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La plus belle formule des mathématiques

Quand on leur pose la question « quelle est la plus belle formule des mathématiques ? », la plupart des mathématiciens répondent :

e i π + 1 = 0

Cette formule est due à Leonhard Euler (1707 – 1783), auteur également de la formule plus utile mais moins belle :

e i x = cos x + i sin x

Remarque : Cette formule est utile en particulier en trigonométrie.

Beauté d’une formule

À quoi tient la beauté de cette formule ? Sans doute dans la réunion des cinq constantes les plus importantes des mathématiques : 0 et 1, les neutres de l’addition et de la multiplication, le nombre complexe i, racine carrée de –1 et les deux principales constantes transcendantes : e et π. Nous y voyons apparaître aussi les lois les plus usuelles : addition, multiplication et exponentiation tandis que le cercle se devine sous la présence du nombre d’Archimède : π. De plus, cette formule lie l’arithmétique (0 et 1), l’algèbre (le nombre i), la géométrie (le nombre π) et l’analyse (le nombre e et l’exponentielle).

Beauté d’une preuve

Cette beauté se retrouve dans une démonstration. D’après la formule d’Euler ci dessus, e i x est représenté dans le plan par le point du cercle trigonométrique (centre 0, rayon 1) à l’extrémité du rayon d’angle au centre x (avec l’horizontale). En faisant varier x de 0 à π, ce point passe de 1 à –1. En ajoutant 1 à e, on atteint alors 0. La formule :e i π + 1 = 0 est ainsi démontrée par le mouvement d’un point sur un cercle.

Beauté d’un objet

Lors du tricentenaire d’Euler, cette formule nous a inspiré un bel objet : une lampe en verre que nous vous laissons admirer. 

Lampe en hommage à Euler. © Hervé Lehning

Boukhara : la forteresse et l’hyperboloïde

A Boukhara, en Ouzbékistan, une étrange construction fait face à l’antique forteresse.  Ce monument, qui n’attire pas les touristes, est pourtant témoin d’un courant artistique  important du début du vingtième siècle : le constructivisme russe.

Un château d’eau

Cette tour a été construite en 1927 par Vladimir Choukhov (1853 – 1939) pour servir de château d’eau. Désaffecté à la fin des années quarante, il est alors devenu un café jusqu’à ce qu’un accident mortel en interdise cet usage. Il vient d’être racheté par des Français pour devenir un point d’observation. Un ascenseur est prévu pour y accéder.

Le château d’eau est formé de deux séries de poutrelles d’acier qui en assurent la solidité.

Un hyperboloïde de révolution

La surface utilisée par Choukhov est célèbre en mathématiques et en architecture car elle est construite avec des droites. Pour comprendre sa fabrication, le plus simple est de partir d’un cylindre,   une surface simple à construire. Pour cela, il suffit de prendre un axe, d’y monter deux roues et d’y tendre des élastiques parallèles à l’axe. On obtient l’objet suivant.

Cylindre obtenu en tendant des élastiques entre deux roues fixées sur un axe. Les élastiques ont été choisis équidistants.

Les droites représentées par les élastiques sont les génératrices du cylindre.

On fait alors tourner la roue du haut d’un certain angle dans un sens et celle du bas du même angle dans le sens opposé. On obtient une nouvelle surface également générée par des droites.

Surface obtenue en tordant le cylindre.

Il se trouve qu’en tordant le cylindre du même angle dans un sens ou dans l’autre, on obtient la même surface, qui possède ainsi deux familles de génératrices.

Cette surface a été baptisée hyperboloïde de révolution à une nappe car elle est également obtenue en faisant tourner une hyperbole sur l’un de ses axes.

Pour des raisons physiques, cette surface est utilisée pour les tours de refroidissement des centrales nucléaires ou thermiques.

Des plantes et des maths

Les plantes ont un rapport étonnant avec les mathématiques, hasard ou nécessité ? Je vous laisse juger.

Suite de Fibonacci

Léonard de Pise, dit Fibonacci, a créé sa suite comme un simple exercice d’arithmétique :

Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ? 

Le calcul est simple, la suite donne : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, etc. Chaque nombre est la somme des deux qui le précèdent.Cette règle a fasciné au-delà de l’exercice. De plus, on la retrouve souvent dans la nature. En voici quelques exemples.

1, 2, 3, fleurs dans le désert du Namib (Namibie).                     © Hervé Lehning

Cette suite se retrouve plus souvent dans le décompte des pétales des fleurs. La seule façon de les compter est malheureusement de les effeuiller …

Saurez-vous trouver le nombre de Fibonacci derrière ces pétales de griffes de sorcière (littoral du sud de la France) ? © Hervé Lehning

La géométrie, des rosaces à la sphère

Après l’arithmétique, nous trouvons la géométrie avec des rotations surprenantes et des développements en sphère.

Rotation naturelle dans une plante succulente. La règle de formation des feuilles implique que celles-ci se déduisent l’une de l’autre par rotation. Littoral du sud de la France.     © Hervé Lehning
Cette plante sauvage des Alpes se développe naturellement en sphère. Parc des Écrins                © Hervé Lehning

Intersection d’un cercle et d’une droite dans la toundra

Cercle et droite sur une plante de la toundra. Groenland      © Hervé Lehning

Cette plante de la toundra groenlandaise présente deux formes géométriques simples : un cercle et une droite. Le cercle est naturel. Il correspond au développement de la plante dans toutes les directions à partir d’une graine, mais pourquoi a-t-elle dépéri d’un seul côté d’une droite ?

Une sangaku célèbre, de Hidetoshi Fukagawa

Les sangakus japonaises sont de petits chefs d’œuvres aussi bien au niveau du raisonnement mathématique que de l’esthétique. Jean Constant, par exemple, s’en est fait une spécialité (voir l’image mise en avant). La sangaku suivante a été découverte par Hidetoshi Fukagawa.

Les deux triangles (rouge et vert) inscrits dans le carré jaune sont équilatéraux, quel est le rapport entre les rayons des cercles bleus ?

Rayon d’un cercle inscrit

Les deux cercles sont inscrits dans deux triangles. Un théorème permet d’en calculer les rayons en fonction de leurs aires et de leurs périmètres. Plus précisément, le rayon du cercle inscrit dans un triangle est égal à deux fois la surface du triangle divisé par son périmètre, ce résultat est mis en évidence par un dessin : l’aire du triangle se décompose en  trois triangles de même hauteur, le rayon du cercle inscrit. L’aire de chacun de ces triangles est donc égale au rayon du cercle inscrit multiplié par la longueur du côté opposé divisée par deux. En faisant la somme, le périmètre du triangle s’introduit naturellement .

Plan d’attaque du problème

Pour calculer les rayons des deux cercles, il s’agit donc de calculer un certain nombre de longueurs de segments de la figure. L’idée pour les calculer vient si nous en oublions une partie. En utilisant les angles de 60° et de 45° en évidence, nous trouvons que les triangles rouges ont les mêmes angles et sont donc semblables.

Grâce aux rapports de similitude et au théorème de Pythagore, les mesures de longueurs apparaissent progressivement, une d’entre elles (AC) ayant été choisie comme unité. Le dessin est utile pour suivre le raisonnement. Nous en déduisons progressivement les diverses longueurs importantes. Elles sont notées sur le dessin ci-dessous.

On en déduit les valeurs des deux rayons :

Un calcul algébrique

Un calcul algébrique permet de montrer que R = 2 r. Pour cette dernière étape, aucune visualisation n’est nécessaire et nous pouvons l’exécuter avec un logiciel de calcul formel. Ce dernier calcul nous entraîne vers les extensions algébriques, nous nous arrêterons à leur porte.

L’éventail de la geisha

Dans certaines sangakus, les auteurs ont clairement privilégié l’esthétique.

Par exemple, dans celui en forme d’éventail ouvert aux deux tiers ci-dessus, il s’agit de trouver le rapport entre les rayons des cercles verts et rouges. Ici encore, l’essentiel est d’introduire les bons points, qui ne sont pas directement visibles. On trouve :

 

Quels poids portent-ils ?

Sur les chemins de l’Himalaya, jusqu’à 5000 mètres d’altitude, on rencontre sans cesse des porteurs et porteuses, parfois des enfants, surmontés de charges impressionnantes. Comment évaluer leurs poids ?

Compter les canettes

L’évaluation est relativement simple pour les porteurs de caisses de bière : on compte le nombre de canettes. le poids de chacune est facile à évaluer, un peu plus d’un tiers de kilo. Vingt paquets de dix donnent un fardeau de 70 kilogrammes … à porter sur des milliers de mètres de dénivelée !

Hotte d’un colporteur de l’Himalaya. Elle pèse environ 70 kg.                             © Hervé Lehning

Evaluer des volumes et des densités

Quel poids porte cette petite fille de 13 ans rencontrée sur le chemin de son village ?

Fillette de 13 ans, surmontée d’un imposant chargement, en route pour Phortse (400 mètres plus haut).             © Hervé Lehning

Elle y transporte des feuilles, que l’on utilise pour transformer le produit des toilettes en compost. La charge correspond malgré tout aux bottes de foin ordinaires qui, pressées, pèsent environ 20 kilogrammes. Malgré le côté impressionnant de sa charge, il est peu probable que cette jeune fille transporte plus de 10 à 15 kilogrammes sur son dos. Cela reste important pour une enfant dont la croissance n’est manifestement terminée, mais reste comparable aux poids des cartables de certains de nos collégiens.

Une buse de fonte

Buse en fonte sur le chemin de Namché Bazar. © Hervé Lehning

Autrement plus impressionnante est la buse en fonte que transporte cet homme en route vers Namché Bazar. Elle est destinée à créer une conduite forcée, pour servir à une micro usine hydro électrique. Le progrès vient ici à dos d’homme. Quel est le poids de cette buse ? Il est relativement facile d’évaluer le volume de fonte. La longueur est de 2,5 mètre environ, le diamètre 30 centimètres et l’épaisseur 1 centimètre. En mètres cubes, le volume est donc égal à :

2,5 x (0,152 – 0,142) x 3,14

soit 0,018 m3. La fonte ayant une densité de 7,4 tonnes au m3, nous en déduisons un poids de 130 kilogrammes environ. Même si nous admettons une erreur de 20 % dans notre évaluation, nous aboutissons à un poids supérieur à 100 kilogrammes, ce qui est impressionnant.

Les paraboles de l’Himalaya

Les paraboles sont utilisées dans l’Himalaya pour faire bouillir de l’eau. Pour cela, il suffit de diriger son axe vers le soleil. Ses rayons sont alors réfléchis vers le foyer où on a placé une casserole.

La parabole et son foyer

Si le soleil est dans l’axe de la parabole, ses rayons réfléchis passent tous par le foyer.

Selon la légende, Archimède aurait utilisé ce procédé pour incendier les voiles des navires romains lors du siège de Syracuse en 212 avant Jésus-Christ. Nous pouvons douter de la réalité de cette anecdote, car le moindre mouvement des bateaux suffit pour placer leurs voiles loin du foyer. Les servants du miroir parabolique auraient bien du mal à les suivre. Il est plus facile de chauffer une bouilloire immobile que la voile d’un navire en mouvement !

Les ponts himalayens

Les ponts himalayens sont des ouvrages souples suspendus par leurs deux extrémités. L’ancrage étant essentiel, leur altitude dépend de la qualité de la roche. Les deux extrémités doivent être approximativement à la même hauteur et indéracinables.

La courbe du pont

Globalement, le pont se comporte comme une chaîne suspendue par ses deux extrémités. Autrement dit, il prend la forme d’une courbe appelée chaînette pour cette raison. Les lignes électriques hautes tensions ainsi que les câbles de téléphériques en donnent d’autres exemples. Galilée pensait qu’il s’agissait d’une parabole, sans doute parce qu’elle est presque indiscernable de l’arc de parabole de même longueur suspendu entre les mêmes points. En fait, son équation est liée à la fonction exponentielle.

Parabole (en rouge) et chaînette (en bleu) de même longueur suspendue entre les mêmes points.

Minimiser la tension

En tendant fortement les câbles soutenant le pont, il serait possible que cette courbe se confonde avec une droite. L’observation montre que ce n’est jamais le cas. Pourquoi ? Tout simplement pour réduire la tension exercée aux extrémités qui, à terme, pourrait faire céder le pont. Pour la minimiser, la forme idéale est celle utilisée pour suspendre les lignes haute tension.

Minimisation de la tension. Le rapport entre la flèche et la distance doit être égal à 1 / 3.

Pour cela, le calcul montre que la flèche doit être égale au tiers de la distance entre les points d’appui, s’ils sont à la même altitude. Bien entendu, dans la pratique, il suffit que la tension reste à un niveau raisonnable. La flèche est donc rarement aussi importante. Au départ, la descente serait d’ailleurs dangereuse ! En pratique, on dépasse rarement une flèche de l’ordre du dixième de la distance.

Stabiliser le pont

Un pont fabriqué ainsi est sujet à des mouvements de roulis et de tangages, ce qui rend sa traversée délicate dès que plusieurs utilisateurs l’empruntent. Le vent a également une influence non négligeable sur sa stabilité. Pour éviter ces inconvénients, le plus simple est de le stabiliser par des câbles exerçant une tension latérale.

Cette photographie montre les câbles tendant latéralement le pont de chaque côté. Ils sont régulièrement espacés le long de deux courbes symétriques, de forme parabolique.   © Hervé Lehning

La courbe tendant ces câbles épouse la forme d’une parabole afin que la tension exercée soit constante le long du pont. Dans les ponts himalayens, on retrouve donc simultanément deux courbes : la chaînette et la parabole.

Chaînette et parabole se trouvent dans ce pont himalayen. © Hervé Lehning

La forme de la tour Eiffel

Selon les écrits de Gustave Eiffel, la forme de sa tour ne doit rien au hasard, même si le résultat pourrait plaider pour un simple souci d’esthétique. Selon lui, tout a été étudié mathématiquement pour résister au vent. Plus précisément, il affirme que le moment des forces appliquées par le vent en chaque point est égal et opposé au moment du poids de la structure en ce point. Les calculs mathématiques d’Eiffel n’ayant pas été publiés, on a longtemps soupçonné les ingénieurs d’Eiffel d’avoir opéré empiriquement pour obtenir la forme de type exponentiel qu’on connaît.

La tour Eiffel vue du champ de Mars @Hervé Lehning

Reconstitution des calculs

Les calculs ont été repris en 2005 par deux mathématiciens américains, Patrick Weidman et Iosif Pinelis. En suivant les indications d’Eiffel, ils ont débouché sur une équation intégro-différentielle relativement simple … pour les spécialistes … dont la solution est bien une exponentielle.

Axes choisis par Weidman et Pinelis, f (x0) = 5 m, l’équation à résoudre est écrite en dessous.

Mais, en réalité, la tour Eiffel est composée de deux exponentielles pour tenir compte de la différence de forces du vent à la base et au sommet.

Mouans-Sartoux et l’art concret.

À Mouans-Sartoux, un étrange bâtiment cubique vert pomme, fondu dans le vert des arbres attire le regard du voyageur. Il est dédié à l’art concret …

L’espace de l’art concret à Mouans-Sartoux

Art concert et abstraction.

Rien n’est plus concret, plus réel qu’une ligne, qu’une couleur, qu’une surface. Cette phrase très platonicienne de Theo van Doesburg (alias de Christian Emil Marie Küpper, 1883 – 1931), fondateur du groupe « art concret » détrompera ceux qui interpréteraient le terme « concret » en contraire d’« abstrait ».

Pourquoi un espace de l’art concret à Mouans-Sartoux, petite commune entre Grasse et Cannes où la nature semble davantage appeler l’art figuratif ? La réponse tient en la rencontre d’un maire ouvert à l’art contemporain, et professeur de mathématiques, André Aschiéri, et d’un collectionneur et artiste, Gottfried Honegger. Ce dernier, avec sa compagne Sybil Albers, a fait donation de leur collection personnelle, en 2000 à l’État français, à laquelle se sont ajoutés des compléments importants telles que les Donations Aurèlie Nemours et Catherine & Gilbert Brownstone. Actuellement le fonds compte presque 600 œuvres. Elles sont exposées à l’Espace de l’Art Concret dans un cadre adapté.

La place des mathématiques et de l’optique

Dès la première salle, les mathématiques sont omniprésentes. Le tableau de Max Bill intitulé deux zones, claire et sombre évoquera avant tout l’irrationalité de racine de deux à l’amateur de mathématiques. En effet, il met en scène sa démonstration par Socrate dans Le Ménon de Platon.

Zwei Zonen – Dunkel und Hell (1970), Max Bill (1908 – 1994).

On trouve également des rythmes classiques, comme des toiles fondées sur des rapports entre les surfaces de diverses couleurs ou des alignements.

Far off, study for homage to the square (1958), Josef Albers (1888 – 1976).

Mais le but principal de Josef Albers dans son hommage au carré est de piéger l’œil du spectateur entre les couleurs des différents carrés si bien que le carré central, le plus pâle, semble flotter au centre de la composition. Un grand nombre de toiles sont ainsi fondées sur une sorte d’illusion d’optique qui piège l’œil entre plusieurs interprétations.

Des lignes au hasard

François Morellet utilise une technique étonnante pour créer certaines de ses œuvres : le hasard. Quand on observe ses toiles, on se demande cependant s’il n’a pas fait intervenir le hasard plusieurs fois pour choisir ensuite le plus esthétique, ce qui est presque la négation du hasard. Quelle est la probabilité pour que, parmi dix droites, quatre soient approximativement concourantes et forment un faisceau évoquant un projecteur ?

Dix lignes au hasard (1985), François Morellet (1926 – 2016).

Bien sûr, notre argument n’a pas grande valeur puisque tout événement s’étant produit était de probabilité nulle avant de se produire. On peut s’interroger mais, peu importe, seul le résultat compte et il dégage une harmonie certaine, encore liée à l’incertitude du regard entre diverses interprétations.

François Morellet a d’ailleurs inventé la théorie de la « participation du spectateur ». Le regard comme la lumière sont au centre de l’art en général et de l’art concret en particulier. Cette importance devient évidente dans ses sculptures comme cette sphère découpée suivant deux séries de plans parallèles, perpendiculaires entre eux. Chaque déplacement du spectateur, chaque variation de la lumière font apparaître un treillage différent. La photographie ci-dessous est sans doute celle qui inspirera le plus le mathématicien.

Sphère trames (1970), acier inoxydable, François Morellet.

Ellipse d’acier

David et Royden Rabinowitch, des frères jumeaux, travaillent ensemble mais signent parfois leurs œuvres indépendamment. Cela explique que vous puissiez trouver des sculptures très comparables signées de l’un ou de l’autre. L’espace de l’art concret possède l’une des sculptures signées par David. Elle inspirera le mathématicien, même s’il risque de la trouver énigmatique.

Conical plane in four masses and two scales (1979), David Rabinowitch (né en 1943).

 

Les droites tracées sur l’ellipse ci-dessus évoquent l’hexagramme mystique de Pascal. Cependant, cette interprétation est fausse : la conique ne contient que trois droites et non six. D’autre part, les points percés sur la surface sont alors bien mystérieux, comme distribués au hasard. Si les quatre masses se trouvent, où sont les deux échelles ? Le titre apparemment très précis invite le spectateur à compter, et le perd entre plusieurs interprétations.