presque indiscernable de l’arc de parabole de même longueur suspendu entre les mêmes points. En fait, son équation est liée à la fonction exponentielle.

Parabole (en rouge) et chaînette (en bleu) de même longueur suspendue entre les mêmes points.

Minimiser la tension

En tendant fortement les câbles soutenant le pont, il serait possible que cette courbe se confonde avec une droite. L’observation montre que ce n’est jamais le cas. Pourquoi ? Tout simplement pour réduire la tension exercée aux extrémités qui, à terme, pourrait faire céder le pont. Pour la minimiser, la forme idéale est celle utilisée pour suspendre les lignes haute tension.

Minimisation de la tension. Le rapport entre la flèche et la distance doit être égal à 1 / 3.

Pour cela, le calcul montre que la flèche doit être égale au tiers de la distance entre les points d’appui, s’ils sont à la même altitude. Bien entendu, dans la pratique, il suffit que la tension reste à un niveau raisonnable. La flèche est donc rarement aussi importante. Au départ, la descente serait d’ailleurs dangereuse ! En pratique, on dépasse rarement une flèche de l’ordre du dixième de la distance.

Stabiliser le pont

Un pont fabriqué ainsi est sujet à des mouvements de roulis et de tangages, ce qui rend sa traversée délicate dès que plusieurs utilisateurs l’empruntent. Le vent a également une influence non négligeable sur sa stabilité. Pour éviter ces inconvénients, le plus simple est de le stabiliser par des câbles exerçant une tension latérale.

Cette photographie montre les câbles tendant latéralement le pont de chaque côté. Ils sont régulièrement espacés le long de deux courbes symétriques, de forme parabolique.   © Hervé Lehning

La courbe tendant ces câbles épouse la forme d’une parabole afin que la tension exercée soit constante le long du pont. Dans les ponts himalayens, on retrouve donc simultanément deux courbes : la chaînette et la parabole.

Chaînette et parabole se trouvent dans ce pont himalayen. © Hervé Lehning

Les colombes givrées

Ce glaçon étrange, que j’ai nommé les colombes givrées s’était détaché d’un glacier pour tomber dans un fjord et était venu s’échouer sur une plage où je venais de débarquer. Un rayon de soleil illuminait cette œuvre d’art éphémère que le hasard avait façonnée, l’art consistait à trouver le bon angle permettant de capturer la lumière malgré la légère pluie qui tombait.

Les colombes givrées © Hervé Lehning

Le glacier à l’origine du glaçon

Voici le front du glacier d’où s’échappent les glaçons plus ou moins gros :

Le front du glacier © Hervé Lehning

Comme on peut le voir sur cette photographie, la vie animale est riche à l’endroit où le glacier se jette dans la mer. Les oligo-éléments charriés par le glacier attirent le plancton, qui attire le poisson, qui attire des oiseaux pêcheurs et quelques phoques.

Rencontre en descendant du Pelvoux

Chamois surpris en descendant du Pelvoux © Hervé Lehning

 

Sur les sentiers de montagne, on rencontre souvent des promeneurs armés de jumelles essayant de distinguer quelques chamois au loin, sur les sommets. Nul ne semble espérer voir un chamois de très près.

L’art de surprendre un chamois

C’est cependant plutôt facile en tenant compte de plusieurs caractéristiques de cet animal. Premièrement, même si sa vue n’est pas si mauvaise quand il s’agit de repérer un animal en mouvement, il distincte mal un objet immobile. Par exemple, le jeune chamois sur la photo ci-dessus se doute visiblement de ma présence mais n’arrive pas à me distinguer car je me suis immobilisé, même si je me tiens debout à une dizaine de mètres de lui. J’ai pu m’approcher d’aussi près car je me suis déplacé contre le vent pour qu’il ne me sente pas, de plus le vacarme d’un torrent en contrebas ne lui a pas permis pas de m’entendre. Deux personnes bruyantes arrivant de l’autre côté l’ont fait s’enfuir quelques minutes plus tard. Elles ont été étonnées d’apprendre qu’un chamois broutait tranquillement quelques instants plus tôt au lieu même où elles se trouvaient.