La forteresse de Boukhara, l’hyperboloïde et le paraboloïde

A Boukhara, en Ouzbékistan, une étrange construction fait face à l’antique forteresse.  Ce monument, qui n’attire pas les touristes, est pourtant témoin d’un courant artistique  important du début du vingtième siècle : le constructivisme russe.

Un château d’eau

Cette tour a été construite en 1927 par Vladimir Choukhov (1853 – 1939) pour servir de château d’eau. Désaffecté à la fin des années quarante, il est alors devenu un café jusqu’à ce qu’un accident mortel interdise cet usage. Il vient d’être racheté par des Français pour devenir un point d’observation. Un ascenseur est prévu pour y accéder.

Le château d’eau est formé de deux séries de poutrelles d’acier qui en assurent la solidité.

Un hyperboloïde de révolution

La surface utilisée par Choukhov est célèbre en mathématiques et en architecture car elle est construite avec des droites. Pour comprendre sa fabrication, le plus simple est de partir d’un cylindre,   une surface simple à construire. Pour cela, il suffit de prendre un axe, d’y monter deux roues et d’y tendre des élastiques parallèles à l’axe. On obtient l’objet suivant.

Cylindre obtenu en tendant des élastiques entre deux roues fixées sur un axe. Les élastiques ont été choisis équidistants.

Les droites représentées par les élastiques sont les génératrices du cylindre.

On fait alors tourner la roue du haut d’un certain angle dans un sens et celle du bas du même angle dans le sens opposé. On obtient une nouvelle surface également générée par des droites.

Surface obtenue en tordant le cylindre.

Il se trouve qu’en tordant le cylindre du même angle dans un sens ou dans l’autre, on obtient la même surface, qui possède ainsi deux familles de génératrices.

Cette surface a été baptisée hyperboloïde de révolution à une nappe car elle est également obtenue en faisant tourner une hyperbole sur l’un de ses axes.

Pour des raisons physiques, cette surface est utilisée pour les tours de refroidissement des centrales nucléaires ou thermiques.

Les tabourets népalais

Cette surface est utilisée au Népal pour construire des tabourets avec des morceaux de bambous de longueurs égales.

L’hyperboloïde à une nappe vu par Patrice Jeener

Patrice Jeener, surnommé le graveur d’équations, s’est inspiré de cette surface :

Sur ce dessin, on voit particulièrement bien l’hyperbole qui génère l’hyperboloïde par rotation autour de l’un de ses axes. En changeant d’axe, on obtient un

L’hyperboloïde à deux nappes :

Les fleurs  sur ce deuxième dessin sont également des objets mathématiques qu’affectionne Patrice Jeener. Dans son œuvre, on trouve une surface apparentée, également engendrée par deux familles de droites : le paraboloïde hyperbolique :

Paraboloïde hyperbolique avec ses deux familles de génératrices. On aperçoit une parabole en contour au fond et une hyperbole a été tracée sur la surface.

Construction du paraboloïde hyperbolique

La méthode utilisée pour construire l’hyperboloïde peut l’être en remplaçant le cylindre par un plan. Autrement dit, on garde le dispositif initial : axe et roues mais, au lieu de tendre les élastiques entre les deux roues, on les tend entre deux rayons parallèles, avant de tourner les roues. On obtient une nouvelle surface admettant deux familles de droites génératrices comme la précédente, il s’agit du paraboloïde hyperbolique.

Cette surface est utilisée en architecture pour fabriquer des toits. Le Corbusier et Iannis Xenakis (le musicien dont on oublie souvent qu’il fut architecte ont ainsi construit le pavillon Philips pour l’exposition universelle de Bruxelles en 1958.

Pavillon Philips de l’exposition universelle de Bruxelles en 1958 Une partie du toit est en forme de paraboloïde hyperbolique, celle qui semble plus foncée sur la photo.

Les valeurs de π

En 1897, une résolution établissant que π = 4 fut proposée au vote des représentants de l’état de l’Indiana (États-Unis d’Amérique). Avant de sourire, le mathématicien se posera une question : pour quelle notion de distance ?

Qu’est-ce que π ?

Archimède a répondu à cette question voici fort longtemps. Il s’agit du rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Qu’est-ce qu’un cercle ? L’ensemble des points du plan à égale distance d’un point donné. Qu’est-ce que la distance ? Ici, nous ne pouvons que marquer une pause dans nos réponses toutes faites. Plusieurs distances sont envisageables !

Distance à vol d’oiseau

En mathématiques, la distance la plus utilisée est qualifiée d’euclidienne. Dans la vie courante, on parle souvent de distance à vol d’oiseau. La distance d’un point A à un point B est la longueur du vecteur V qui mène de A à B. En tenant compte du théorème de Pythagore, elle s’exprime sous la forme :

| V |2 = x2 + y2.

Les cercles associés à cette distance ont la forme ronde usuelle. Le nombre π a la valeur connue, 3,14 à 0,01 près.

Distance Manhattan

Même pour un oiseau, la distance euclidienne correspond à une certaine vision du monde, où le vol est possible dans toutes les directions. À Manhattan, même pour voler, mieux vaut suivre les avenues, qui forment un maillage rectangulaire. La longueur d’un vecteur s’y exprime sous la forme :

| V | = | x | + | y |.

La distance Manhattan correspond au plus court chemin, si l’on marche le long des rues d’une ville au plan rectangulaire (comme Manhattan)

Le cercle unité a alors la forme d’un losange, sa circonférence est égale à 8 donc, pour cette distance, π = 4.

On retrouve la valeur 4 pour une autre distance (appelée distance infinie), celle donnant comme longueur à V, la plus grande des valeurs absolues de ses coordonnées. Les cercles ont alors une forme de carré.

Les “cercles” de même centre et de même rayon pour les trois distances.

Le décret de l’Indiana : humour ou sottise ?

Nous avons trouvé deux fois 4 et une seule fois 3,14. On pourrait en conclure que π = 4 est la valeur la plus raisonnable à retenir. Quand les rues des villes se coupent à angle droit, la distance Manhattan est la plus pertinente. Est-ce pour cette raison qu’une loi visant à adopter la valeur π = 4 fut proposée au vote de l’assemblée générale de l’état de l’Indiana ? Vous pouvez en juger vous-même en allant lire le texte plein d’humour de ce projet de loi sur l’Internet (utilisez un moteur de recherche pour en trouver une copie). Nous laisserons de toutes façons la question aux amateurs d’histoire (s).

Autres distances

Les trois distances utilisées se généralisent en utilisant un nombre p ³ 1 quelconque. Plus précisément, on pose :

| V |p = | x | p + | y | p.

La distance euclidienne correspond au cas : p = 2, la distance Manhattan au cas : p = 1. On démontre, par un passage à la limite, que la distance infinie correspond bien au cas : p = ∞.

Pour chacune de ces distances, nous obtenons une valeur de π, que nous notons πp. Comment en calculer une valeur approchée ? Tout simplement en procédant comme dans le cas de la distance euclidienne, c’est-à-dire en remplaçant le cercle par des polygones réguliers ayant un grand nombre de côtés. Si nous effectuons ces calculs pour p variant de 1 à 2 avec une précision de 0,001, nous obtenons le tableau :

 

p 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
πp 4,000 3,757 3,573 3,434 3,333 3,260 3,209 3,176 3,155 3,145 3,142

 

Ainsi, πp semble décroissant de 1 à 2. Le phénomène inverse se produit de 2 à l’infini. On est amené à plusieurs conjectures :

1) π est la valeur minimale des πp,

2) πp prend toutes les valeurs entre π et 4,

3) πp = πq si 1/p + 1/q = 1.

On démontre que les trois sont exactes, en utilisant des raisonnements de calcul intégral dépassant le cadre de cet article.

Pour ces calculs, voir sur mon site.

 

 

Les vols d’étourneaux

Les étourneaux, et d’autres oiseaux se comportent souvent comme une unité filant parfois dans une direction précise pour s’en détourner soudain. Les mouvements des bancs de poisson sont similaires. D’où viennent ces comportements ?

Un vol d’étourneaux

La défense contre les prédateurs

La raison essentielle de ces regroupements est la défense contre les prédateurs. Par exemple, quand les étourneaux sont effrayés, ils s’élèvent, se rassemblent et volent en formant la masse la plus compacte possible. Un rapace évite de fondre sur ce groupe de crainte de se blesser. Il cherche plutôt à sélectionner des retardataires ou des oiseaux affaiblis.

La nuée vire et tourne de telle sorte qu’il est difficile de prévoir ses mouvements, qui semblent aléatoires. De nos jours, les zoologistes sont persuadés que ce ballet ne doit rien à la présence d’un mystérieux chef d’orchestre ou à un esprit surnaturel du groupe. Dans les années 1980, Wayne Potts, professeur à l’université d’Utah, a filmé des nuées de bécasseaux pour s’apercevoir que n’importe quel individu pouvait initier un mouvement du groupe, qui se propageait ensuite très rapidement par ondes rayonnant autour de l’initiateur, et cela dans tous les sens. De plus, ces ondes se propagent bien plus rapidement que la vitesse de réaction normale d’un individu isolé peut le laisser penser. En revanche, les mouvements des oiseaux séparés du groupe ne l’influencent pas. Ils sont les cibles privilégiées des prédateurs, donc ne sont pas suivis. Cette règle a l’avantage d’accélérer la réponse du groupe à une attaque.

Un modèle mathématique

D’après l’étude de Wayne Potts, chaque oiseau réagit à ce qui l’entoure, et uniquement à cela. Son comportement peut donc être modélisé : chacun ne réagit qu’à ses voisins. En 1986, un informaticien, Craig Reynolds, précisa des règles qui simulent le comportement des nuées d’oiseaux comme celui des bancs de poissons. Il a nommé « boids » ces oiseaux virtuels (un mot à faible distance linguistique de « birds »). On peut trouver des animations sur internet utilisant son modèle (chercher Boids avec votre moteur de recherche préféré). Les trois règles sont toutes de nature locale, chaque oiseau ne réagit qu’aux mouvements de ses voisins.

Séparation

Si un oiseau est trop proche de ses voisins, il s’en écarte pour éviter les collisions.

Alignement

Alignement dans la direction du vol des oiseaux qui l’entourent.

Cohésion

Cohésion pour aller vers la position moyenne des oiseaux qui l’entourent.

Si vous voulez programmer une simulation de vol d’étourneaux, il vous reste à définir plusieurs paramètres : rayon du cercle de voisinage (en gris clair sur les figures), vitesses, accélération utilisée pour rejoindre la position idéale définie par les trois règles. Ces principes ont été utilisés pour la première fois dans Le retour de Batman en 1992, pour générer des vols de chauves-souris.

Le modèle peut être amélioré en limitant le voisinage à un secteur de cercle, correspondant à la vision de l’oiseau, à la considération d’obstacles que l’oiseau évitera et également aux prédateurs éventuels.

 

L’énigme du tunnel de Samos

Dans l’île grecque de Samos, on peut visiter un tunnel qui, selon Hérodote, fut creusé au VIe siècle avant notre ère, simultanément par ses deux extrémités … et l’erreur au point de rencontre ne fut que de 60 centimètres, comme le tracé du tunnel l’atteste toujours. On ne sait pas comment son architecte, Eupalinos, en fit les plans, mais on sait qu’ils ne doivent rien au hasard. La plupart des historiens qui se sont penchés sur la question en on déduit qu’Eupalinos avait anticipé les instruments et les mathématiques inventés plusieurs siècles après sa mort. Est-ce vraisemblable ? Pourquoi les aurait-on oubliés ensuite ? De plus, pourquoi faire des hypothèses inutiles ? Il est plus raisonnable d’essayer d’imaginer des méthodes compatibles avec les mathématiques et les instruments connus de l’époque.

Un aqueduc extérieur imaginaire …

De la source captée jusqu’à l’entrée du tunnel, l’eau suit des conduites extérieures, quoique enterrées. On peut imaginer que, dans un premier temps, l’aqueduc allait ainsi jusqu’à la sortie du tunnel en suivant grossièrement les lignes de niveaux du terrain. La topographie le permet comme le montre la carte du lieu.

Les lignes de niveaux aux alentours du tunnel de Samos (entrée en A, sortie en B) montrent qu’il est possible de contourner la montagne par l’ouest (voir l’orientation sur le dessin) en restant à niveau (ligne ACB). Le trajet fait alors environ 2200 mètres (le double du trajet direct AB).

…qui aide à trouver la sortie

Cette hypothèse est difficile à soutenir car aucun vestige d’un tel ouvrage ne nous est parvenu. De plus, le tunnel est quasiment horizontal, seul le canal qui le longe a une déclivité de six mètres sur un peu plus d’un kilomètre. Cette hypothèse d’un aqueduc extérieur donne cependant une première approche du problème, naturelle pour un constructeur d’aqueduc. Pour déterminer l’entrée et la sortie, il s’agit de se déplacer à l’horizontale au flanc de la montagne, pour rejoindre un point duquel l’aqueduc peut continuer. Des preuves archéologiques montrent que les Samiens disposaient d’instruments pour déterminer l’horizontale. Le principe en est simple. Il s’agissait de longues gouttières en terre cuite dans lesquelles on versait de l’eau. L’horizontale était obtenue quand l’eau ne s’écoulait pas. De même, ils utilisaient des fils à plomb, ce qui permettait de déterminer la verticale. On peut imaginer suivre l’horizontale ainsi en plantant des pieux dont les sommets restent au même niveau. Si le niveau mesure 2 mètres de long, et que l’incertitude est inférieure à 1 millimètre pour chaque pieu, nous obtenons une incertitude totale de 1,10 mètres. L’erreur effective à la jonction des deux branches du tunnel étant de 60 centimètres, l’utilisation de cette méthode est vraisemblable. Cependant, elle exige de planter 1100 pieux. On peut la simplifier de ce point de vue en utilisant des visées oculaires permettant d’espacer les pieux.

Pour cela, on plante deux pieux à 10 mètres l’un de l’autre, dont les sommets sont à l’horizontale et on les aligne avec un pieu à cent mètres environ, tenu par un assistant. Ceci permet de passer à un total d’une cinquantaine de pieux (deux tous les 100 mètres environ).

Visée pour maintenir l’horizontale. Les pieux A et B sont alignés grâce à un niveau à eau. Si l’erreur entre les deux est limitée à 2 millimètres, celle entre A et C sera limitée à 2 centimètres. La capacité de l’œil humain rend insensible l’erreur due à l’acuité visuelle.

L’œil humain a une capacité de résolution de 0,5 minute environ (1 / 120 degré). Avec un viseur, sur cent mètres, nous pouvons espérer une incertitude inférieure à 2 centimètres. Sur une distance de 2 200 mètres, cela donne une incertitude totale de 44 centimètres, ce qui est compatible avec l’erreur effective de 60 centimètres.

La direction de la sortie

La deuxième extrémité trouvée, comment déterminer la direction dans laquelle le tunnel doit être percé ? Une idée simple tient à la topographie du terrain. Il s’en faut de peu que l’on ne puisse voir les deux extrémités du tunnel du haut de l’Acropole. Dans ce cas, il aurait suffi d’y disposer trois pieux alignés et, par approximations successives de les aligner à des pieux plantés aux extrémités du tunnel à construire. L’opération est semblable à la précédente, sans mise à niveau.

Si le sommet S est visible des extrémités A et B, il suffit d’aligner cinq pieux, trois en S, un en A et un en B pour déterminer la direction AB. Cette opération peut être faite par essais successifs.

En fait, la topographie du terrain ne permet pas cette solution. On peut malgré tout l’appliquer, soit en surélevant le sommet au moyen d’une tour de dix mètres environ, soit en plantant des pieux intermédiaires. Une station supplémentaire, éventuellement légèrement surélevée, suffit pour réaliser un alignement visible de proche en proche.

En disposant des relais (comme I) entre les extrémités A et B et le sommet, il est possible de réaliser un alignement de pieux entre A et B. On vérifie cet alignement comme précédemment, de proche en proche.

Ceci fait, les deux pieux à chaque extrémité donnent la direction à suivre. Il est facile de la conserver ensuite. Cependant, pour être sûr de se rencontrer, le mieux est d’obliquer légèrement un peu avant le milieu des travaux car, dans un plan, deux droites non parallèles se rencontrent toujours. L’une des branches du tunnel effectivement construit par Eupalinos présente des portions en zigzag montrant qu’il n’était pas certain de ses mesures et voulait éviter de manquer le deuxième tronçon qui, lui, reste rectiligne.

Le problème de la longueur du tunnel est accessoire. Même s’il est utile de la connaître pour savoir quand obliquer pour être sûr de la rencontre, il suffit d’en avoir une approximation grossière. Une fois le tunnel construit, on peut la calculer de façon plus précise et en déduire la pente à donner au canal. Finalement, sa profondeur varie de 3 à 9 mètres pour assurer un flux constant.

Les mathématiciens sont-ils tous platoniciens ?

Comme Platon, les mathématiciens sont des créateurs de mondes, tels celui du mythe de la caverne. Doit-on pour autant considérer les mathématiciens comme platoniciens ?

Qu’elle fut ou non gravée à l’entrée de son académie, la phrase Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre est conforme à la pensée de Platon : il est bon que le philosophe apprenne la géométrie. Au livre VII de La république, il mentionne d’ailleurs son étude comme un pré requis à celle de la philosophie, et une matière indispensable dans le cursus du futur citoyen. Les mathématiques forgent la pensée de Platon, comme on le voit dans Le Ménon. Inversement, tout mathématicien est-il platonicien ?

Un créateur de mythes

Avant d’essayer de répondre à cette question, examinons le mode de pensée de Platon. Sa méthode fondamentale est la création de mythes. Le procédé est classique dans l’Antiquité où l’usage de métaphores permettait d’introduire des concepts abstraits à travers des expériences quotidiennes. Le mythe le plus célèbre inventé par Platon est celui de la caverne, où il introduit le concept de « monde des idées ». En voici un résumé rapide. Des hommes, enfermés dans une caverne, ne voient l’extérieur qu’à travers des ombres. Ils n’ont pas accès à la réalité mais seulement à son image. Ce mythe est une métaphore où la caverne est notre monde, et l’extérieur, le monde des idées. Une transposition est nécessaire pour comprendre le message de Platon, même si celle-ci est claire.

Le monde des idées

Ce monde des idées, existe-t-il ? Platon l’a postulé, ce qui l’a mené à adopter la thèse de l’immortalité de l’âme. Elle lui permet d’affirmer qu’elle vient de ce monde et, pour cette raison, en garde une vague mémoire. La philosophie grecque a parfois ce côté jusqu’au boutiste, que l’on retrouve facilement chez les mathématiciens. Pas question pour eux que 2 + 2 fasse 3,99. C’est 4 sans discussion possible. Cette démarche, correcte quand elle reste dans son cadre, peut aboutir parfois à des extravagances inutiles, comme l’idée d’une âme immortelle, même dans le passé. Platon en avait besoin pour expliquer notre accès instinctif à son monde des idées. Pour lui, on n’apprend pas, on se souvient. Cette remarque explique la pédagogie de Socrate dans Le Ménon, quand il fait démontrer le théorème de Pythagore à un esclave. Celui-ci est censé retrouver des connaissances lointaines, du temps où son âme n’était pas prisonnière de son corps. Socrate aide son interlocuteur à « accoucher » de ce qui existe déjà en lui. Dans ce sens, l’invention est impossible, seul « trouver » l’est. Ce vocabulaire correspond à celui utilisé en général en mathématiques. L’expression « il invente des théorèmes » est souvent péjorative, car elle sous entend qu’ils sont faux.

Le monde des idées mathématiques

De même, les mathématiciens inventent des mondes, semblables au monde des idées de Platon. Aucun point du monde réel n’est jamais le point idéal que nous imaginons. Il a forcément une certaine épaisseur. Il en est de même de la droite et du cercle. Nous en avons des idées que nous visualisons et même matérialisons, mais c’est sur les idées que nous raisonnons. Pour rendre ses résultats plus solides, depuis l’Antiquité, le monde de la géométrie est régi par un certain nombre d’axiomes, c’est-à-dire de résultats considérés comme vrais sans démonstration. Cette méthode a été généralisée et approfondie par David Hilbert au début du XXe siècle. De nos jours, chaque théorie (arithmétique, géométrie, etc.) a ses axiomes, qui la structurent.

L’ombre des idées

Ces théories ont un rapport complexe avec la réalité. Officiellement, pour les mathématiciens, les axiomes résultent du libre arbitre des créateurs de ces théories. Est-il raisonnable de le prétendre, ou est-ce un moyen de se libérer de la réalité ? Restons dans le domaine de la géométrie pour donner un exemple. On y démontre une propriété de la parabole, liée à son foyer (appelée propriété focale pour cela), que nous résumons par un dessin.

Propriété focale de la parabole : Si une droite D parallèle à l’axe d’une parabole coupe celle-ci en un point M, la droite symétrique de D par rapport à la tangente en M à la parabole passe par son foyer.

Cette propriété a des conséquences visibles dans notre univers quotidien : paraboles sur les toits des immeubles, fours solaires petits et grands, phares des voitures ou des bords de mer. La propriété des paraboles existant dans le monde de la géométrie s’applique dans notre monde.

Parabole en montagne. L’utilisation d’un miroir en forme de parabole permet de focaliser les rayons du soleil en un point et donc de faire bouillir de l’eau. © Hervé Lehning

Peu de mathématiciens doutent réellement de cette efficacité, même si certains scientifiques l’estiment « déraisonnable ».

Vérité des axiomes

La raison de cette « estimation » est l’opinion exprimée par les mathématiciens contemporains eux-mêmes. Si vous les questionnez sur ce que sont les axiomes, il est probable qu’ils répondront comme nous l’avons exposé plus haut. Ce sont des règles que l’on se donne de manière arbitraire, et sur lesquelles on développe une théorie cohérente, en suivant les règles de la logique. De ce point de vue, cette théorie n’est pas plus « réelle » ou « vraie » que les axiomes qui la fondent. Cependant, les résultats acquis sont extrêmement solides. Si on admet la « vérité » des axiomes, celle des théorèmes suit.

Les théories mathématiques : des modèles

Si cette vérité est conditionnelle, pourquoi les résultats des mathématiques sont-ils utiles dans le monde réel ? La réponse est simple. Les axiomes ne sont pas choisis arbitrairement ! Plutôt que de le prétendre, il serait préférable de dire que, s’ils l’étaient, on pourrait encore parler de mathématiques. Mais ils ne le sont pas ! Le fait est que l’on ne s’intéresse pas à ces mathématiques du bon plaisir. Ils sont choisis pour que les théories mathématiques qui en découlent soient de bons modèles de la réalité. Pour cela, ils s’en inspirent. Comme Platon, les mathématiciens inventent des mondes idéaux, dont la réalité est un reflet. En ce sens, ils sont platoniciens mais des platoniciens rarement dupes de leurs modèles. Ils ont conscience que leur monde des idées est une abstraction dont ils sont l’origine. Ce n’est pas un monde préexistant de toute éternité, comme le monde des idées de Platon.

L’intelligence artificielle et les fourmis

Pour chercher leur nourriture et la rapporter dans leur fourmilière, les fourmis suivent le chemin le plus court. Quand on les voit se déplacer l’une derrière l’autre en longues files indiennes, elles semblent obéir aux ordres donnés par leur reine cachée au fond du nid.

L’intelligence des fourmis

En fait, elles procèdent par essais et erreurs au niveau collectif de la fourmilière. La méthode pour cela est très simple. Une fourmi découvrant de la nourriture retourne à la fourmilière en déposant sur le sol une substance volatile appelée phéromone. Cette fourmi est rarement seule à faire cette découverte. Celle qui a trouvé le chemin le plus court rentrera plus vite et sera donc plus vite imitée. Le nombre de traces dans sa direction sera bientôt prépondérant et des colonnes de fourmis emprunteront sa trace tandis que les autres seront délaissées. C’est de cette façon que les fourmis déterminent le plus court chemin entre leur fourmilière et la nourriture. Elles se trompent rarement.

Fourmis virtuelles en quête d’un plus court chemin.

Quand l’intelligence artificielle s’inspire de celle de la fourmillière

Des informaticiens ont tenté, et réussi, de simuler le comportement des fourmis. Ils essayent aujourd’hui de résoudre des problèmes de plus courte distance au moyen de fourmis virtuelles. Ainsi, après avoir essayé d’imiter le comportement humain, l’intelligence artificielle suit aujourd’hui la voie des fourmis. On parle d’intelligence distribuée ou d’intelligence en essaim.

Le tipi optimal

Penchons-nous sur la forme des tipis des indiens d’Amérique. Il s’agit d’un cône dont la hauteur vaut environ 75 % du diamètre de la base. Des calculs montrent que cette forme minimise la toile à utiliser pour un volume donné, comme les abeilles économisent la cire pour créer leurs alvéoles. Est-ce un hasard ? Difficile de répondre à la question car d’autres paramètres comme la solidité de l’ensemble entrent en jeu. Peu importe, ces problèmes d’optimisation se retrouvent souvent dans la nature comme dans la vie pratique.

Un tipi.

Analyse mathématique

Analysons celui-ci mathématiquement. Un tipi est une tente conique caractérisée par le rayon de sa base, R, et par sa hauteur, que nous notons proportionnellement à R, k R, car le problème tient essentiellement à ce rapport k. La capacité du tipi est égale à son volume et la surface de toile, à son aire latérale.

Le tipi est un cône caractérisé par le rayon de sa base R et par sa hauteur k R.

Le volume est égal à Pi / 3 multiplié par le carré du rayon R et par la hauteur k R. Imposer un volume de 10 mètres cube (par exemple) lie le rapport k au rayon R. L’aire latérale dépend alors uniquement de ce rapport. Cette dépendance se traduit par une courbe en forme de J à l’envers. Nous y constatons un minimum de l’aire pour une valeur de k de l’ordre de 1,4, autrement dit pour une hauteur 40 % supérieure au rayon de la base. De façon plus précise, le calcul différentiel montre que ce minimum est atteint pour k égal à la racine carrée de 2, ce qui fait 1,414 à 0,001 près.

Variation de l’aire latérale en fonction du rapport entre la hauteur et le rayon. Le calcul montre que le minimum est atteint quand k est égal à la racine de 2, soit 1,414 à 0,001 près.

À volume égal, l’aire latérale du tipi est donc minimale pour un rapport proche de 1,4. La courbe montre de plus que la variation de l’aire latérale est faible autour de ce rapport, ce qui explique que, dans la pratique, il oscille autour de 1,4.

Multiplier les dettes pour gagner une fortune

Certains écoliers peinent avec la règle des signes et en particulier avec le terrifiant « moins par moins égal plus ». Dans La vie de Henry Brulard, son roman autobiographique, Stendhal s’en amuse ainsi :

Supposons que les quantités négatives sont des dettes d’un homme, comment en multipliant 10 000 francs de dette par 500 francs, cet homme aurait-il ou parviendra-t-il à avoir une fortune de 5 000 000, cinq millions ?

Brahmagupta invente le zéro

L’usage des termes mathématiques hors contexte peut donner des résultats surprenants. La raison de la règle des signes est d’une autre nature (voir les dangers de philosopher sur les nombres). L’important est que les règles de calcul habituelles sur les nombres soient respectées. C’est ce que fait l’inventeur du nombre zéro et des nombres négatifs, le mathématicien indien Brahmagupta, (VIIe siècle de notre ère) quand il donne les règles régissant zéro, ainsi que nombres positifs ou négatifs, en termes de dettes et de fortunes :

Une dette moins zéro est une dette. Une fortune moins zéro est une fortune. Zéro moins zéro est zéro. Une dette soustraite de zéro est une fortune. Une fortune soustraite de zéro est une dette. Le produit de zéro par une dette ou une fortune est zéro. Le produit de zéro par zéro est zéro. Le produit ou le quotient de deux fortunes est une fortune. Le produit ou le quotient de deux dettes est une fortune. Le produit ou le quotient d’une dette et d’une fortune est une dette. Le produit ou le quotient d’une fortune et d’une dette est une dette.

Le zéro, avion de chasse japonais de la Seconde Guerre mondiale, n’était pas nul.

Le zéro absolu

Pour revenir à notre écolier moderne, pardonnons-lui car la question n’est pas si simple. Ainsi, dans ses Pensées, Blaise Pascal (XVIIe siècle), pourtant grand mathématicien, écrit cette phrase surprenante :

Trop de vérité nous étonne ; j’en sais qui ne peuvent comprendre que, qui de zéro ôte 4, reste zéro.

Sans le vouloir, Pascal pointe ici l’une des difficultés à considérer zéro comme un nombre véritable : l’idée du zéro absolu, celui en dessous duquel on ne peut descendre. Il n’aurait sans doute pas admis nos températures négatives, et aurait donc préféré les degrés Fahrenheit aux Celsius. Pour cette raison, sans aucun doute, Daniel Gabriel Fahrenheit (XVIIIe siècle) fixa l’origine des températures (0° Fahrenheit) à la plus basse qu’il ait observée. C’était durant l’hiver 1709 dans la ville de Dantzig, où il habitait. Pour 100° Fahrenheit, il choisit la température corporelle d’un cheval sain ! Dans son système, l’eau gèle à 32° et elle bout à 212° environ.

La règle des signes n’est donc pas si simple … mais source de poésie !

Les dangers de philosopher sur les nombres

Pourquoi les Grecs n’ont-ils découvert ni les réels, ni le zéro et n’admettaient même pas le « un » dans la confrérie des nombres ? La raison tient à la philosophie, voire la mystique, dont ils encombraient ces notions. Le même schéma se retrouve à l’œuvre dans les temps modernes.

Idée pythagoricienne des nombres

Les nombres sont nés englués de mystique. Pour Pythagore, le « un » représente le divin. Plus précisément, voici comment il parle du nombre triangulaire : 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Le triangle sacré selon Pythagore.

Pour lui, le « un » est le divin, le principe de toute chose … Le « deux » est le couple masculin, féminin, la dualité … Le « trois », les trois niveaux du monde, l’enfer, la terre et le ciel … Le « quatre », les quatre éléments, l’eau, l’air, la terre et le feu … Enfin, le tout fait « dix », la totalité de l’univers, le divin compris ! On peut trouver ces idées poétiques mais, avec de telles prémisses, on peut aussi craindre le pire ! C’est pour de telles raisons mystiques que Pythagore proclama : « tout est nombre » ce qui, dans son esprit, signifie « nombre entier naturel ». L’idée venait de la « raison ». Elle était rationnelle.

Les grandeurs commensurables

Pourtant, pour être égaux aux rapports entre nombres entiers, il est nécessaire que les longueurs (ou les quantités de façon générale) aient une commune mesure, soient commensurables en d’autres termes. Cela signifie que si AB et BC sont deux segments contigus, on peut placer un point U tel que AB et AC soient multiples de AU (AU est la commune mesure).

AB et AC sont commensurables s’il existe un point U tel que AB et AC soient multiples de AU.

L’échec des fractions

Malheureusement pour sa doctrine, Pythagore prouva lui-même qu’il existe des grandeurs incommensurables, le côté et la diagonale d’un carré par exemple. Son raisonnement est fondé sur la figure suivante.

En découpant un carré (de côté AB), on peut en former deux (de côté CD). En les mesurant à la même aune, nous obtenons deux entiers et l’égalité : AB . AB = 2 CD . CD. Dans la factorisation de ce nombre, 2 intervient un nombre pair de fois à gauche et un nombre impair à droite, ce qui est absurde.

En factorisant l’égalité : AB . AB = 2 CD . CD, Pythagore obtint une absurdité. Son idée s’écroule : il existe des longueurs incommensurables. Son dogme « tout est nombre » ne retrouvera vie que dans les temps modernes, quand d’autres « objets » seront admis dans le champ des nombres, en particulier, le rapport de la diagonale au côté du carré, racine de 2 que nous disons toujours irrationnelle.

Le “un” est-il un nombre ?

Que les idées mystiques aboutissent à des erreurs semble normal. Plus étrangement, le « bon sens » peut faire de même. Les anciens Grecs ne considéraient pas l’unité comme un nombre, car elle ne représente pas une multiplicité. On ne dénombre qu’à partir de deux ! Selon Euclide, un nombre est un assemblage composé d’unités. Autrement dit, l’unité est la source et l’origine de tout nombre. Avant de compter, il est nécessaire de distinguer l’unité qui, de ce fait, a un statut à part. Qu’est-ce qu’un sommet en montagne ? Cette question peut sembler simpliste, elle demande pourtant de savoir distinguer une antécime d’un sommet. Il en est de même si on veut compter des plantes. Dans chaque cas, il est nécessaire de distinguer l’unité.

Une fois cette étape accomplie, nous pouvons dénombrer, ce qui correspond à une suite d’opérations : 2 = 1 + 1, 3 = 1 + 1 + 1, etc. L’idée qu’une seule unité serait un nombre est rejetée car « 1 » est singulier et les nombres, pluriels. L’assemblage commence à deux. La question peut sembler factice, mais elle est plus embarrassante qu’il n’y paraît. Quand faut-il utiliser un pluriel ? Du fait de ce type de questions, il fallut plusieurs millénaires pour voir dans le « un » rien d’autre qu’un nombre ordinaire. Le problème s’est alors reporté sur le zéro.

“Zéro” est-il un nombre ?

Pendant longtemps, zéro a été exclu de l’univers des nombres car il ne représente ni un dénombrement, ni une mesure. Nous devons son apparition en tant que nombre au mathématicien indien Brahmagupta (VIIe siècle après Jésus-Christ). Pour lui, il ne s’agit pas seulement de la notation d’une absence d’unité, de dizaine ou de centaine, etc. comme dans la numération de position mais aussi d’un vrai nombre, sur lequel on peut calculer. Il le définit d’ailleurs comme le résultat de la soustraction d’un nombre par lui-même. Il donne les bons résultats l’impliquant dans les opérations licites (addition, soustraction et multiplication) mais se trompe en estimant que 0 divisé par 0 est égal à lui-même. On peut le comprendre, la question n’est pas simple.

Règle d’extension à zéro

La règle d’extension des résultats à zéro n’est pas d’origine philosophique, mais calculatoire. Par exemple, que vaut un nombre à la puissance zéro ? Pour répondre à cette question, se demander ce que signifie de porter un nombre à la puissance zéro est inutile, voire nuisible. A priori, 2 à la puissance 4 (par exemple) est égal à 2 multiplié 4 fois par lui-même, soit 24 = 2 . 2 . 2 . 2. De même, en remplaçant 4 par n’importe quel nombre entier supérieur à 1, donc 21 = 2. Mais que peut bien vouloir dire un nombre multiplié 0 fois par lui-même ? Se poser la question ainsi, c’est se condamner à ne pas pouvoir y répondre. En fait, il faut trouver un principe d’extension. La propriété essentielle est la formule 24+1 = 24 . 2, valable en remplaçant 4 par n’importe quel nombre. En le remplaçant par 0, nous obtenons 20+1 = 20 . 21, ce qui donne 2 = 20 . 2. En simplifiant par 2, nous obtenons 20 = 1. Ce résultat est encore vrai si nous remplaçons 2 par tout nombre non nul. Ainsi, un nombre non nul porté à la puissance 0 est égal à 1.

Cette égalité correspond à une idée subtile : celle de la généralité des calculs. On définit la puissance 0 pour que les règles de calcul connues sur les puissances restent vraies dans ce cas particulier. Il reste l’ambiguïté de 0 à la puissance 0. Suivant les cas, on peut retenir la valeur 1 par souci de généralité ou considérer cette quantité comme non définie.

Pour la même raison, il est possible d’étendre la définition de la factorielle. A priori, 4 ! (lire factorielle 4) est le produit des entiers naturels de 1 à 4, de même 5 ! La factorielle de 0 n’a donc aucun sens. Cependant, comme précédemment, 5 ! = 5 . 4 ! et ceci en remplaçant 4 par n’importe quel nombre. Si nous voulons définir 0 !, il est donc nécessaire que 1 ! = 1 . 0 ! ce qui fournit 0 ! = 1. Pour les mêmes raisons, le produit et la somme d’une liste de zéro nombre entier sont égaux à 1 et 0.

Les nombres négatifs

Les mêmes phénomènes de méfiance se sont produits pour les nombres négatifs même si, de nos jours, ils ont pris un sens concret avec les températures, qui peuvent être négatives, et les étages en sous-sol des immeubles. À l’époque de Brahmagupta, cette notion était très abstraite. Les nombres négatifs n’ont d’ailleurs été admis en Occident que bien plus tard. Descartes les évitait encore ! Dans ses Pensées, Pascal, pourtant grand mathématicien, écrit d’ailleurs cette phrase surprenante : « Trop de vérité nous étonne ; j’en sais qui ne peuvent comprendre que, qui de zéro ôte 4, reste zéro ». Sans le vouloir, Pascal pointe ici l’une des difficultés à considérer zéro comme nombre véritable : l’idée du zéro absolu, celui en dessous duquel on ne peut descendre. Il n’aurait sans doute pas admis nos températures négatives, et aurait donc préféré les degrés Fahrenheit aux Celsius. Fahrenheit fixa l’origine des températures (0° Fahrenheit) à la plus basse qu’il ait observée. C’était durant l’hiver 1709 dans la ville de Dantzig, où il habitait. Pour 100° Fahrenheit, il choisit la température corporelle d’un cheval sain ! Dans son système, l’eau gèle à 32° (Celsius) et elle bout à 212° environ.

Ces choix étranges de Fahrenheit s’expliquent par la réticence de l’époque devant les nombres négatifs. On préférait d’ailleurs parler de quantités plutôt que de nombres. Il s’agissait d’artifices de calcul pour résoudre des équations, dont on écartait ensuite les solutions négatives. Tout en étant une origine, zéro véhicule une idée d’absolu, en dessous duquel on ne peut aller, comme on le voit chez Pascal. Cette idée a perduré jusqu’au XIXe siècle, Lazare Carnot disait encore : « Pour obtenir réellement une quantité négative isolée, il faudrait retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible. Comment donc concevoir une quantité négative isolée ? »

L’erreur de sens

La question ne doit pas être examinée d’un point de vue philosophique en se demandant, par exemple, ce que signifie de multiplier les dettes entre elles, ou de plaisanter sur les possibilités de faire un bénéfice en les multipliant comme le fait Stendhal dans La vie de Henry Brulard, son roman autobiographique : « Supposons que les quantités négatives sont des dettes d’un homme, comment en multipliant 10 000 francs de dette par 500 francs, cet homme aurait-il ou parviendra-t-il à avoir une fortune de 5 000 000, cinq millions ? »

L’usage des termes mathématiques hors contexte peut donner des résultats amusants, mais la question n’est pas là. L’important est que les règles de calcul habituelles sur les nombres soient respectées. Ces idées ont débouché sur la notion de corps de nombres au XIXe siècle.

La réalité des réels

L’expérience du calcul suggère que l’écriture décimale permet d’atteindre les mesures avec toute précision désirée, quelle qu’elle soit. Celle-ci n’a pas de limite et on peut, par exemple, parler du milliardième chiffre après la virgule du nombre pi. Jusqu’à la fin du XXe siècle, ce genre d’affirmation avait un côté gratuit car personne ne pouvait le connaître. Aujourd’hui, nous savons qu’il s’agit du chiffre 2. Bien sûr, il existera toujours une limite indépassable, tout simplement parce que notre temps est fini, et notre énergie comptée. Aussi infime que soit le coût de l’impression d’un chiffre sur du papier, un écran d’ordinateur ou un emplacement mémoire d’un DVD, on se ruinerait à vouloir en écrire trop. Cependant, il est facile d’imaginer que tout nombre possède un nième chiffre après la virgule, et cela pour tout entier n, aussi grand soit-il.

De façon générale, nous appelons développement décimal une suite de chiffres telle que 65, 692 873 451 etc. à l’infini avec la condition suivante : les chiffres ne sont pas tous égaux à 9 à partir d’un certain rang. Le résultat est ce que l’on appelle un nombre réel. Ces nombres permettent de représenter la notion intuitive de mesure (longueur, aire, volume, temps, etc.). Pourquoi ? Pour l’expliquer, imaginez vouloir mesurer un segment OA. Comment faites-vous ? Sans doute prenez-vous une règle graduée.

Pour mesurer une longueur, on la porte le long d’une règle graduée. Ici, OA vaut entre 2,6 et 2,7.

Vous faites correspondre le point O et la graduation 0 de la règle puis placez celle-ci le long du segment OA. Le point A se situe alors entre deux graduations, disons entre 2 et 3. La longueur vaut donc 2, augmenté de quelque chose. Comment l’évaluer plus précisément ? Tout simplement en utilisant les graduations directement inférieures (les dixièmes). La longueur se situe entre deux de ces graduations, disons entre 6 et 7. On peut imaginer continuer ainsi à l’infini même si, en réalité, nous ne pouvons dépasser une certaine précision. La longueur OA est donc représentée par un développement décimal, éventuellement illimité. De plus, une suite infinie de 9, comme 2, 999 … par exemple, est impossible car correspond au nombre directement supérieur (ici 3). La notion de nombre réel est donc un bon modèle mathématique pour étudier celle de longueur et, de façon plus générale, de toute mesure de même nature.

Les nombres aujourd’hui

Le mot « réel » ne doit pas leurrer. Ces nombres n’existent pas plus dans la réalité que les autres. Ce sont des abstractions utiles pour modéliser le monde réel. Leur efficacité se mesure à l’aune des résultats qu’ils permettent d’obtenir. Autrement dit, le contrôle philosophique sur les nombres ne se fait pas a priori pour satisfaire à quelques conceptions plus ou moins dogmatiques. Ce contrôle se fait a posteriori sur les résultats qu’ils permettent d’obtenir. Cette idée peut troubler certains car elles impliquent que la vérité se mesure à son efficacité. Il en est de même des axiomes des mathématiciens. Il n’existe pas d’axiomes « vrais », il existe des axiomes utiles.

 

De l’utilité d’une mauvaise orthographe pour chiffrer

Une bonne orthographe peut perdre l’apprenti chiffreur car elle facilite la recherche de mots probables. Ainsi, écrire « pitèn » au lieu de « capitaine » peut servir à la dissimulation…

Le tueur du zodiaque

Un tueur en série, qui sévit en Californie à la fin des années soixante et début des années soixante-dix, nargua la police avec des messages chiffrés de façon a priori simple. Tout porte à penser qu’il est mort depuis puisque ses crimes et ses revendications cessèrent, mais rien ne le prouve. Nous ne nous intéresserons pas à cet aspect ici mais aux quelques messages chiffrés qu’il envoya à la police et à la presse dont le suivant.

Décryptement

L’un d’entre eux fut décrypté par un enseignant et son épouse, Donald et Betty Harden. Leur idée fut de rentrer dans la psychologie d’un tueur en série qui, selon eux, a un égo surdéveloppé… ainsi le message devait commencer par la lettre « I » qui, en anglais, signifie « je ». Ensuite, ils ont cherché « kill » et « killing » qui correspondent au verbe « tuer ». Le code s’écroula ensuite petit à petit. Pour tromper les décrypteurs, le tueur avait de plus fait de nombreuses fautes d’orthographe. Voici le message décrypté :

I LIKE KILLING PEOPLE BECAUSE IT IS SO MUCH FUN IT IS MORE FUN THAN KILLING WILD GAME IN THE FORREST BECAUSE MAN IS THE MOST DANGEROUS ANAMAL OF ALL TO KILL SOMETHING GIVES ME THE MOST THRILLING EXPERENCE IT IS EVEN BETTER THAN GETTING YOUR ROCKS OFF WITH A GIRL THE BEST PART OF IT IS THAT WHEN I DIE I WILL BE REBORN IN PARADICE AND ALL THE I HAVE KILLED WILL BECOME MY SLAVES I WILL NOT GIVE YOU MY NAME BECAUSE YOU WILL TRY TO SLOI DOWN OR STOP MY COLLECTING OF SLAVES FOR MY AFTERLIFE EBEORIETEMETHHPITI

Nous pouvons le traduire ainsi : « J’aime tuer les gens parce que c’est du plaisir, plus que de tuer du gibier dans la forêt, parce que l’homme est l’animal le plus dangereux de tous à tuer. C’est excitant, même plus que d’avoir du bon temps avec une fille. Le mieux sera quand je mourrai. Je renaîtrai au paradis et tous ceux que j’ai tués deviendront mes esclaves. Je ne donnerai pas mon nom car vous essayeriez de ralentir ou de stopper ma récolte d’esclaves pour mon au-delà. Ebeorietemethhpiti. »

Malheureusement, malgré ce qu’il avait annoncé à la police, sa signature restait incompréhensible. Il annonçait d’ailleurs lui-même pourquoi il ne donnait pas son nom.

 

 

Comment comprendre le monde moderne sans culture mathématique ? Accéder à celle-ci n’exige cependant pas d’apprendre à résoudre la moindre équation.