Les registres d’un grand luthier parisien du XIX° siècle, Gand & Bernardel, se trouvant de nos jours au musée de la musique, montrent d’étonnantes parties chiffrées.
La ligne de registre ci-dessus concerne la vente d’un violon au prix de 8000 F. Dans la première partie figure le prix de 10000 F, sans doute le prix demandé par le luthier avant négociation. Entre parenthèses après ce prix figure quatre lettres : (exzx) puis ensuite ohxz. Le nombre de lettres incite à penser que l’un des deux représente le prix d’achat du luthier et l’autre le prix de réserve en dessous duquel il ne faut pas descendre. Ces indications ont alors un rôle évident : permettre la négociation du prix sans erreur de la prt du vendeur et sans donner le prix de réserve à l’acheteur. Il est alors logique de penser que le prix de réserve est entre parenthèses et que l’autre est le prix d’achat.
La loi de Benford
Le musée de la musique a demandé l’aide d’un cryptologue, en la personne de Pierrick Gaudry, pour casser le code utilisé. Pour ce faire, il a examiné les lettres se trouvant en tête des codes en pensant que, comme toutes données comptables, elle suivait la loi de Benford . Cette loi donne les fréquences d’apparition des chiffres en tête d’un nombre :
Chiffre
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Fréquence en %
30
18
12
10
8
7
6
5
4
(voir une discussion de cette loi dans Toutes les mathématiques du monde, page386)
En utilisant les fréquences d’apparition des lettres dans les codes, on trouve que h représente 1 et a représente 2. Des tâtonnements donnent le reste et la clef est lumineuse pour un marchand de violons puisqu’il s’agit du mot harmonieux :
h
a
r
m
o
n
i
e
u
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Dans les différents registres, on trouve également le code z. Des additions montrent qu’il vaut 0, comme x. Le fait de coder 0 de deux façons différentes s’expliquent car le 0 se trouve souvent dans les prix.
Ainsi, dans le cas de la ligne de registre citée plus haut, ohxz signifie 5100 F, ce qui correspond bien à un prix d’achat vraisemblable puisque le prix de vente final a été de 8000 F. Le prix de réserve exzx était de 8000 F aussi ce qui prouve que l’acheteur a bien négocié.
Une carte postale adressée à une jeune fille nommée Léa chez ses parents le 27 janvier 1905 a de quoi surprendre car elle ne comporte que des nombres séparés de points ou de tirets.
Transcription de la carte
Le texte est constitué de nombres entre 2 et 25, qui représentent sans doute des lettres de l’alphabet, séparés par des points et des tirets. Les tirets séparent probablement les mots entre eux. Nous le reproduisons ici en remplaçant les tirets par des espaces :
On remarque rapidement que le numéro 24 est majoritaire. Il représente sans doute le E. Un mot à l’avant dernière ligne se trouve alors à moitié décrypté. Il s’agit de 24.13.13.24.8. Le numéro 13 répété entre deux E ne peut être qu’une consonne, plus précisément L. On en déduit que ce mot est « elles ». Le suivant est alors probablement « sont ». Le chiffre s’écroule alors progressivement. En particulier la formule de politesse est « tout à toi ». Finalement, on obtient le texte :
Ma gosse, pardonne-moi ce que je t’ai écrit, je n’avais rien reçu depuis 2 jours. J’ai eu tes 2 cartes ce matin. Je n’ai rien eu à ja*e. Si tu savais comme je suis impatient quand elles sont en retard. Au revoir mon ange. Tout à toi.
L’étoile dans le texte est sans doute une erreur de chiffrement.
Souvenir d’un séjour à Hanoï où j’ai enseigné l’art du décryptement à quelques étudiants et beaucoup appris sur les services du chiffre du Viêt-Minh pendant la guerre d’Indochine (1946-1954) puis du Viêt-Cong pendant la guerre du Vietnam (1955-1975))
Erreurs cryptographiques des deux camps
Au début de la première guerre d’Indochine, le Viêt Minh utilisa un chiffre de Vigenère, c’est-à-dire une substitution alphabétique à décalage variable dépendant d’une clef (qui est un mot). Par exemple, avec la clef abc, il consiste à ne pas décaler la première lettre du message, décaler d’un cran la seconde de deux crans la seconde et ainsi de suite si bien que “chiffrer” se chiffre en “cikfgtes”.
Le Viêt-Minh appliquait cette méthode de façon particulièrement erronée : la clef, toujours de longueur cinq, était accolée en tête du message ce qui contrevenait lourdement au principe de Kerckhoffs selon lequel la solidité d’un chiffre ne devait pas dépendre du secret de la méthode mais seulement de celui de sa clef.
Document vietnamien montrant un message envoyé avec sa clef TINHA en tête !
Malgré cette faiblesse du chiffre vietnamien, le conflit cryptographique avec l’armée française, déséquilibré au temps de la reconquête en 1946, quand les meilleurs cryptologues de l’armée étaient sur place, fut plutôt équilibré de ce point de vue ensuite. L’armée était pourtant sensée disposer de machines à chiffrer de la Seconde Guerre mondiale comme la C-36 au niveau tactique et la B-211 au niveau stratégique qui auraient dû être indécryptables par le Viêt Minh. Cependant, d’après les archives vietnamiennes, bien des messages français étaient envoyés chiffrés par un Vigenère doté d’une clef trop courte, ou juste camouflés voire même en clair. Les techniques de camouflage consistaient ici à remplacer quelques termes, comme « convoi » ou « tank » par d’autres d’apparence anodine comme « omelette » ou « œufs brouillés ». Cette méthode n’a guère d’espoir de permettre de garder le secret d’un grand nombre de messages. L’ennemi aura vite compris ce que recouvrent ces termes étranges dans un contexte militaire.
Persistance des erreurs
Lors de la guerre du Vietnam qui suivit la défaite française, les Américains ne firent guère mieux et en vinrent aussi à des méthodes de camouflage, persuadés que le Viêt Cong ne serait jamais capable de comprendre leur jargon en temps réel. La NSA (National Security Agency) avait pourtant conçu Nestor, un système chiffrant la voix de bonne qualité … mais qui avait au moins deux défauts : son élément (KY-38) réservé à l’infanterie était lourd (24,5 kg) et, de plus, Nestor ne supportait pas la chaleur humide des forêts tropicales du sud Viêt Nam. De nombreuses unités préféraient emporter plus de munitions plutôt que cet engin peu fiable et lourd. Ceci explique l’absence de chiffrement sérieux et l’équilibre des forces entre le petit Viêt Cong et le géant américain dans la bataille des ondes.
Soldat américain portant une KY-38, partie “portable” su système Nestor.
Les nombres fascinent tellement qu’ils arrivent à pénétrer des domaines purement qualitatifs, comme l’évaluation de l’intelligence. Les tests de Quotient Intellectuel ont été créés, dans le cadre de l’instruction obligatoire, pour détecter les enfants susceptibles de rencontrer des difficultés scolaires. En 1904, le ministère de l’Instruction publique chargea Alfred Binet (1857 – 1911) d’imaginer un outil pour ce faire. Son échelle psychométrique visait à un diagnostic rapide d’arriération en comparant les performances de l’enfant à celles de sa classe d’âge. À l’époque, ce n’était pas un test destiné à la sélection, mais au contraire à aider les enfants en difficulté. Binet lui-même notait d’ailleurs l’influence de la culture familiale sur les résultats des tests et, quand on lui demandait ce qu’était l’intelligence, il répondait : l’intelligence est ce que mesure mes tests.
Le quotient intellectuel des enfants
La notion de quotient intellectuel découle des études de Binet, mais a été fixée par Wilhelm Stern (1871 – 1938) comme le rapport entre l’âge mental d’un enfant et son âge physique… d’où le terme de « quotient ». Un QI de 100 correspond donc à un enfant normal… et le QI d’un même enfant varie avec l’âge. Il est mesuré par des tests qui dépendent également de l’âge. Ces tests portent souvent sur des reconnaissances de structures, ce qui est relativement naturel si on veut mesurer l’aptitude à suivre les cours de l’école élémentaire, pas forcément si on s’intéresse à celle de survivre dans une nature hostile… ce qui pourtant demande aussi de l’intelligence.
Exemple de test de QI actuel. Il s’agit de choisir la figure du dernier carré, qui complète les précédentes. Ce type de test privilégie les compétences logiques et mathématiques.
Vu le but, ces tests sont légitimes et doivent permettre de venir en aide à des élèves en difficulté en évaluant où se situe leur problème : émotivité exacerbée ou arriération mentale ? Le QI peut discriminer entre ces deux hypothèses.
Extension aux adultes
Jusqu’en 1939, le QI est resté cantonné à la mesure de l’âge mental des enfants. David Wechsler (1896 – 1981) eut l’idée d’un test s’appliquant aux adultes. La définition donnée ci-dessus n’ayant aucun sens dans ce cadre, il eut recours à un subterfuge.
Courbe en cloche de la répartition du QI dans la population. La moyenne est égale à 100 et l’écart-type à 15, ce qui signifie que 34 % des cas sont situés entre 100 et 115 (et symétriquement entre 85 et 100), et que 14 % des cas sont situés entre 70 et 85 (symétriquement entre 115 et 130).
La répartition du QI des enfants suivant une courbe en cloche de moyenne 100 et d’écart-type 15, il supposa qu’il en était de même pour les adultes et étalonna ses tests pour qu’il en soit effectivement ainsi ! Les tests utilisés actuellement descendent de ces tests de Wechsler.
Changement d’utilisation
À la différence de ceux imaginés par Binet, les tests de QI actuels sont plutôt destinés à détecter des personnes à haut potentiel intellectuel, ou que l’on croît tels. Ces tests ont plus d’un effet pervers. S’ils peuvent aider à corriger l’orientation scolaire de certains enfants, supposés inadaptés du fait de leur précocité ou de leur émotivité exagérée, ils peuvent aussi fabriquer des aigris si la réussite ultérieure ne correspond pas à l’intelligence supposée.
L’intelligence est-elle unidimensionnelle ?
Quelle que soit la sophistication de ces tests, on peut douter que l’intelligence puisse être classée selon une seule dimension. Pour commencer, qu’est-ce que l’intelligence ? Bien entendu, on peut répondre comme Binet : l’intelligence est ce que mesurent les tests de QI. Une telle réponse a l’avantage d’être simple et opératoire… et le défaut de ne servir à rien. La question n’est pas aisée car, sans même savoir de quoi il s’agit, il faut être intelligent aussi bien pour définir l’intelligence, que pour en comprendre l’éventuelle définition. De même, il faut ne pas l’être pour croire qu’elle peut se résumer à un nombre fourni par un test. Une définition doit apporter une certaine compréhension du phénomène, et répondre à la question : à quoi sert-il d’être intelligent ? Dans ce sens utilitaire, la définition la plus courante est : l’intelligence est la faculté de s’adapter. Même si des qualités communes sont nécessaires pour cela, il est clair que cela dépend des circonstances. Prenons l’exemple de situations conflictuelles. Une qualité essentielle est de reconnaître qui est votre adversaire, et qui est votre allié potentiel. Cette forme d’intelligence relationnelle est utile dans le commerce, dans l’enseignement comme en politique. Une fois votre adversaire potentiel détecté, il est bon de savoir prévoir l’action qu’il va mener. Nous retrouvons ici la forme d’intelligence privilégiée en mathématiques et dans les tests de QI. Ces deux formes d’intelligence ne sont pas les seules, même si elles sont peut-être les principales. Notre but n’est pas ici d’en faire la liste, le lecteur intéressé pourra consulter les formes d’intelligence de Howard Gardner. En admettant que nous soyons capables de noter exactement chaque être humain sur ces deux formes d’intelligence, pour obtenir une note globale, il est ensuite nécessaire d’attribuer un pourcentage à chacune, ce qui est loin d’être évident. Les tests de QI ont sans aucun doute une utilité mais il est vain d’en faire une mesure de l’intelligence, surtout si on s’entraîne à les passer !
Sans doute pour éviter les nombres négatifs, Daniel Gabriel Fahrenheit (1686 – 1736) fixa l’origine des températures (0° Fahrenheit) à la plus basse qu’il ait observée. C’était durant l’hiver 1709 dans la ville de Dantzig, où il habitait. Pour 100° Fahrenheit, il choisit la température corporelle d’un cheval sain ! Dans son système, l’eau gèle à 32° et elle bout à 212° environ.
100° Fahrenheit correspond à la température corporelle d’un cheval sain.
L’absolu du zéro
Ces choix étranges de Fahrenheit s’expliquent par la réticence de l’époque devant les nombres négatifs. On préférait d’ailleurs parler de quantités plutôt que de nombres. Il s’agissait d’artifices de calcul pour résoudre des équations, dont on écartait ensuite les solutions négatives. Tout en étant une origine, zéro véhicule une idée d’absolu, en dessous duquel on ne peut aller, comme on le voit chez Blaise Pascal (1623 – 1662) qui, dans ses Pensées, écrit cette phrase surprenante :
Trop de vérité nous étonne ; j’en sais qui ne peuvent comprendre que, qui de zéro ôte 4, reste zéro.
Cette idée a perduré jusqu’au XIXe siècle, Lazare Carnot (1753 – 1823) écrivait encore :
Pour obtenir réellement une quantité négative isolée, il faudrait retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible. Comment donc concevoir une quantité négative isolée ?
La solution de Cauchy
La question semble cependant résolue avec Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) qui, dans son Cours d’analyse de l’Ecole royale polytechnique définit les nombres relatifs comme une partie numérique précédée d’un signe + ou – :
Le signe + ou – placé devant un nombre en modifiera la signification, à-peu-près comme un adjectif modifie celle du substantif.
Conversion entre degrés Celsius et degrés Fahrenheit
Les variations étant linéaires dans les deux cas, la relation est affine, c’est-à-dire de la forme : TF = a TC + b. Les deux coïncidences donnent les relations : b = 32 et 100 a + b = 212 d’où : a = 1,8 et b = 32. Nous en déduisons la formule : TF = 1,8 TC + 32. Ainsi la température de 37° Celsius donne : 1,8 x 37 + 32 = 98,6° Fahrenheit.
Une façon d’effectuer les additions est d’utiliser les propriétés des longueurs : deux mètres plus trois mètres font cinq mètres. Ainsi, avec deux règles graduées, on peut facilement opérer une addition.
En faisant coïncider le 0 de la règle verte avec le 2 de la règle bleue, on lit sous la graduation 5 de la verte, la somme de 2 et de 5.
L’idée sous-jacente est tellement simple qu’on ne voit pas immédiatement l’analogie sous-jacente. Elle consiste pourtant à assimiler nombre et longueur, deux notions a priori distinctes. En grec, le sens premier d’analogie est « proportion mathématique ». On passe d’une quantité à une autre par l’application d’un certain rapport. Cependant, dès l’époque de Platon, ce terme a pris le sens plus général de correspondance, de ressemblance, de similitude. En mathématiques, il est aujourd’hui utilisé à plusieurs niveaux, du concret à l’abstrait, du rigoureux à l’approximatif ou à l’heuristique, c’est-à-dire à ce qui donne des idées.
Et les multiplications …
La fonction logarithme transformant une multiplication en addition donne alors une méthode analogique pour calculer un produit. Il suffit de transformer l’échelle linéaire en échelle logarithmique. On obtient un instrument de calcul utilisé avant l’avènement des calculatrices bon marché, et autrefois symbole de l’ingénieur.
Une règle à calculs est composée de trois réglettes dont une coulisse entre les deux autres. En faisant coïncider la graduation 1 de l’une et la graduation 2 de l’autre, puis en alignant le curseur sur la graduation 5 de la première, on lit le résultat de la multiplication 2 x 5 sur la seconde.
Bien entendu, la règle à calcul permet d’effectuer également des divisions et toutes sortes de calculs plus complexes.
Le calcul analogique
De façon plus générale, l’idée du calcul analogique est de représenter les nombres par des grandeurs géométriques (longueurs, aires, volumes, angles) ou physiques (mécaniques, électriques, hydrauliques, chimiques), et d’exploiter des phénomènes géométriques ou physiques dont la modélisation mathématique est fondée sur les équations que l’on veut résoudre. En particulier, des systèmes électriques permettent de résoudre automatiquement certaines équations : celles qui les régissent. Les calculateurs analogiques ont été en usage jusqu’à ce que les ordinateurs, ou calculateurs numériques, les supplantent, c’est-à-dire jusqu’au début des années 70. Dans le domaine du calcul scientifique, numérique est ainsi devenu l’opposé d’analogique.
Mes règles à calcul
Mes premières règles à calcul ont été fabriquées en bambou, c’était alors un symbole de qualité.
Règle en bambou de la marque HEMMI de 30 cm de longRègle en bambou de la marque HEMMI de 14 cm de long, la précision était moindre mais la règle tenait dans la poche pectorale d’une blouse.Règle en bambou de la marque HEMMI de 10 cm de long, avec loupe.
Les suivantes sont en matière plastique comme celle-ci.
Petite règle à calcul en matière plastique de la marque Graphoplex. Longueur 15 cm.La dernière ressemble à une règle à calcul mais ne possède par de réglette mobile. C’est en fait une règle de conversion entre les unités internationales (mètres, etc.) et les unités américaines (pieds, etc.).
Règle de conversions entre les unités internationales et les unités américaines en plastique Graphoplex.
Toujours à la recherche d’œuvres d’art inspirées par les mathématiques, et la science en général, j’ai découvert dans une petite galerie d’art parisienne (galerie Sonia Monti, Paris VIII), quelques œuvres de François Sforza, dont l’originalité est d’allier les maths et la matière.
La formule d’Euler
Leonhard Euler (1707 – 1783) est l’auteur d’une formule déclarée “plus belle formule des mathématiques” en plusieurs occasions :
Pourquoi si belle ? La raison souvent invoquée est la réunion de cinq constantes fondamentales : les éléments neutres de l’addition (0) et de la multiplication (1), la mystérieuse racine carrée de -1 (i) et les deux nombres transcendants les plus rencontrées (e et pi). François Sforza suggère de plus une démonstration élémentaire de la formule sur son tableau.
Lidentité d’Euler par François Sforza. La photo ne reflète pas la matière de la peinture.
Dans un autre post, j’ai célébré cette même formule dans une autre matière : le verre.
Pour finir, voici quelques autres peintures de François Sforza.
L’inconnue de François Sforza.Synaptik par François Sforza. Une plongée imaginaire dans notre cerveau où des formules mathématiques remontent le long des neurones.
Vibration sonore par François SforzaPour en savoir plus sur l’artiste
A priori, les nombres premiers sont les nombres entiers naturels (1, 2, 3, 4 , 5, 6, etc.) qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes ce qui amène à éliminer dans la liste précédente les nombres composés c’est-à-dire produits de deux nombres comme 4 (2 x 2), 6 (2 x 3), etc.
1 est-il premier ?
Avec cette définition, 1 serait premier. On l’élimine pourtant en ajoutant qu’un nombre premier doit avoir deux diviseurs distincts: 1 et lui-même. La raison est plus profonde qu’il ne peut paraître. Voyons pourquoi.
Le théorème fondamental de l’arithmétique
Si on exclut 1 de l’ensemble des nombres premiers, on peut démontrer un théorème fondamental en arithmétique :
tout nombre entier naturel supérieur à 2 est le produit d’un nombre fini de nombres premiers et ce de façon unique, à l’ordre près des facteurs.
Ainsi, 530 = 2 x 5 x 53
Pour démontrer ce théorème, l’essentiel est de montrer que tout nombre est soit premier, soit divisible par un nombre premier… ce qui est une évidence. En appliquant cette remarque de façon itérative, nous aboutissons à notre théorème.
Si on n’exclut pas 1, toute décomposition est multiple puisqu’on peut ajouter autant de facteurs 1 que l’on veut sans changer le résultat. Voila pourquoi on élimine 1 de la liste des nombres premiers.
L’ADN (ou acide désoxyribonucléique) est le support de l’hérédité. Cette molécule, présente dans chaque cellule, prend la forme d’une double hélice, qui s’enroule sur elle-même, formant ainsi un nœud.
Molécule d’ADN formant un nœud. Sa réplication demande de le dénouer. Image réalisée au moyen d’un microscope électronique.
Duplication des molécules
La duplication des informations contenues dans une molécule d’ADN se fait au moyen d’enzymes. Pour « voir » le processus, imaginez une longue fermeture éclair qu’on ouvre avant de la séparer en deux. Cela n’est possible que si le nœud peut être dénoué. Certains virus attaquent les molécules d’ADN en les coupant et en les recollant de sorte qu’ils soient impossibles à dénouer. Le type de nœud obtenu après l’attaque virale est caractéristique de chaque virus. La signature de ces virus est de nature topologique !
Par ailleurs, cette question du dénouement est au cœur de la théorie mathématique des nœuds. Certains sont faciles à dénouer, d’autres bien plus compliqués, voire impossible (voir la figure ci-dessous). À l’envers de celle des virus, la seule méthode est celle qu’Alexandre le Grand employa pour dénouer le nœud gordien : couper la corde !
Deux nœuds. Pour défaire le vert, il suffit de faire glisser la boucle de gauche. Le second requière la méthode d’Alexandre et des virus, non autorisée en théorie des nœuds.
Nœuds et mathématiques
Mathématiquement, les nœuds sont des courbes fermées de l’espace de dimension trois, que l’on représente souvent comme une courbe plane. Elle a alors des points doubles, où il faut distinguer la branche « au-dessus » de celle « en-dessous ». Si en essayant de démêler un nœud, on passe à un autre, les deux nœuds sont dits équivalents. La théorie des nœuds consiste donc à étudier si un nœud est équivalent à une courbe non nouée, comme le cercle, et plus généralement si deux nœuds sont équivalents. Pour étudier ce type de problème, on essaye d’introduire des invariants, c’est-à-dire des objets mathématiques invariants quand on passe d’un nœud à un nœud équivalent. Henri Poincaré (1854 – 1912) en a trouvé un particulièrement subtil, que l’on appelle le groupe du nœud, malheureusement son étude est délicate.
Stephen Smale (né en 1930), William Thurston (1946 – 2012) et Mikhaïl Gromov (né en 1943) réunis lors de la conférence Clay sur la résolution de la conjecture de Poincaré, en 2010.
William Thurston a découvert une réalisation concrète de ce groupe, liée à la géométrie des espaces de dimension trois, ce qui lui a valu la médaille Field en 1982, et explique son implication en biologie ainsi que celles de Stephen Smale ou de Mikhail Gromov, spécialistes de ce domaine, souvent présenté très loin de toute application.
Voici une question autrefois pratique, qui reste aujourd’hui ludique. Elle suppose l’utilisation d’une balance de Roberval, qui fut inventée par Gilles Personier de Roberval (1602 – 1675). Nous en donnons le schéma mais, pour comprendre l’usage que l’on en fait, il suffit de savoir que les deux plateaux s’équilibrent quand les masses qui s’y trouvent sont égales.
Schéma d’une balance de Roberval. Le parallélogramme articulé aux quatre sommets (en rouge) peut pivoter autour du point marqué (en blanc) sur la figure. L’aiguille est dirigée verticalement quand les poids sur les plateaux s’équilibrent.
Pesée binaire de Leibniz
Leibniz a montré que, si on dispose d’une série de poids dont chacun est le double du précédent, on peut réaliser toutes les pesées possibles. Pour voir comment, imaginons un objet de 713 grammes à peser avec des poids de 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 et 512 grammes. L’objet étant dans un plateau, nous commençons par placer le plus gros poids possible, c’est-à-dire celui de 512 grammes dans l’autre. Nous recommençons ensuite itérativement jusqu’à l’équilibre.
Voyons les étapes de ce processus. Le déficit est de 713 – 512 = 201 grammes. Nous utilisons alors le poids de 128 grammes (le plus gros possible). Il reste 201 – 128 = 73 grammes. Après le poids de 64 grammes, il ne reste plus que 9 grammes. Nous terminons en décomposant 9 en 8 + 1. Finalement, nous avons équilibré le poids de 713 grammes avec les poids prévus. D’un point de vue arithmétique, cela s’écrit :
713 = 512 + 128 + 64 + 8 + 1.
Ce résultat correspond à l’écriture de 713 en base deux : 713 = 29 + 27 + 26 + 23 + 20 ce que l’on peut noter : 1011001001. En base dix, nous écrivons : 713 = 7.102+ 101+ 3.100. La différence apparente est que l’écriture en base deux n’implique que des additions, pas de multiplication. En fait, il n’en est rien puisque les chiffres en base deux sont seulement 0 et 1 au lieu de 0, 1, …, 9. La propriété est générale, notre démarche prouve d’ailleurs que tout nombre s’écrit en binaire.
Pesée ternaire de Bachet
À l’occasion d’une récréation mathématique, Claude Bachet de Mériziac (1581 – 1638) a montré que, à condition d’utiliser les deux plateaux, on peut peser n’importe quel objet à l’aide d’une série de poids dont chacun est le triple du précédent. Voyons comment sur l’exemple précédent et des poids de 1, 3, 9, 27, 81, 243 et 729 grammes. L’idée précédente fonctionne si on dispose de deux poids de chaque sorte. Il suffit d’écrire 713 en ternaire. On commence par retrancher deux fois 243 à 713, il reste 227. On recommence avec deux fois 81, il reste 65. On retranche alors deux fois 27, il reste 11 ce qui fait 9 plus deux fois 1. Cette suite d’opérations fournit l’écriture ternaire : 222102 ce que l’on peut écrire : 713 = 2.35 + 2.34 + 2.33 + 32 + 2.30. Pour conclure, l’idée essentielle est d’éliminer les 2 du membre de droite de cette égalité en remarquant que : 3 = 2 + 1. Plus précisément : 713 + 35 + 34 + 33 + 30 = 36 + 35 + 34 + 32 + 31 ce qui se simplifie en : 713 + 33 + 30 = 36 + 32 + 31, c’est-à-dire en : 713 + 27 + 1 = 729 + 9 + 3. Il suffit donc de disposer des poids de 27 et 1 grammes dans le plateau de gauche et de 729, 9 et 3 grammes dans celui de droite.
Comment comprendre le monde moderne sans culture mathématique ? Accéder à celle-ci n’exige cependant pas d’apprendre à résoudre la moindre équation.
