Les philosophes font-ils la cuisine ?

Un célèbre philosophe contemporain aurait affirmé : « les mathématiques ne servent à rien dans la vie quotidienne ». Pourtant, je me souviens parfaitement de ma mère me demandant : « quatre tiers de 200 grammes, ça fait combien Hervé ? ».

Des maths à la cuisine

Pourquoi cette question ? Pas pour tester ma capacités en calcul mental. Tout simplement parce que nous étions 8 à table et que ma mère utilisait une recette de cuisine donnée pour 6. Les ingrédients devaient donc être multipliés par 8/6, soit 4/3.  Vue la précision des balances, une réponse précise était 270 grammes, répondre 266,666… aurait été ridicule.

Des notions subtiles

Autrement dit, nous avons affaire ici, dans la vie quotidienne, à deux notions mathématiques subtiles : la multiplication par une fraction et la notion d’approximation. Pour répondre à la question avec toute la rigueur mathématique qu’elle exige, nous dirons donc : « certains philosophes ne font pas la cuisine ».

La forme de la tour Eiffel

Selon les écrits de Gustave Eiffel, la forme de sa tour ne doit rien au hasard, même si le résultat pourrait plaider pour un simple souci d’esthétique. Selon lui, tout a été étudié mathématiquement pour résister au vent. Plus précisément, il affirme que le moment des forces appliquées par le vent en chaque point est égal et opposé au moment du poids de la structure en ce point. Les calculs mathématiques d’Eiffel n’ayant pas été publiés, on a longtemps soupçonné les ingénieurs d’Eiffel d’avoir opéré empiriquement pour obtenir la forme de type exponentiel qu’on connaît.

La tour Eiffel vue du champ de Mars @Hervé Lehning

Reconstitution des calculs

Les calculs ont été repris en 2005 par deux mathématiciens américains, Patrick Weidman et Iosif Pinelis. En suivant les indications d’Eiffel, ils ont débouché sur une équation intégro-différentielle relativement simple … pour les spécialistes … dont la solution est bien une exponentielle.

Axes choisis par Weidman et Pinelis, f (x0) = 5 m, l’équation à résoudre est écrite en dessous.

Mais, en réalité, la tour Eiffel est composée de deux exponentielles pour tenir compte de la différence de forces du vent à la base et au sommet.

Les abeilles avaient raison et les logarithmes, tort !

Les abeilles seraient-elles mathématiciennes ? Sans doute non mais elles sont étonnantes. Le gâteau de cire qu’elles construisent pour y déposer leur miel est formé par deux couches d’alvéoles opposées par leur fond. Dès l’antiquité, on avait remarqué que les alvéoles ressemblaient à des prismes droits à base hexagonale régulière. Ce n’est qu’au XVIIIe siècle que l’on remarqua que le fond était l’assemblage de trois losanges identiques appartenant chacun à deux alvéoles opposées.

Les alvéoles des abeilles sont des prismes de base hexagonale terminés par trois losanges inclinés, un peu comme un crayon taillé.

Une mesure, une hypothèse …

En 1712, Giacomo Filippo Maraldi (1665 – 1729), un astronome de l’observatoire de Paris, mesura l’angle des losanges et trouva : 109 degrés et 28 minutes. En 1739, René-Antoine Réaumur ( 1683 – 1757) soupçonna les abeilles de construire le fond de façon à utiliser le minimum de cire possible.

Et un calcul

Samuel König

Sans lui donner l’origine de son problème, il demanda de le résoudre à Samuel König (1712 – 1757), le mathématicien allemand connu pour avoir enseigné les mathématiques à la marquise Émilie du Châtelet (1706 – 1749), traductrice de Newton en français. König traita le problème par le calcul différentiel et, en utilisant une table de logarithmes, il en déduisit la valeur de 109 degrés et 26 minutes. L’erreur des abeilles était négligeable. On s’émerveilla de cette précision.

Un naufrage

À l’époque, les marins utilisaient la même table que König pour leurs calculs. Malheureusement, il fallut un naufrage quelques années plus tard pour que l’on y découvre quelques erreurs. En 1743, Colin Mac Laurin (1698 – 1746) corrigea la valeur trouvée par König : il s’agissait bien de 109 degrés et 28 minutes. La table de logarithmes avait tort et les abeilles, raison !

 

Mouans-Sartoux et l’art concret.

À Mouans-Sartoux, un étrange bâtiment cubique vert pomme, fondu dans le vert des arbres attire le regard du voyageur. Il est dédié à l’art concret …

L’espace de l’art concret à Mouans-Sartoux

Art concert et abstraction.

Rien n’est plus concret, plus réel qu’une ligne, qu’une couleur, qu’une surface. Cette phrase très platonicienne de Theo van Doesburg (alias de Christian Emil Marie Küpper, 1883 – 1931), fondateur du groupe « art concret » détrompera ceux qui interpréteraient le terme « concret » en contraire d’« abstrait ».

Pourquoi un espace de l’art concret à Mouans-Sartoux, petite commune entre Grasse et Cannes où la nature semble davantage appeler l’art figuratif ? La réponse tient en la rencontre d’un maire ouvert à l’art contemporain, et professeur de mathématiques, André Aschiéri, et d’un collectionneur et artiste, Gottfried Honegger. Ce dernier, avec sa compagne Sybil Albers, a fait donation de leur collection personnelle, en 2000 à l’État français, à laquelle se sont ajoutés des compléments importants telles que les Donations Aurèlie Nemours et Catherine & Gilbert Brownstone. Actuellement le fonds compte presque 600 œuvres. Elles sont exposées à l’Espace de l’Art Concret dans un cadre adapté.

La place des mathématiques et de l’optique

Dès la première salle, les mathématiques sont omniprésentes. Le tableau de Max Bill intitulé deux zones, claire et sombre évoquera avant tout l’irrationalité de racine de deux à l’amateur de mathématiques. En effet, il met en scène sa démonstration par Socrate dans Le Ménon de Platon.

Zwei Zonen – Dunkel und Hell (1970), Max Bill (1908 – 1994).

On trouve également des rythmes classiques, comme des toiles fondées sur des rapports entre les surfaces de diverses couleurs ou des alignements.

Far off, study for homage to the square (1958), Josef Albers (1888 – 1976).

Mais le but principal de Josef Albers dans son hommage au carré est de piéger l’œil du spectateur entre les couleurs des différents carrés si bien que le carré central, le plus pâle, semble flotter au centre de la composition. Un grand nombre de toiles sont ainsi fondées sur une sorte d’illusion d’optique qui piège l’œil entre plusieurs interprétations.

Des lignes au hasard

François Morellet utilise une technique étonnante pour créer certaines de ses œuvres : le hasard. Quand on observe ses toiles, on se demande cependant s’il n’a pas fait intervenir le hasard plusieurs fois pour choisir ensuite le plus esthétique, ce qui est presque la négation du hasard. Quelle est la probabilité pour que, parmi dix droites, quatre soient approximativement concourantes et forment un faisceau évoquant un projecteur ?

Dix lignes au hasard (1985), François Morellet (1926 – 2016).

Bien sûr, notre argument n’a pas grande valeur puisque tout événement s’étant produit était de probabilité nulle avant de se produire. On peut s’interroger mais, peu importe, seul le résultat compte et il dégage une harmonie certaine, encore liée à l’incertitude du regard entre diverses interprétations.

François Morellet a d’ailleurs inventé la théorie de la « participation du spectateur ». Le regard comme la lumière sont au centre de l’art en général et de l’art concret en particulier. Cette importance devient évidente dans ses sculptures comme cette sphère découpée suivant deux séries de plans parallèles, perpendiculaires entre eux. Chaque déplacement du spectateur, chaque variation de la lumière font apparaître un treillage différent. La photographie ci-dessous est sans doute celle qui inspirera le plus le mathématicien.

Sphère trames (1970), acier inoxydable, François Morellet.

Ellipse d’acier

David et Royden Rabinowitch, des frères jumeaux, travaillent ensemble mais signent parfois leurs œuvres indépendamment. Cela explique que vous puissiez trouver des sculptures très comparables signées de l’un ou de l’autre. L’espace de l’art concret possède l’une des sculptures signées par David. Elle inspirera le mathématicien, même s’il risque de la trouver énigmatique.

Conical plane in four masses and two scales (1979), David Rabinowitch (né en 1943).

 

Les droites tracées sur l’ellipse ci-dessus évoquent l’hexagramme mystique de Pascal. Cependant, cette interprétation est fausse : la conique ne contient que trois droites et non six. D’autre part, les points percés sur la surface sont alors bien mystérieux, comme distribués au hasard. Si les quatre masses se trouvent, où sont les deux échelles ? Le titre apparemment très précis invite le spectateur à compter, et le perd entre plusieurs interprétations.

Le chiffre de la reine Marie-Antoinette

Pour qu’elles ne puissent pas être interceptées, Marie-Antoinette chiffrait ses lettres. La méthode qu’elle utilisait était a priori excellente… mais avec une erreur majeure : elle ne chiffrait qu’une lettre sur deux.

Chiffre de Vigenère

Marie-Antoinette chiffrait ses lettres par substitution poly-alphabétique, selon la méthode décrite par Blaise de Vigenère plus précisément. Cette méthode suppose de disposer d’une table de chiffrement, si possible une par destinataire. Voici comment se présentait ces tables :

Une table de chiffrement utilisée par Marie-Antoinette. @ Archives nationales

On notera que ce tableau ne contient que 22 lettres, les lettres manquantes sont J, K, U et W, ce qui correspond à un usage venant du latin où I et J d’un côté, U et V de l’autre sont confondues. K peut être remplacé par C et W par V.

Clef de chiffrement

L’utilisation de ce tableau pour chiffrer demande une clef secrète qu’on partage avec le destinataire. Par exemple, si la clef est sel, pour chiffrer la première lettre, on utilise la ligne dont la première colonne est ST, D est alors changé en N (et N en D), E en O, etc. Pour chiffrer la seconde, on utilise la ligne dont la première colonne est EF.

Utilisation correcte

Pour chiffrer une phrase comme je vous aime, on peut construire un tableau à 10 lignes et 3 colonnes :

J E V O U S A I M E
S E L S E L S E L S
S T D E F B X Z Q O

 

Le message chiffré est donc stdefbxzqo. Si vous essayez de chiffrer une lettre ainsi, vous verrez la difficulté d’éviter les erreurs. C’est pour cela que, on ne sait quel cryptologue avait conseillé à Marie-Antoinette de ne chiffrer qu’une lettre sur deux ce qui, en fournissant des repères, simplifie grandement le chiffrement mais l’affaiblit tout aussi grandement. Nous allons voir pourquoi.

Utilisation par Marie-Antoinette

Le tableau devient ainsi :

J E V O U S A I M E
S E L S E
J O V M U B A S M T

 

Le message chiffré est maintenant jovmubasmt. On peut examiner des lettres chiffrées ainsi par Marie-Antoinette aux Archives nationales, comme la suivante :

Lettre de Marie-Antoinette au comte de Fersen où on voit qu’elle ne chiffrait qu’une lettre sur deux. @ Archives nationales

Décryptement

Le décryptement sans connaître la clef est ainsi facilité, surtout si on connaît le tableau de chiffrement. C’est ici que des talents de cruciverbiste sont utiles. En effet, on peut deviner un mot si on en connaît une lettre sur deux comme ici J-V-U-A-M, qui est transparent pour tout amateur de mots croisés. Ensuite, on sait que la première lettre de la clef transforme E en O ce qui ne se produit que pour ST, en continuant ainsi, on décrypte le message quel que soit sa longueur.

 

L’art de moyenner

Quand on veut calculer la taille moyenne des Français, le principe est simple. On mesure la taille de chaque français de plus de 18 ans (les mesurer depuis la naissance fausserait la moyenne), on fait le total de ces tailles et on divise par le nombre total de Français adultes. On trouve un nombre comme 176 cm qui est donc la taille moyenne des Français adultes. On peut recommencer avec les Françaises, on trouve 163 cm.

Pour calculer la moyenne de la taille des girafes, on ne retient que la taille des adultes. @ Hervé Lehning

La moyenne arithmétique

En mathématiques, on parle de moyenne arithmétique. Par exemple, la moyenne arithmétique des dix nombres du tableau ci-dessous est égale à leur somme 618 divisée par 10 soit 61,8.

82

71 98 64 77 39 86 69 22

10

La vitesse moyenne

Prenons l’exemple du calcul d’une vitesse moyenne sous la forme d’une petite énigme :

Deux villes A et B sont distantes de 100 km, un automobiliste effectue le trajet de A à B en une heure et le retour en deux heures. Quelle est sa vitesse moyenne ?

Comme le premier trajet s’effectue à 100 km/h de moyenne et le retour à 50 km/h, on peut être tenté de faire la moyenne arithmétique des deux nombres et répondre 75 km/h. En fait, ce résultat est faux. Un raisonnement plus correct consiste à dire que l’automobiliste a parcouru 200 km en trois heures et donc que sa vitesse moyenne a été de 200 / 3 = 67 km/h (en arrondissant). La différence est notable.

La moyenne harmonique

Cette nouvelle moyenne, adéquate pour calculer les vitesses, est appelée la moyenne harmonique. Si on considère une suite finie de n nombres a, b, etc. les moyennes arithmétique et harmonique A et B sont données par les formules :

A = (a + b + …) / n   et   1 / H = (1/a + 1/b + …) / n

Il existe toute sorte d’autres moyennes correspondantes chacune à la nature des quantités à moyenner. On ne moyenne pas de même des longueurs, des poids, des vitesses, des températures, etc.

L’effet papillon d’Edward Lorenz

L’effet papillon est un exemple très rare d’expression venant des mathématiques ayant eu un succès médiatique incontestable. Tout le monde connaît l’effet papillon : petites causes, grandes conséquences comme certains l’ont chanté.

L’origine de la métaphore

En 1972, à une conférence de météorologie, Edward Lorenz a présenté un exposé sous un titre qui a frappé les esprits :

Le battement d’ailes d’un papillon au Brésil peut-il provoquer une tornade au Texas ?

Cette métaphore n’est toutefois pas de Lorenz mais d’un organisateur de la conférence, Philip Merilees. Pour justifier sa question, Lorenz utilisait un modèle mathématique très simplifié de l’atmosphère terrestre où il n’avait conservé que trois inconnues pouvant donc être représentées par un point de l’espace. Il s’agit de ce qu’on appelle en mathématiques un système dynamique. On part d’une condition initiale, c’est-à-dire d’un point représentant l’état du système à l’instant initial et le modèle nous donne les états du système aux instants qui suivent, théoriquement indéfiniment.

L’attracteur de Lorenz

Dans le cas du modèle de Lorenz, chaque condition initiale donne une orbite ressemblant grossièrement aux deux ailes d’un papillon. De plus, toutes les orbites s’agglutinent sur un même objet également en forme de papillon, qu’on nomme l’attracteur de Lorenz.

L’attracteur de Lorenz a une forme de papillon. © Hervé Lehning

Cette forme explique peut-être le choix de cet insecte par Merilees. Peu importe, le papillon a séduit bien au-delà de la sphère mathématique sans que, pour autant, le message de Lorenz soit complètement compris. En effet s’il mettait l’accent sur la sensibilité aux conditions initiales, un faible changement pouvant avoir de grosses conséquences, il corrigeait immédiatement l’idée de la soumission au hasard d’un battement d’aile de papillon par :

J’avance l’idée qu’au fil des années de petites perturbations ne modifient pas la fréquence d’apparition d’événements comme les tornades : la seule chose qu’ils peuvent faire, c’est de modifier l’ordre dans lequel ces événements se produisent.

Nous sommes ainsi très loin de la notion couramment vulgarisée : petites causes, grandes conséquences. Dans la pensée de Lorenz, le chaos sert à la prévision, les orbites ne sont pas aléatoires, elles se situent sur l’une ou l’autre aile de l’attracteur, le passage de l’une à l’autre semblant aléatoire. Cette conception éclaire l’idée a priori paradoxale qu’on puisse étudier l’évolution du climat sans pour autant être capable de prévoir le temps du mois suivant.

La balustrade hyperbolique du jardin du Luxembourg

Au Luxembourg, des balustrades circulaires du XVIIIe siècle ferment la perspective des jardins.

Rien que des coniques

On les voit donc sous forme de coniques, c’est-à-dire de sections planes d’un cône.

Balustrade hyperbolique au Luxembourg © Hervé Lehning

Vues de l’intérieur, il s’agit donc d’une hyperbole parfaite, que l’on peut comparer avec la bouche d’égout elliptique au sol. La parabole quant à elle appartient au monde des idées, cas limite entre l’hyperbole et l’ellipse, que l’on pourrait voir en se positionnant parfaitement sur la colonnade.

Les surfaces minimales de Patrice Jeener

Patrice Jeener est un graveur tombé amoureux des mathématiques en visitant l’institut Henri Poincaré quand il était étudiant aux beaux-arts. Il suivait ainsi la trace de Man Ray, qui découvrit les modèles de l’institut dans les années 30 et s’en inspira pour sa série de tableaux équations shakespeariennes comme celui-ci intitulé le roi Lear :

Le roi Lear © Man Ray

Les surfaces minimales

Patrice Jeener s’est particulièrement intéressé aux surfaces minimales, c’est-à-dire aux surfaces dont les aires sont minimales pour un bord donné. On peut matérialiser la plupart d’entre elles par des bulles de savon s’appuyant sur un contour, car le film de savon tend à minimiser son énergie, donc sa surface. Elles ont des applications pratiques mais notre propos n’est pas là. Sur la photographie ci-dessous, notez la petite tige en bas à droite qui permet de tenir l’objet quand on le trempe dans l’eau savonnée :

Nous n’écrirons pas leurs équations ici, nous nous contenterons d’en admirer l’esthétique à travers quelques gravures.

Surface minimale de Schwartz © Patrice Jeener

L’étude des surfaces réservent quelques surprises comme l’apparition surprenante d’une chouette là où l’on attendait une simple surface minimale. Ce genre de surprises explique sans doute ce vers de Lautréamont :

O mathématiques sévères, je ne vous ai pas oubliées, depuis que vos savantes leçons, plus douces que le miel, filtrèrent dans mon cœur, comme une onde rafraîchissante.

Surface minimale à la chouette © Patrice Jeener

Décrypter l’art concret

Philippe Leblanc a exposé chez Philomuses, au quartier latin à Paris, une série d’œuvres a priori abstraites. Les titres même font mystère. Par exemple, la suivante se nomme Chinacci 25.

Chinacci 25 © Philippe Leblanc

L’écriture chinoise ancienne des nombres

En lisant le tableau en colonne, le mathématicien sera frappé par la régularité des premiers termes : 1, 1, 2, 3, 5 où chaque nombre est la somme des deux précédents. Le suivant peut facilement être interprété comme un 8. De fait, le tableau de Philippe Leblanc utilise un système d’écriture des nombres inventé en Chine quelques siècles avant Jésus-Christ. À cette époque, les Chinois comptaient au moyen de baguettes et non de bouliers comme plus tard. Ils imaginèrent ainsi une façon d’écrire les nombres. Pour cela, ils utilisaient deux notations qu’ils alternaient pour éviter les confusions entre unités, dizaines, centaines, etc. Voici donc les chiffres de 1 à 9 écrits de deux façons différentes.

La suite de Fibonacci

On s’aperçoit ainsi que le tableau représente les 25 premiers termes de la suite de Fibonacci, le dernier terme en bas à droite du tableau valant 75025. Le titre de l’œuvre prend alors son sens, Chinacci 25 étant une contraction de Chinois-Fibonacci, 25 premiers termes. Après cette première analyse, on peut se demander ce que signifient les différences de couleurs, entre jaune et bleu. Pour le voir, il faut réaliser que les bâtons de l’œuvre sont découpés au laser dans une tôle d’acier, qui cache une boîte lumineuse. C’est le fond de cette boîte qui est peinte selon plusieurs bandes verticales dont les largeurs suivent également la suite de Fibonacci : une bande de largeur X en jaune, une deuxième bande de largeur X en bleu foncé, une bande de largeur 2X en jaune orangé, une quatrième bande de largeur 3X en bleu clair. La deuxième œuvre Mayanacci 25  s’éclaire alors d’elle-même.

Mayainacci 25 © Philippe Leblanc

La suite de Fibonacci s’y écrit en lignes puisque la première se lit 1, 1, 2, 3 en comptant les points. La barre qui suit signifie alors probablement 5. On peut ainsi décrypter les nombres suivants. Il s’agit en fait de l’écriture des nombres qu’utilisaient les Mayas, en base vingt. Les unités, les vingtaines, etc. s’empilent de bas en haut. Les couleurs respectent une règle différente de celle du tableau précédent puisque, dans chacune des cinq lignes et des cinq colonnes, on trouve une et une seule fois chacune des cinq couleurs présentes.

Comment comprendre le monde moderne sans culture mathématique ? Accéder à celle-ci n’exige cependant pas d’apprendre à résoudre la moindre équation.