Archives pour la catégorie Arts

John et Alicia Nash … et la course aux armements

Le mathématicien John Nash (né en 1928) est mort le 23 Mai 2015 en compagnie de son épouse Alicia (née en 1933) dans un accident de taxi dans le New Jersey. Ils revenaient d’Oslo où John avait reçu le prix Abel, considéré comme le prix Nobel des mathématiques, le 19 Mai en compagnie de Louis Nirenberg (né en 1925) pour leurs contributions fondamentales et absolument remarquables à la théorie des équations aux dérivées partielles non linéaires, et à ses applications à l’analyse géométrique.

Théorie des jeux

Les jeux de la théorie des jeux ne sont pas tous ludiques.

John Nash est plus connu pour son apport à la théorie des jeux pour lequel il a obtenu le prix Nobel d’économie en 1994. Pour simplifier, la théorie des jeux est l’étude des comportements rationnels des individus en situation de conflit d’où ses applications en économie, stratégie et politique. Les équilibres de Nash sont les issues du jeu où aucun joueur ne regrettera son choix a posteriori. Prenons l’exemple de la course aux armements du temps de la guerre froide. Les États-Unis comme la Russie gagnent à ne pas dépenser leur argent inutilement mais ils perdent d’arrêter la course si l’autre la poursuit. Le jeu a ainsi deux équilibres de Nash : les deux pays courent ou les deux s’arrêtent.

Une femme d’exception

John et Alicia Nash en 2015.

John Nash est également connu pour le film qui lui a été consacré dont le titre français est Un homme d’exception, qui décrit son combat contre la schizophrénie dans lequel son épouse Alicia fut véritablement une femme d’exception.

Boby Lapointe et le bibi-binaire

Boby Lapointe (1922 – 1972) est connu comme chanteur humoriste, le seul chanteur français jamais sous-titré en France. Pourquoi ? Pas à cause de son élocution aléatoire mais parce que l’apprécier demandait une sacrée gymnastique intellectuelle ! Voici le début d’une de ses chansons les plus faciles pour en montrer le style.

Le poisson Fa

Il était une fois
Un poisson fa.
Il aurait pu être poisson-scie,
Ou raie,
Ou sole,
Ou tout simplement poisseau d’eau,

Ou même un poisson un peu là,
Non, non, il était poisson fa :
Un poisson fa,
Voilà.

et cela continue avec toutes les notes…

Une formation mathématique

Pas étonnant diront certains car la formation de Boby Lapointe  était fortement marquée par les mathématiques. Il aurait pu faire partie de l’Oulipo, comme adepte des littératures à contraintes ! Après un bac MathElem en 1940, il suivit les cours d’une classe de MathSpé et aurait intégré SupAero s’il n’avait pas été requis par le STO (service du travail obligatoire) en Autriche, dont il s’est évadé pour vivre dans la clandestinité. Boby Lapointe était donc un matheux et on le voit dans une de ses inventions.

L’hexadécimal

Revenons aux mathématiques avant de revenir à Boby Lapointe ! Vous avez sans doute remarqué que les clefs Wifi sont formées de chiffres décimaux entrecoupés de quelques lettres, entre A et F, comme par exemple : 9A8356D713058F4569C54039A0.

Il s’agit en fait d’un nombre écrit en base seize, en hexadécimal autrement dit. Dans cette base, les chiffres sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Les cinq derniers représentent les nombres décimaux de 10 à 15. Ce système permet d’écrire les nombres binaires de façon raccourcie. Par exemple, pour écrire le nombre binaire 1 100 101 en hexadécimal, il suffit de grouper les bits par quatre : 110 0101 et de traduire ces groupes : 110 vaut 6 et 0101, 5. Ce nombre s’écrit donc 65 en base seize. De même, un milliard, qui s’écrit 11 1011 1001 1010 1100 1010 0000 0000 en binaire, s’écrit 3B 9AC A00 en hexadécimal, ce que l’on obtient en traduisant chaque groupe de quatre bits.

Signification des chiffres hexadécimaux, c’est-à-dire des chiffres du système de base 16. En plus des chiffres usuels, ce système utilise les chiffres A, B, C, D, E et F qui représentent 10, 11, 12, 13, 14 et 15.

Le système bibi-binaire

Boby Lapointe inventa une notation pour les chiffres hexadécimaux où chaque chiffre se voit attribuer un symbole et une prononciation.

Système bibi-binaire de Boby Lapointe. Chaque chiffre du système hexadécimal se voit attribuer un graphisme et une prononciation dépendant de son écriture en base deux. L’ordre de l’écriture est indiqué pour le chiffre 0.

Ainsi 2019, qui s’écrit 7E3 en hexadécimal puisque 2019 vaut         7 x 16² + 14 x 16 + 3, se dit « bidehi » en bibi-binaire et s’écrit :

Del Aor, les mathématiques dans l’âme

Del Aor a abandonné les mathématiques pour se consacrer exclusivement à la peinture, avec juste raison car son talent est éclatant et on en reparlera … 

Ce commentaire de Jean-Luc Chalumeau est élogieux mais étonnant, et donne envie au mathématicien de s’exprimer. Comment regarder une toile de Lara Del Aor sans voir qu’elle n’a jamais abandonné les mathématiques ?

Des figures mathématiques simples

En effet, Lara Del Aor peint des figures mathématiques simples (cercles, triangles, carrés, rectangles) où la lumière se décompose de façon subtile. Un grand nombre de ses toiles, comme celle devant laquelle elle pose dans l’image mise en avant, sont composées d’une multiplicité de petits points d’interrogation dorés. Comme dans une illusion d’optique, l’œil s’y trouve piégé entre plusieurs interprétations, ce qui crée une vibration où le temps joue son rôle.

Sur ces deux toiles, l’influence des mathématiques est manifeste.

La part des mathématiques

Devant la contradiction entre certains commentaires et nos impressions personnelles, nous lui avons posé la question : quelle est la part des mathématiques dans sa peinture ? Voici sa réponse :

Del Aor : Peintre depuis mon enfance, ce sont pourtant des études de mathématiques qui ont été la base de ma nourriture intellectuelle. Et j’y ai pris un grand plaisir. Je ne crois pas pour autant que la Mathématique ait influencé mon chemin de peintre, mais plutôt qu’il y a eu retrouvailles entre ce langage universel et les profondeurs de mon esprit. Une évidence, une complicité.

HL : Si les mathématiques n’ont pas influencé votre chemin de peintre, pourquoi toutes ces formes géométriques ?

Del Aor : Les mathématiques m’ont permis de reconnaître cette ossature cachée de l’univers et d’identifier que cette dimension me parle parfaitement. De la même façon, les milliers d’heures passées à l’atelier à façonner mon outil pictural, m’ont conduite à épurer la matière et la gestuelle jusqu’à atteindre et retrouver un langage venu de mes profondeurs. Partie de traces libres et violemment agitées, le temps à travers le travail a produit comme une densification des signes. Il a fait tendre ces mouvements vers des formes de plus en plus concentrées et simples, géométrico-organiques : cercle, carré, triangle …

HL : Les mathématiques seraient donc le langage des profondeurs ?

Del Aor : Oui, elles révèlent symétries et libertés, correspondances subtiles entre espace et plan, jeu du chiffre, du point, de la ligne, de l’infini, capture de l’immatérialité de l’espace, tension entre le vide et le plein pour atteindre la limite du mystère, l’indicible ? Je n’ai fait que rejoindre la Mathématique qui est là quand toute fioriture et bavardage sont retirés. Et je la fais danser, jouer, vibrer, s’éclairer d’or et de couleurs, pour mieux nous la révéler. Sur d’immenses toiles, les formes sont dessinées par une multitude de points d’interrogation en « agitation brownienne ». Et ce mouvement crée un champ vibratoire qui sort du plan pour nous faire apparaître des volumes palpitants, en relief ou en creux, sans limites, insaisissables à nos mains mais bien présents à nos yeux. Nous voyageons en dimension 4. Un disque sur fond orange m’attire particulièrement car il nous amène proche de l’instant « T zéro », dans une sorte de Big Bang primordial. Est-ce la ronde du jeu de la vie ? Une porte ouverte sur le Mystère ?

La part de l’Asie et de la lumière

Un autre secret de Lara Del Aor est son amour pour l’Asie auquel nous devons certaines transparences.

Cette toile intitulée Jardin d’Eden montre la double influence des mathématiques et de l’Asie.
Entre 0 et 1.

Pour voir plus d’œuvres de Lara Del Aor, voici le site de l’artiste : https://www.delaor.com/fr_fr/

Le code des luthiers et la loi de Benford

Les registres d’un grand luthier parisien du XIX° siècle, Gand & Bernardel, se trouvant de nos jours au musée de la musique, montrent d’étonnantes parties chiffrées.

La ligne de registre ci-dessus concerne la vente d’un violon au prix de 8000 F. Dans la première partie figure le prix de 10000 F, sans doute le prix demandé par le luthier avant négociation. Entre parenthèses après ce prix figure quatre lettres : (exzx) puis ensuite ohxz. Le nombre de lettres incite à penser que l’un des deux représente le prix d’achat du luthier et l’autre le prix de réserve en dessous duquel il ne faut pas descendre. Ces indications ont alors un rôle évident : permettre la négociation du prix sans erreur de la prt du vendeur et sans donner le prix de réserve à l’acheteur. Il est alors logique de penser que le prix de réserve est entre parenthèses et que l’autre est le prix d’achat.

La loi de Benford

Le musée de la musique a demandé l’aide d’un cryptologue, en la personne de Pierrick Gaudry, pour casser le code utilisé. Pour ce faire, il a examiné les lettres se trouvant en tête des codes en pensant que, comme toutes données comptables, elle suivait la loi de Benford . Cette loi donne les fréquences d’apparition des chiffres en tête d’un nombre :

Chiffre 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Fréquence en % 30 18 12 10 8 7 6 5 4

(voir une discussion de cette loi dans Toutes les mathématiques du monde, page386)

En utilisant les fréquences d’apparition des lettres dans les codes, on trouve que h représente 1 et a représente 2. Des tâtonnements  donnent le reste et la clef est lumineuse pour un marchand de violons puisqu’il s’agit du mot harmonieux :

h a r m o n i e u x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

 

Dans les différents registres, on trouve également le code z. Des additions montrent qu’il vaut 0, comme x. Le fait de coder 0 de deux façons différentes s’expliquent car le 0 se trouve souvent dans les prix.

Ainsi, dans le cas de la ligne de registre citée plus haut, ohxz signifie 5100 F, ce qui correspond bien à un prix d’achat vraisemblable puisque le prix de vente final a été de 8000 F. Le prix de réserve exzx était de 8000 F aussi ce qui prouve que l’acheteur a bien négocié.

 

 

 

Le TVI à la Grande Ruine

Pour monter sur un sommet à 3712 mètres d’altitude, comme la Grande Ruine dans le massif de Ecrins (image mise en avant @Hervé Lehning), en partant d’un refuge situé à 3169 mètres d’altitude (le refuge Adèle Planchard), il est nécessaire de passer par toutes les altitudes intermédiaires.

Quelque soit la voie prise pour monter au sommet, nous passerons au moins une fois à chaque altitude entre le point de départ et celui d’arrivée. La photo représente un sommet proche de l’Everest, dans l’Himalaya. @Hervé Lehning

Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (ou TVI)

Ce résultat de bon sens correspond à un théorème de mathématiques concernant les fonctions continues sur un intervalle réel à valeurs réelles. La plupart des fonctions qu’on rencontre en mathématiques sont continues sauf, éventuellement, en quelques points exceptionnels, appelés pour cela points de discontinuité. Physiquement, dans la pratique, ces points correspondent souvent à des sauts.

Exemple de discontinuité : en un point x, les limites à droite et à gauche  diffèrent de la valeur en x. Dans ce cas, la fonction présente un saut en x.

Le théorème des valeurs intermédiaires peut s’illustrer ainsi :

Si f est une fonction continue sur [a, b] et m est une valeur entre f (a) et f (b), il existe x tel que f (x) = m.
Ce théorème est donc un théorème existentiel: il affirme l’existence d’un nombre sans permettre pour autant de le calculer.

Utilité

L’utilité pratique  essentielle de ce théorème est de montrer l’existence de racines d’équations : si une fonction continue change de signe entre deux points a et b, elle s’annule entre ces deux points.

On en déduit, par exemple, qu’une fonction continue sur un segment [a, b] à valeurs dans lui-même admet au moins un point fixe, c’est-à-dire un point x tel que f (x) = x. Pour le démontrer, il suffit de remarquer que la fonction g définie par (x) = f  (x)  –  x change de signe entre a et b.

Ombres, couleurs et lumières dans les arts graphiques

Que la lumière soit, et la lumière  fut.

La Bible, Genèse 1

Ce n’est pas un hasard si l’auteur du premier chapitre de la Genèse a placé la création de la lumière en tête, car elle est la condition de toute vie mais aussi de toute perception, des formes comme des couleurs. Elle est à la source des ombres et son étude établit des ponts entre mathématiques et art.

Sous des lumières différentes, le même paysage donne des impressions différentes, comme le montrent ces deux photographies de la rade de Toulon sous les nuages. La différence essentielle est que, dans la seconde photographie, un rayon de lumière vient illuminer les bâtiments en premier plan et créer des ombres. Les couleurs en sont également modifiées. Certains bâtiments passent du rose au jaune ou même au noir !

Vue de la rade de Toulon sous les nuages, avec ou sans rayon de soleil. © Hervé Lehning

Sans lumière, pas de couleurs

La couleur n’existe pas en elle-même, elle correspond à notre perception des ondes lumineuses qui, mathématiquement parlant, sont analogues aux ondes acoustiques. L’ensemble des longueurs d’onde de la lumière visible constitue le spectre de la lumière. Il s’étend du violet, dont la longueur d’onde est de 400 nanomètres, au rouge, dont la longueur d’onde est de 700 nanomètres. Au-delà de ces longueurs d’onde, la lumière devient invisible et on entre dans le domaine de l’ultraviolet, dont les rayons sont responsables du bronzage de la peau et dans l’infrarouge ou rayonnement calorique. On retrouve ces diverses couleurs dans les arcs-en-ciel.

Les différentes couleurs du spectre chromatique, du violet au rouge et de bas en haut, se retrouvent dans cet arc-en-ciel apparaissant au-dessus des chutes du Zambèze © Hervé Lehning

La même théorie mathématique, inventée par Joseph Fourier (1768 – 1830), permet de décomposer les ondes sonores et les ondes lumineuses en sommes d’ondes élémentaires, dites harmoniques en acoustique et ondes monochromatiques en optique. Dans ce dernier cas, celles qui correspondent au spectre visible sont appelées couleurs pures.

Les couleurs telles que nous les voyons dépendent de trois types de récepteurs compris dans nos yeux. Dans chaque onde, chacun capte la part à laquelle il est sensible, notre cerveau réalise la synthèse. Le système RVB, utilisé en photographie, imite ce principe naturel : on ajoute du rouge, du vert et du bleu pour obtenir toutes les couleurs. On retrouve le principe de la décomposition précédente, en la limitant à trois couleurs pures. Le système CMJN, utilisé en imprimerie, est fondé sur un principe soustractif mais aboutit à un résultat identique.

Sans lumière, pas d’ombres

De même, la lumière crée l’ombre. Le photographe, le dessinateur comme le peintre jouent avec cette propriété. L’ombre accentue les formes des objets ou en crée d’étranges.

La lumière, venant de l’autre côté de l’opéra de Sydney, crée une ombre qui souligne les formes. © Hervé Lehning

Les dessins d’architecture comportent des ombres portées d’un objet sur un autre, ce qui peut donner des courbes étonnantes. On peut les photographier ou les prévoir d’avance ce qui autrefois prêtait à des constructions de géométrie descriptive intéressantes. Elles sont aujourd’hui réalisées automatiquement à travers des logiciels de géométrie.

Ombres portées sur les toits de la Charité à Marseille. © Hervé Lehning

Il arrive de plus que les ombres prennent des formes étranges ne semblant plus rien à voir avec l’original, comme sur la photographie suivante qui constitue une anamorphose d’un taureau chargeant un toréador.

Ombres portées sur le sol d’un taureau chargeant un toréador dans les arènes d’Arles. © Hervé Lehning

Le clair-obscur

La lumière permet enfin de mettre l’accent sur un personnage et de le modeler, comme sur la photographie suivante où il met en valeur le mouvement des bras du personnage. Certains studios sont réputés pour ce type de photographies qui sculptent les personnages.

Le mouvement des bras de la femme sur cette photographie est mis en valeur par le jeu de lumière et d’ombre. © Hervé Lehning

Avant que cette technique ne soit exploitée en photographie, elle a été particulièrement utilisée par des peintres comme Georges de la Tour (1593 – 1652)  à l’époque classique. Dans le nouveau-né, l’accent est mis sur celui-ci grâce au rayon de lumière envoyé par la bougie cachée par la main de la femme à gauche.

Le nouveau-né par Georges de la Tour

De même, la lumière est au centre de la révolution impressionniste. D’une manière presque mathématique quand on pense à l’analyse de Fourier, les impressionnistes n’utilisent que des couleurs primaires et c’est leur reconstitution dans l’œil, ou plutôt le cerveau, du spectateur qui crée l’impression générale. L’aboutissement de ce courant se trouve sans doute dans les œuvres de Vincent Van Gogh (1853 – 1890).

Terrasse de café le soir par Vincent Van Gogh.

La lumière et ses reflets

C’est de même la lumière qui crée les reflets sur l’eau comme dans cette photographie prise un jour d’orage où les jeux de lumière sont visibles. On y voit également son influence sur les couleurs. La scène originale pouvait ainsi être vue de plusieurs manières.

Le grand canal du parc de Sceaux avant l’orage. © Hervé Lehning

Nous retrouvons ces effets dans nombres d’œuvres figuratives mais aussi dans les fameux noir-lumière de Pierre Soulages (né en 1919).

Tableau de Pierre Soulages.

Conclusion

Comme nous l’avons vu, seule la lumière donne un sens aux œuvres plastiques, que ce soit en photographie, en dessin ou en peinture. Les mathématiques ne sont bien entendu pas nécessaires pour les concevoir mais elles les structurent que ce soit dans l’analyse spectrale de la lumière ou dans ses jeux. Les logiciels de dessin utilisent d’ailleurs un grand nombre de techniques mathématiques, même si elles restent invisibles à l’utilisateur.

Les maths et la matière

Toujours à la recherche d’œuvres d’art inspirées par les mathématiques, et la science en général, j’ai découvert dans une petite galerie d’art parisienne (galerie Sonia Monti, Paris VIII), quelques œuvres de François Sforza, dont l’originalité est d’allier les maths et la matière.

La formule d’Euler

Leonhard Euler (1707 – 1783) est l’auteur d’une formule déclarée « plus belle formule des mathématiques » en plusieurs occasions :

Pourquoi si belle ? La raison souvent invoquée est la réunion de cinq constantes fondamentales : les éléments neutres de l’addition (0) et de la multiplication (1), la mystérieuse racine carrée de -1 (i) et les deux nombres transcendants les plus rencontrées (e et pi). François Sforza suggère de plus une démonstration élémentaire de la formule sur son tableau.

Lidentité d’Euler par François Sforza. La photo ne reflète  pas la matière de la peinture.

Dans un autre post, j’ai célébré cette même formule dans une autre matière : le verre.

La plus belle formule des mathématiques

L’hypothèse de Riemann

La fonction zêta de Riemann est à l’honneur dans une autre toile, accompagnée de son lien avec les nombres premiers, dû à Euler.

Fonction zêta par François Sforza. Au cœur de l’hypothèse de Riemann.

L’hypothèse de Riemann se trouve de façon étonnante au salar d’Uyuni en Bolivie, taguée sur une locomotive rouillée :

L’hypothèse de Riemann au salar d’Uyuni

Pour finir, voici quelques autres peintures de François Sforza.

L’inconnue de François Sforza.
Synaptik par François Sforza. Une plongée imaginaire dans notre cerveau où des formules mathématiques remontent le long des neurones.

 

Vibration sonore par François SforzaPour en savoir plus sur l’artiste

https://sforzafrancois.portfoliobox.net

 

Cercle qui roule se quarre

La quadrature du cercle consiste à construire un carré de même aire qu’un cercle donné. Si le cercle a pour rayon R, il s’agit donc de construire un carré de côté R multiplié par la racine carrée du nombre Pi. On peut donc réaliser la quadrature du cercle avec une règle graduée à la précision que l’on veut.

Des règles qui changent tout

Quand le problème est apparu dans l’Antiquité, il n’était pas question d’approximations, la règle était que la construction devait être exacte. Il en existe plusieurs. L’une d’entre elle demande de faire rouler un cercle sur une droite. La voici sous forme de tableau :

Le cercle part de la position à gauche (en rouge) pour arriver à celle de droite (en jaune) ce qui permet de définir le carré de droite, de même aire que le cercle initial.

En utilisant uniquement le théorème de Pythagore, on démontre que le carré est de côté racine de Pi, ce qui prouve que le carré et le cercle ont même aire (voir à la fin pour une démonstration).

Cette utilisation d’un procédé mécanique (faire rouler le cercle) ne convenait pas aux anciens, il fallait construire le carré à la règle (non graduée) et au compas. Dans ces conditions, le problème devient impossible, ce qui n’a été prouvé qu’au XIX-ième siècle en démontrant que le nombre Pi est transcendant c’est-à-dire qu’il n’est pas solution d’une équation algébrique à coefficients entiers.

De façon étonnante, un problème purement géométrique et très conditionné par des visions antiques a eu des conséquences importantes en algèbre et en analyse.

Un peu de géométrie

La figure essentielle est la suivante :

Il s’agit de montrer que HC a pour longueur la racine carrée de Pi.

En appliquant le théorème de Pythagore dans les trois triangles rectangles HBC, HC et ABC, on obtient :

HC² + 1 = BC², HC²+ Pi² = AC² et BC² + AC² = (Pi + 1)²

En faisant la somme des deux premières expressions puis un peu d’algèbre, il vient que HC² est égal à Pi ce qu’il fallait démontrer.

Une lampe pour une idée lumineuse

Cette quadrature du cercle, dont l’auteur initial nous est inconnu, m’a inspiré la lampe suivant :

Cercle qui roule se quarre par Hervé Lehning.

L’art du défilement, Vauban et Gaspard Monge

L’un des problèmes pour construire des fortifications à l’époque de Vauban (1633 – 1707) était  :

Comment défiler une fortification des tirs de l’ennemi ?

Le verbe « défiler » doit s’entendre ici au sens commun de « se défiler ». Comment cacher l’intérieur d’un ouvrage aux vues et aux tirs de l’agresseur ? Bien entendu, il suffit de bâtir partout des remparts assez hauts. L’ennui est que la hauteur fragilise les remparts. Le tout doit rester équilibré. Sur le terrain, les bons ingénieurs comme Vauban savaient défiler leurs ouvrages mais comment s’y prendre à partir d’un simple plan côté ?

La géométrie descriptive

Gaspard Monge (1746 – 1818) inventa la géométrie descriptive pour résoudre ce problème. De façon générale, elle permettait d’étudier certains objets de l’espace comme l’intersection de deux tores dans l’épure qui suit. Le résultat pouvait être très esthétique, comme on peut le voir dans ce cas.

Dessin se trouvant dans Objets mathématiques, Institut Henri Poincaré, livre que nous recommandons fortement.

Les déblais et remblais

Le même Monge, sans doute également motivé par la construction de fortifications, publia un Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais où il se proposait de résoudre un problème très concret : comment déplacer des tas de sable vers un certain nombre de destinations de la manière la plus économique possible ?

Dessin explicatif du problème dans le mémoire de Monge.

Ici il s’agit de déblayer la zone de gauche pour remblayer celle de droite (ou l’inverse puisque les deux problèmes sont équivalents). Dans son mémoire, Monge étudie ce problème mais ne le résout pas dans sa généralité. Voir l’article d’Étienne Ghys dans Image des mathématiques.

Le transport optimal

Ce problème se généralise en problème du transport optimal : comment un fournisseur peut-il livrer un certain nombre de points de vente de façon à minimiser ses coûts ? Le problème de Monge a ainsi été redécouvert par Léonid Kantorovitch (1912 – 1986) qui obtint le prix Nobel d’économie en 1975 pour ses avancées sur la question en ouvrant un nouveau domaine, celui de la programmation linéaire. Plus récemment, Cédric Villani (né en 1973) a obtenu la médaille Fields en revisitant le problème du transport optimal en le rapprochant du problème de la diffusion des gaz. Cette capacité de rapprochement entre des domaines a priori différents est un marqueur des grands mathématiciens.

 

La spirale logarithmique, une courbe zoologique ?

La même courbe se retrouve-t-elle dans les galaxies, certains mollusques et les toiles d’araignées ? Enquête sur la spirale logarithmique.

La spirale d’Archimède

Imaginez ! Une droite tourne à vitesse angulaire constante autour d’un point O. Si, partant de O, un point M parcourt cette droite à vitesse constante, on obtient une spirale d’Archimède. On démontre facilement que les spires y sont régulièrement espacées.

Spirale d’Archimède. Elle est engendrée par un point mobile M partant d’un point O, à vitesse constante sur une droite tournant à vitesse angulaire constante autour de O.

La spirale logarithmique

Si, toujours partant de O, le point M parcourt la droite à une vitesse proportionnelle à la longueur OM, il dessine une autre courbe, appelée spirale logarithmique depuis Pierre Varignon (1654 – 1722) mais étudiée auparavant par René Descartes (1596 – 1650) avant d’être choisie par Jacques Bernoulli (1654 – 1705) pour orner sa tombe. Malheureusement, le sculpteur ignorait cette courbe et grava une spirale d’Archimède.

 

Spirale logarithmique. Elle est engendrée par un point mobile M partant d’un point O, à vitesse proportionnelle à OM sur une droite tournant à vitesse angulaire constante autour de O.

Au lieu d’être régulièrement espacées, les spires suivent une progression géométrique de raison constante. Autre propriété de la spirale : elle coupe le rayon OM suivant un angle constant.

Inscription sur la tombe de Jacques Bernoulli, avec la spirale en bas.
Sur cet agrandissement, on voit que le sculpteur a gravé une spirale d’Archimède et non une spirale logarithmique. L’inscription latine « eadem mutata resurgo » signifie « déplacée, je réapparais à l’identique ».

Le développement du nautile

Le nautile est un mollusque marin dont la coquille est en forme de spirale. L’espace entre les spires étant triplé à chaque enroulement, elle évoque une spirale logarithmique. Pour examiner si cette forme est fortuite ou non, il est nécessaire d’en comprendre la provenance.

Coupe d’un nautile faisant apparaître une forme de spirale logarithmique.

La coquille du nautile est divisée en chambres closes, l’animal n’occupant que la dernière. Les autres sont remplies d’un mélange de liquide et de gaz, toutes communiquent entre elles au moyen d’un siphon.

Nautile vivant. L’animal n’occupe que la dernière chambre. Il se déplace d’avant en arrière en expulsant de l’eau du côté de sa bouche.

Ces chambres correspondent à l’évolution progressive du mollusque. Quand il grossit, ne pouvant agrandir la chambre où il se trouve, il en crée une autre dans son prolongement, un peu plus grosse mais semblable.

Pour montrer que cette idée mène effectivement à une spirale logarithmique, prenons comme modèle de la coquille une suite de triangles rectangles d’angle au sommet constant égal à 30°. Le rapport entre un triangle et son suivant est de 115 % (l’inverse du cosinus de 30° soit 2  divisé par racine de 3 pour être précis), ce qui correspond bien à une spirale logarithmique. L’idée correspond à un accroissement progressif de la taille de l’animal. Il n’est pas besoin d’imaginer de plans compliqués inscrits dans les gènes du nautile pour cela, juste une façon de croître.

Suite de triangles rectangles formant une (approximation de) spirale logarithmique.

La spirale logarithmique se retrouve pour les mêmes raisons dans d’autres animaux, comme la planorbe, un escargot marin très utilisé dans les aquariums car il se nourrit d’algues et de plantes à la limite du pourrissement.

Une coquille de planorbe en forme de spirale logarithmique.

Les toiles d’araignées

La toile d’araignée est avant tout un piège destiné à attraper des insectes. Certaines espèces tissent des toiles où il est bien difficile de reconnaître la moindre régularité.

Il n’est pas facile de reconnaître la moindre courbe mathématique dans cette toile d’araignée. En revanche, sans le soleil en contre jour, il est difficile de la détecter.

Les espèces les plus communes en France, les épeires, fabriquent cependant des toiles en forme de spirales. Après avoir bâti un cadre entre quelques branches, l’araignée tisse un réseau régulier de segments rectilignes partant tous d’un même point. Un fois ce travail fini, elle forme une spirale en les reliant. Le célèbre entomologiste Jean-Henri Fabre (1823 – 1915) a voulu y reconnaître une spirale logarithmique, tout en remarquant que l’action de la pesanteur transformait chaque segment en chaînette, la forme que prend naturellement un fil pesant comme les câbles électriques ou les chaînes que l’on porte autour du cou.

Cette toile d’épeire laisse plus penser à une spirale d’Archimède qu’à une spirale logarithmique. On y remarque également les segments transformés en chaînette sous l’effet de la pesanteur.