Le théorème de la médiane

Par les idées qu’elle mobilise, la démonstration du théorème de la médiane est plus intéressante que le résultat lui-même. C’est cependant naturellement que nous commencerons par l’énoncer.

Enoncé

On considère un triangle ABC, I le milieu du côté BC. AI est donc une médiane du triangle. La formule suivante permet de calculer sa longueur :

Démonstration

Une idée simple pour démontrer ce théorème est d’utiliser la notion de vecteur car :

En utilisant la notion de produit scalaire, on obtient :

En faisant la somme et en utilisant la relation :

On obtient :

Comme :

On en déduit le résultat.

6 réflexions sur “ Le théorème de la médiane ”

      1. J ai toujours noté par . le produit scalaire
        Notons que ce n est pas une multiplication de vecteurs ! mais une notation qui permet à un couple de vecteurs d associer un nb réel

  1. pythagore et son thé au harem, ;o) ne sont-ils pas plus simple ?
    vu que l’on connait deux cotés du triangle.
    AI = rac(AB²-1/2BC²)
    mais sans doute que là n’est toutefois pas la question…

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