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Les carnets à spirales sont-ils à hélices ?

En grec ancien, speirao signifiait « enrouler », de bandelettes en particulier, mot qui rapprochait les langes des enfants de ceux des momies. Notre mot « spirale » en dérive… pourtant, de ce temps, « spirale » se disait éliks  … qui a donné notre « hélice ». Les deux mots viennent donc de l’idée d’enrouler, mais les spirales sont tombées dans le monde à deux dimensions tandis que les hélices se sont élevées dans celui à trois dimensions. Hélas, les spirales de la violence comme celles du chômage, ou d’autres encore, nous enfoncent sans cesse et sont donc plutôt des hélices que des spirales.

De façon plus gaie, nous devons à cette confusion première, entre hélice et spirale, les carnets à spirales, si chers à William Sheller, qui pourtant sont à hélices, pas celles des avions, celles plus prosaïques des mathématiques.

Les hélices, des mathématiques aux bateaux et aux avions

Quel rapport entre les hélices des mathématiciens et celles des avionneurs ? A priori, aucun. Pourtant, le premier engin destiné à mouvoir un liquide était la vis d’Archimède, qui est bien construite sur une hélice circulaire. Cette origine explique l’utilisation du terme « hélice » pour tous les engins destinés à mouvoir un fluide, ou à mouvoir un objet dans un fluide.

La vis d’Archimède est une hélice, dans le sens des mathématiques comme de la mécanique des fluides.

La géométrie des fortifications de Vauban

Les forts du Moyen-Âge peuvent avoir des formes polygonales. Celles-ci restent cependant convexes. La règle pour les forts de l’époque de Vauban est différente. En terrain plat, on part d’un polygone régulier convexe. La longueur des côtés correspond à la portée utile des pièces d’artillerie de l’époque, un peu moins pour que l’effet soit meilleur. La norme est de 330 mètres. Le nombre de côtés dépend alors de la taille de la ville à ceinturer ainsi. Par exemple, un pentagone régulier de côté égal à 330 mètres englobe une surface de 18 hectares, un hexagone, 28 et un octogone, 52.

Partons ici d’un pentagone comme pour la citadelle de Lille. Au milieu de chaque côté, perpendiculairement et vers l’intérieur, nous portons une longueur de 55 mètres. Nous obtenons, un polygone plus compliqué en forme d’étoile.

Schéma de base d’une fortification bastionnée.

 

Ajout des bastions

Le but est d’établir aux sommets du polygone initial de petits fortins appelés « bastions » et destinés à recevoir des pièces d’artillerie pouvant couvrir les côtés du polygone en étoile, appelés « courtines ». Pour éviter d’être de trop bonnes cibles pour l’artillerie adverse, ces remparts ne dépassent pas du paysage. Leur hauteur vient des fossés situés autour. Ces murs sont essentiellement constitués de terre pour mieux résister aux boulets en fer. La maçonnerie qui les entoure est destinée à tenir le tout. Du côté de la place forte, elle se nomme l’escarpe. De l’autre côté, la contrescarpe. Un domaine est laissé vide et sans protection pour l’ennemi tout autour. Il se nomme le glacis. Sa longueur correspond au minimum à la portée des canons. Vu du glacis, l’assaillant n’aperçoit que des murailles modestes puisque le fossé les dissimule.

Nous sommes maintenant en présence de plusieurs polygones, l’un extérieur joignant les extrémités des bastions, l’autre intérieur dans le prolongement des courtines. Un autre limite le glacis.

Les bastions (en bleu) situés aux sommets du pentagone sont destinés à couvrir les courtines (en rouge). Les murs extérieurs des deux forment l’escarpe. La contrescarpe n’est pas indiquée sur cette figure. Elle est située de l’autre côté du fossé entourant le rempart.

Multiplication des défenses externes

Demi-lune vue du fort à Mont-Dauphin. Cette fortification protège la citadelle tout en restant sous le feu en provenant. L’ennemi ne peut que difficilement s’y maintenir après l’avoir prise.

Pour éviter ce défaut, Vauban a l’idée d’ajouter deux défenses externes devant chaque courtine : la tenaille à son pied et la demi-lune devant. Chacune de ces défenses n’offre aucune protection du côté de la place forte elle-même. Si l’ennemi la prend, il s’y trouve à découvert, donc dans une position difficile à tenir.

Les tenailles (près du fort) et les demi-lunes (toutes en vert) sont destinées à retarder l’ennemi dans sa progression. Ces fortifications ne sont pas fortifiées du côté de la place forte.

Vauban généralisa ce principe en détachant les bastions de la place forte elle-même. D’autre part, le tout est entouré d’un dernier petit rempart parallèle et recouvert, appelé « chemin couvert ». Ainsi, il se situe au sommet de la contrescarpe. Il s’agit en même temps de la première ligne de défense et d’un chemin de ronde, destiné à l’observation.

Les bastions sont détachés de la place. Sur cette photo, la direction de la meurtrière montre leur usage. Il s’agit de placer les courtines sous le feu de la place.

 

 

Comment peut-on chiffrer avec une courbe ?

Vous avez peut-être entendu d’une méthode de cryptographie utilisant des courbes, des courbes elliptiques plus précisément. Mais comment peut-on chiffrer, c’est-à-dire transformer un message clair en un message caché, avec une courbe ?

Les courbes elliptiques

Les courbes en question sont les courbes elliptiques, c’est-à-dire des courbes d’équation y2 = x3 + a x + ba et b sont des nombres, par exemple y2 = x3 – 2 x + 1 ce qui peut se dessiner. On obtient la figure suivante.

La courbe est l’ensemble des points M de coordonnées x et y vérifiant l’équation ci-dessus, c’est-à-dire y2 = x3 – 2 x + 1.

Le rapport avec les ellipses, qui sont des cercles « aplatis » sur l’un de leur diamètre, est indirect puisqu’il concerne le calcul de leurs longueurs. Nous n’insisterons pas sur ce point car il n’a aucun rapport avec la cryptographie. L’intérêt est qu’on peut définir des opérations transformant les points de cette courbe en un autre. On s’approche de l’idée de chiffrement … sans encore l’avoir atteinte toutefois.

Loi de groupe sur une courbe elliptique

L’avantage des courbes elliptiques est qu’on peut y définir une loi. La figure suivante montre comment, à deux points P et Q de la courbe, on associe un point que l’on note P + Q.

Dans le cas général, on trace la droite PQ. Elle coupe la courbe en un point R, P + Q est le symétrique de R par rapport à l’axe des abscisses. Si P = Q, PQ est la tangente en P à la courbe. Pour que cette définition fonctionne dans tous les cas, nous devons adjoindre à la courbe un point à l’infini, que nous notons 0. Si PQ est verticale, P + Q = 0.

On montre que cette loi + a les propriétés habituelles de l’addition des nombres, soit l’associativité, la commutativité, l’existence d’un point neutre (le point à l’infini) et d’un symétrique pour tout point (le symétrique par rapport à l’axe des abscisses justement).

Remarque : on trouvera les détails des calculs sur mon site : ici

Chiffrement

Pour chiffrer, on ne considère pas les courbes elliptiques sur le corps des nombres réels mais sur un corps fini comme Z / N où N est un nombre premier. La courbe a alors un nombre fini de points. L’idée de départ est qu’un texte peut être transformé en une suite de points de la courbe. Cela revient à écrire dans un alphabet ayant autant de signes que la courbe a de points. Notons que le problème sous-jacent n’a rien de simple mais, théoriquement, le chiffrement consiste alors à transformer un point de la courbe. La clef secrète est constituée d’un point P de la courbe et d’un nombre entier, comme 3 par exemple. On calcule ensuite P ’ = 3 P. La clef publique est alors le couple de points (P, P ’). Pour crypter un point M, le chiffreur choisit un entier, 23 par exemple, et transmet le couple (U, V) défini par : U = 23 P et V = M + 23 P ’. La connaissance du premier nombre, ici 3, suffit pour retrouver M car M = V – 3 U.

Logarithme discret

Pour retrouver le nombre choisi, 3 dans notre exemple, connaissant P et P ’, il suffit de savoir résoudre l’équation : P ’ = 3 P. L’utilisation du verbe « suffir » ne doit pas tromper. Cela ne signifie absolument pas que cela soit facile mais que, si vous savez le faire, vous savez décrypter. Le nombre 3 est alors appelé un logarithme discret ce qui n’est guère intuitif si on utilise la notation additive ci-dessus. Avec une notation multiplicative de l’opération de groupe, cela devient plus habituel puisque l’équation s’écrit alors : P ’ = P3. Dans l’ensemble des nombres usuels, 3 correspondrait au logarithme de base P de P ’ d’où le nom dans le cadre d’un groupe fini. À l’heure actuelle, ce problème est considéré comme très difficile. On estime qu’une clef de 200 bits pour les courbes elliptiques est plus sûre qu’une clef de 1024 bits pour la méthode R.S.A. Comme les calculs sur les courbes elliptiques ne sont pas compliqués à réaliser, c’est un gros avantage pour les cartes à puces où on dispose de peu de puissance, et où la taille de la clef influe beaucoup sur les performances. Les inconvénients sont de deux ordres. D’une part, la théorie des fonctions elliptiques est complexe et relativement récente. Il n’est pas exclu que l’on puisse contourner le problème du logarithme discret. D’autre part, la technologie de cryptographie par courbe elliptique a fait l’objet du dépôt de nombreux brevets à travers le monde. Cela pourrait rendre son utilisation coûteuse !

Comment évaluer l’espérance de vie d’un bébé qui vient de naître ?

Une fille vient de naître. Les médias nous apprennent qu’elle a une espérance de vie de 85 ans. D’où vient cette prédiction ? Que signifie l’espérance de vie ? Pour le comprendre, dans un premier temps, oubliez le sens commun du verbe « espérer » car la définition n’est claire que pour les générations entièrement décédées ! La voici. L’espérance de vie est la durée moyenne de vie des personnes nées la même année. La définition est étrange puisque, toutes ces personnes étant décédées, leur vie n’est plus une espérance. Si ce n’était le côté macabre, peut-être vaudrait-il mieux parler d’âge moyen à la mort ? La notion est identique, même si l’espérance de vie devient équivalente à celle de mort. Toutefois, le terme « espérance de vie » se comprend mieux pour les vivants.

Une définition macabre

Pour l’instant, restons malgré tout sur les générations passées car ce sont les seules qui permettent des calculs certains. Pour déterminer l’espérance de vie des gens nés en 1850 par exemple, il suffit de connaître tous les actes de naissance de 1850 et tous les actes de décès postérieurs. On en déduit les âges au décès et on en fait la moyenne… on trouve 41 ans. Cependant, ce calcul n’est possible que pour les générations entièrement décédées, pas pour les enfants qui viennent de naître !

Un modèle de la réalité

Pour prévoir l’espérance de vie de ceux qui viennent de naître, on imagine qu’ils subiront à chaque âge de leur vie la mortalité de l’année en cours. Plus précisément, on calcule le quotient de mortalité des deux sexes à chaque âge grâce à des estimations de population et de décès. En l’absence de toute migration, l’idée est très simple. Le premier janvier 2009, on compte 440428 hommes de 40 ans et 815 décès d’hommes de 40 ans pendant l’année 2 009. Le quotient de mortalité des hommes de 40 ans est donc estimé à 815 divisé par 440 428, soit 1,850 ‰. La méthode est fiable si on peut appliquer la loi des grands nombres. Ses résultats sont fantaisistes quand ce n’est pas le cas, particulièrement pour les grands âges.

À partir de ces quotients de mortalité des personnes de chaque âge, les statisticiens reconstruisent des tables de mortalité. On ne considère donc plus une population réelle mais une génération fictive de 100000 individus qui connaîtrait toute sa vie les conditions de mortalité par âge de l’année considérée. La table que l’on peut construire chaque année sur cette génération fictive est appelée la table du moment. C’est à partir de cette table qu’on calcule l’espérance de vie des enfants dès leur naissance. Cette méthode est fondée sur l’hypothèse que la situation de la mortalité restera identique à ce qu’elle est actuellement, et ceci alors même que nous savons qu’il n’en est rien ! Malgré tout, ces résultats donnent une idée plus vraisemblable de la réalité du futur que l’utilisation de tables de mortalité de générations décédées. Mieux vaut parfois une approximation raisonnable qu’une précision illusoire.

 

La chiralité des cochons et des escargots

Les coquilles des escargots sont des spirales qui peuvent croître de manière dextre ou senestre. En fait, ils sont presque tous dextres. Seuls un sur dix mille est senestre dans l’espèce des petits gris mais il existe des espèces où c’est le contraire.

Un petit gris. Si on place sa tête à gauche, sa coquille s’enroule dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

De même la queue en tire-bouchon des cochons peut être dextre ou senestre. Dans ce cas, il se trouve qu’il y a autant de cochons dextres que de cochons senestres. Ces différences entre dextre et senestre se retrouvent au niveau des molécules, ce qui a parfois des conséquences sur leurs propriétés.

La taille des œufs de coucous

Certaines espèces de coucous font couver leurs œufs par des oiseaux de tailles très différentes. Chacune a sa stratégie de parasitage. Certains, dont le coucou gris, semblent adapter la taille de leurs œufs à celle de ceux de leur hôte involontaire.

Le coucou gris

Le coucou gris, qui a la taille d’un pigeon, parasite des passereaux. À première vue, le scénario est simple. La femelle coucou pond un œuf dans le nid de rousserolles, de roitelets, de fauvettes, ou d’autres. Son œuf est le premier à éclore. Le petit coucou expulse alors la couvée entière du nid. Les passereaux nourrissent ensuite l’intrus jusqu’à ce qu’il soit adulte.

Jeune coucou se faisant nourrir par une rousserolle.

Stratégies du coucou

Pour atteindre son but, le couple de coucous repère puis guette un nid de passereau, de l’espèce qui les a élevés de préférence. Ce choix n’est pas toujours possible, et une erreur peut être fatale au jeune coucou. Par exemple, si la femelle pond dans un nid de granivores, son petit mourra de faim, car le coucou est insectivore.

Quand la femelle passereau a pondu, celle du coucou profite de son absence, pour gober un œuf et le remplacer rapidement par l’un des siens. Son œuf éclot avant ceux des passereaux car il a commencé à incuber dans son corps. Sitôt né, encore aveugle, le petit coucou expulse tous les œufs du nid afin d’être nourri seul par ses parents adoptifs.

Oisillon coucou jetant un œuf hors du nid.

Les mathématiques du coucou

Bien que le coucou soit cinq à six fois plus grand que les passereaux qu’il parasite, sa femelle pond des œufs de taille comparable aux leurs. Plus étrange, elle semble adapter la taille de ses œufs à celle de ceux qui se trouvent dans le nid dans lequel elle pond. L’un des premiers scientifiques à avoir étudié la question quantitativement, Oswald Latter en 1902, a récolté 29 œufs de coucous dans des nids de roitelets et de fauvettes et notés les diamètres. En réunissant ces données dans deux histogrammes, nous obtenons deux courbes en cloche distinctes ce qui indique que nous avons affaire à deux populations distinctes. Autrement dit, la femelle coucou adapte bien la taille de ses œufs à ceux déjà présents dans le nid dans lequel elle pond.

Distributions des diamètres des œufs pondus dans les nids de roitelets (en orange) et de fauvettes (en vert).Cette étude a depuis été confirmée pour plusieurs espèces de coucous. La recherche est d’autant plus active sur la question que, suivant les espèces, les coucous pratiquent le parasitisme de couvée, ou non et, parmi les coucous parasites, certains sont éjecteurs (ils détruisent les œufs de leur hôte dès leur éclosion) et d’autres, non. Les seconds parasitent des espèces de taille comparable à la leur alors que les autres choisissent des oiseaux plus petits.

Le parasitisme de couvée

Les canards colverts pratiquent le parasitisme de couvée, mais à l’intérieur de leur espèce. © Hervé Lehning

Le parasitisme de couvée ne se limite pas à certaines espèces de coucous. Cependant, le phénomène d’adaptation de la taille de l’œuf à celle de ceux de l’hôte n’a pas forcément lieu. Par exemple, certaines canes colverts pondent dans des nids d’autres colverts. Les flamands roses font de même ainsi que bien d’autres espèces d’oiseaux (on en a dénombré 236). Dans d’autres cas, les oiseaux parasitent des espèces de taille similaire à la leur. Seuls ceux qui parasitent des oiseaux plus petits connaissent ce phénomène d’adaptation de la taille de leurs œufs.

 

 

 

La plus belle formule des mathématiques

Quand on leur pose la question « quelle est la plus belle formule des mathématiques ? », la plupart des mathématiciens répondent :

e i π + 1 = 0

Cette formule est due à Leonhard Euler (1707 – 1783), auteur également de la formule plus utile mais moins belle :

e i x = cos x + i sin x

Remarque : Cette formule est utile en particulier en trigonométrie.

Beauté d’une formule

À quoi tient la beauté de cette formule ? Sans doute dans la réunion des cinq constantes les plus importantes des mathématiques : 0 et 1, les neutres de l’addition et de la multiplication, le nombre complexe i, racine carrée de –1 et les deux principales constantes transcendantes : e et π. Nous y voyons apparaître aussi les lois les plus usuelles : addition, multiplication et exponentiation tandis que le cercle se devine sous la présence du nombre d’Archimède : π. De plus, cette formule lie l’arithmétique (0 et 1), l’algèbre (le nombre i), la géométrie (le nombre π) et l’analyse (le nombre e et l’exponentielle).

Beauté d’une preuve

Cette beauté se retrouve dans une démonstration. D’après la formule d’Euler ci dessus, e i x est représenté dans le plan par le point du cercle trigonométrique (centre 0, rayon 1) à l’extrémité du rayon d’angle au centre x (avec l’horizontale). En faisant varier x de 0 à π, ce point passe de 1 à –1. En ajoutant 1 à e, on atteint alors 0. La formule :e i π + 1 = 0 est ainsi démontrée par le mouvement d’un point sur un cercle.

Beauté d’un objet

Lors du tricentenaire d’Euler, cette formule nous a inspiré un bel objet : une lampe en verre que nous vous laissons admirer. 

Lampe en hommage à Euler. © Hervé Lehning

Dans huit jours…

Pourquoi dit-on « dans huit jours » pour dire « dans une semaine » ? Et 15 pour deux semaines, alors que 15 n’est même pas divisible par 2 ! De même, si nous sommes mardi 9 et que nous voulons parler du jeudi 11, nous disons « jeudi prochain », pour le suivant, le jeudi 18, « jeudi en huit » et pour le 25, « jeudi en quinze ».

Une origine biblique

L’origine n’est pas mathématique mais biblique ! En effet, nous retrouvons ce nombre 8 dans la Bible où il signifie qu’une semaine a été révolue. Le « huitième » est alors la marque du monde nouveau. Dans le judaïsme, la circoncision se pratique le huitième jour après la naissance. De même, l’auteur de l’évangile de Jean choisit le huitième jour pour faire apparaître Jésus Christ à Thomas, qui ne croyait pas les autres disciples.

Quelle est la taille de la Française moyenne ?

Vous lisez dans la presse que la Française moyenne mesure 1 mètre 63. Si vous rencontrez une Française, quelle est la probabilité qu’elle ait cette taille ?

Moyenne et répartition

En l’absence d’informations supplémentaires, impossible de répondre à cette question. Pour cela, il faut connaître la répartition de la taille des Françaises. De plus, la question est mal formulée : la Française moyenne est un mythe … il est préférable de parler de la taille moyenne des Françaises. En fait, elles se répartissent en 25 % de petites (1 mètre 54 en moyenne), 50 % de moyennes (1 mètre 63 en moyenne) et 25 % de grandes (1 mètre 72 en moyenne). La répartition exacte suit une courbe en forme de cloche comme c’est le cas généralement quand on étudie une population homogène sous un certain critère.

Courbe de répartition de la taille des Françaises. Peu ont la taille moyenne !

Cette courbe ne suffit pas non plus pour répondre à la question, même si elle donne l’idée que la probabilité qu’une femme donnée mesure 1 mètre 63 se situe entre 10 et 20 %. Les données statistiques sont donc à analyser avec prudence.

Boukhara : la forteresse et l’hyperboloïde

A Boukhara, en Ouzbékistan, une étrange construction fait face à l’antique forteresse.  Ce monument, qui n’attire pas les touristes, est pourtant témoin d’un courant artistique  important du début du vingtième siècle : le constructivisme russe.

Un château d’eau

Cette tour a été construite en 1927 par Vladimir Choukhov (1853 – 1939) pour servir de château d’eau. Désaffecté à la fin des années quarante, il est alors devenu un café jusqu’à ce qu’un accident mortel en interdise cet usage. Il vient d’être racheté par des Français pour devenir un point d’observation. Un ascenseur est prévu pour y accéder.

Le château d’eau est formé de deux séries de poutrelles d’acier qui en assurent la solidité.

Un hyperboloïde de révolution

La surface utilisée par Choukhov est célèbre en mathématiques et en architecture car elle est construite avec des droites. Pour comprendre sa fabrication, le plus simple est de partir d’un cylindre,   une surface simple à construire. Pour cela, il suffit de prendre un axe, d’y monter deux roues et d’y tendre des élastiques parallèles à l’axe. On obtient l’objet suivant.

Cylindre obtenu en tendant des élastiques entre deux roues fixées sur un axe. Les élastiques ont été choisis équidistants.

Les droites représentées par les élastiques sont les génératrices du cylindre.

On fait alors tourner la roue du haut d’un certain angle dans un sens et celle du bas du même angle dans le sens opposé. On obtient une nouvelle surface également générée par des droites.

Surface obtenue en tordant le cylindre.

Il se trouve qu’en tordant le cylindre du même angle dans un sens ou dans l’autre, on obtient la même surface, qui possède ainsi deux familles de génératrices.

Cette surface a été baptisée hyperboloïde de révolution à une nappe car elle est également obtenue en faisant tourner une hyperbole sur l’un de ses axes.

Pour des raisons physiques, cette surface est utilisée pour les tours de refroidissement des centrales nucléaires ou thermiques.