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La plus belle formule des mathématiques

Quand on leur pose la question « quelle est la plus belle formule des mathématiques ? », la plupart des mathématiciens répondent :

e i π + 1 = 0

Cette formule est due à Leonhard Euler (1707 – 1783), auteur également de la formule plus utile mais moins belle :

e i x = cos x + i sin x

Remarque : Cette formule est utile en particulier en trigonométrie.

Beauté d’une formule

À quoi tient la beauté de cette formule ? Sans doute dans la réunion des cinq constantes les plus importantes des mathématiques : 0 et 1, les neutres de l’addition et de la multiplication, le nombre complexe i, racine carrée de –1 et les deux principales constantes transcendantes : e et π. Nous y voyons apparaître aussi les lois les plus usuelles : addition, multiplication et exponentiation tandis que le cercle se devine sous la présence du nombre d’Archimède : π. De plus, cette formule lie l’arithmétique (0 et 1), l’algèbre (le nombre i), la géométrie (le nombre π) et l’analyse (le nombre e et l’exponentielle).

Beauté d’une preuve

Cette beauté se retrouve dans une démonstration. D’après la formule d’Euler ci dessus, e i x est représenté dans le plan par le point du cercle trigonométrique (centre 0, rayon 1) à l’extrémité du rayon d’angle au centre x (avec l’horizontale). En faisant varier x de 0 à π, ce point passe de 1 à –1. En ajoutant 1 à e, on atteint alors 0. La formule :e i π + 1 = 0 est ainsi démontrée par le mouvement d’un point sur un cercle.

Beauté d’un objet

Lors du tricentenaire d’Euler, cette formule nous a inspiré un bel objet : une lampe en verre que nous vous laissons admirer. 

Lampe en hommage à Euler. © Hervé Lehning