Pour monter sur un sommet à 3712 mètres d’altitude, comme la Grande Ruine dans le massif de Ecrins (image mise en avant @Hervé Lehning), en partant d’un refuge situé à 3169 mètres d’altitude (le refuge Adèle Planchard), il est nécessaire de passer par toutes les altitudes intermédiaires.
Quelque soit la voie prise pour monter au sommet, nous passerons au moins une fois à chaque altitude entre le point de départ et celui d’arrivée. La photo représente un sommet proche de l’Everest, dans l’Himalaya. @Hervé Lehning
Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (ou TVI)
Ce résultat de bon sens correspond à un théorème de mathématiques concernant les fonctions continues sur un intervalle réel à valeurs réelles. La plupart des fonctions qu’on rencontre en mathématiques sont continues sauf, éventuellement, en quelques points exceptionnels, appelés pour cela points de discontinuité. Physiquement, dans la pratique, ces points correspondent souvent à des sauts.
Exemple de discontinuité : en un point x, les limites à droite et à gauche diffèrent de la valeur en x. Dans ce cas, la fonction présente un saut en x.
Le théorème des valeurs intermédiaires peut s’illustrer ainsi :
Si f est une fonction continue sur [a, b] et m est une valeur entre f (a) et f (b), il existe x tel que f (x) = m.Ce théorème est donc un théorème existentiel: il affirme l’existence d’un nombre sans permettre pour autant de le calculer.
Utilité
L’utilité pratique essentielle de ce théorème est de montrer l’existence de racines d’équations : si une fonction continue change de signe entre deux points a et b, elle s’annule entre ces deux points.
On en déduit, par exemple, qu’une fonction continue sur un segment [a, b] à valeurs dans lui-même admet au moins un point fixe, c’est-à-dire un point x tel que f (x) = x. Pour le démontrer, il suffit de remarquer que la fonction g définie par g (x) = f (x) – x change de signe entre a et b.
Ce n’est pas un hasard si l’auteur du premier chapitre de la Genèse a placé la création de la lumière en tête, car elle est la condition de toute vie mais aussi de toute perception, des formes comme des couleurs. Elle est à la source des ombres et son étude établit des ponts entre mathématiques et art.
Sous des lumières différentes, le même paysage donne des impressions différentes, comme le montrent ces deux photographies de la rade de Toulon sous les nuages. La différence essentielle est que, dans la seconde photographie, un rayon de lumière vient illuminer les bâtiments en premier plan et créer des ombres. Les couleurs en sont également modifiées. Certains bâtiments passent du rose au jaune ou même au noir !
La couleur n’existe pas en elle-même, elle correspond à notre perception des ondes lumineuses qui, mathématiquement parlant, sont analogues aux ondes acoustiques. L’ensemble des longueurs d’onde de la lumière visible constitue le spectre de la lumière. Il s’étend du violet, dont la longueur d’onde est de 400 nanomètres, au rouge, dont la longueur d’onde est de 700 nanomètres. Au-delà de ces longueurs d’onde, la lumière devient invisible et on entre dans le domaine de l’ultraviolet, dont les rayons sont responsables du bronzage de la peau et dans l’infrarouge ou rayonnement calorique. On retrouve ces diverses couleurs dans les arcs-en-ciel.
La même théorie mathématique, inventée par Joseph Fourier (1768 – 1830), permet de décomposer les ondes sonores et les ondes lumineuses en sommes d’ondes élémentaires, dites harmoniques en acoustique et ondes monochromatiques en optique. Dans ce dernier cas, celles qui correspondent au spectre visible sont appelées couleurs pures.
Les couleurs telles que nous les voyons dépendent de trois types de récepteurs compris dans nos yeux. Dans chaque onde, chacun capte la part à laquelle il est sensible, notre cerveau réalise la synthèse. Le système RVB, utilisé en photographie, imite ce principe naturel : on ajoute du rouge, du vert et du bleu pour obtenir toutes les couleurs. On retrouve le principe de la décomposition précédente, en la limitant à trois couleurs pures. Le système CMJN, utilisé en imprimerie, est fondé sur un principe soustractif mais aboutit à un résultat identique.
Sans lumière, pas d’ombres
De même, la lumière crée l’ombre. Le photographe, le dessinateur comme le peintre jouent avec cette propriété. L’ombre accentue les formes des objets ou en crée d’étranges.
Les dessins d’architecture comportent des ombres portées d’un objet sur un autre, ce qui peut donner des courbes étonnantes. On peut les photographier ou les prévoir d’avance ce qui autrefois prêtait à des constructions de géométrie descriptive intéressantes. Elles sont aujourd’hui réalisées automatiquement à travers des logiciels de géométrie.
Il arrive de plus que les ombres prennent des formes étranges ne semblant plus rien à voir avec l’original, comme sur la photographie suivante qui constitue une anamorphose d’un taureau chargeant un toréador.
La lumière permet enfin de mettre l’accent sur un personnage et de le modeler, comme sur la photographie suivante où il met en valeur le mouvement des bras du personnage. Certains studios sont réputés pour ce type de photographies qui sculptent les personnages.
Avant que cette technique ne soit exploitée en photographie, elle a été particulièrement utilisée par des peintres comme Georges de la Tour (1593 – 1652) à l’époque classique. Dans le nouveau-né, l’accent est mis sur celui-ci grâce au rayon de lumière envoyé par la bougie cachée par la main de la femme à gauche.
Le nouveau-né par Georges de la Tour
De même, la lumière est au centre de la révolution impressionniste. D’une manière presque mathématique quand on pense à l’analyse de Fourier, les impressionnistes n’utilisent que des couleurs primaires et c’est leur reconstitution dans l’œil, ou plutôt le cerveau, du spectateur qui crée l’impression générale. L’aboutissement de ce courant se trouve sans doute dans les œuvres de Vincent Van Gogh (1853 – 1890).
Terrasse de café le soir par Vincent Van Gogh.
La lumière et ses reflets
C’est de même la lumière qui crée les reflets sur l’eau comme dans cette photographie prise un jour d’orage où les jeux de lumière sont visibles. On y voit également son influence sur les couleurs. La scène originale pouvait ainsi être vue de plusieurs manières.
Nous retrouvons ces effets dans nombres d’œuvres figuratives mais aussi dans les fameux noir-lumière de Pierre Soulages (né en 1919).
Tableau de Pierre Soulages.
Conclusion
Comme nous l’avons vu, seule la lumière donne un sens aux œuvres plastiques, que ce soit en photographie, en dessin ou en peinture. Les mathématiques ne sont bien entendu pas nécessaires pour les concevoir mais elles les structurent que ce soit dans l’analyse spectrale de la lumière ou dans ses jeux. Les logiciels de dessin utilisent d’ailleurs un grand nombre de techniques mathématiques, même si elles restent invisibles à l’utilisateur.
Toujours à la recherche d’œuvres d’art inspirées par les mathématiques, et la science en général, j’ai découvert dans une petite galerie d’art parisienne (galerie Sonia Monti, Paris VIII), quelques œuvres de François Sforza, dont l’originalité est d’allier les maths et la matière.
La formule d’Euler
Leonhard Euler (1707 – 1783) est l’auteur d’une formule déclarée “plus belle formule des mathématiques” en plusieurs occasions :
Pourquoi si belle ? La raison souvent invoquée est la réunion de cinq constantes fondamentales : les éléments neutres de l’addition (0) et de la multiplication (1), la mystérieuse racine carrée de -1 (i) et les deux nombres transcendants les plus rencontrées (e et pi). François Sforza suggère de plus une démonstration élémentaire de la formule sur son tableau.
Lidentité d’Euler par François Sforza. La photo ne reflète pas la matière de la peinture.
Dans un autre post, j’ai célébré cette même formule dans une autre matière : le verre.
Pour finir, voici quelques autres peintures de François Sforza.
L’inconnue de François Sforza.Synaptik par François Sforza. Une plongée imaginaire dans notre cerveau où des formules mathématiques remontent le long des neurones.
Vibration sonore par François SforzaPour en savoir plus sur l’artiste
La même courbe se retrouve-t-elle dans les galaxies, certains mollusques et les toiles d’araignées ? Enquête sur la spirale logarithmique.
La spirale d’Archimède
Imaginez ! Une droite tourne à vitesse angulaire constante autour d’un point O. Si, partant de O, un point M parcourt cette droite à vitesse constante, on obtient une spirale d’Archimède. On démontre facilement que les spires y sont régulièrement espacées.
Spirale d’Archimède. Elle est engendrée par un point mobile M partant d’un point O, à vitesse constante sur une droite tournant à vitesse angulaire constante autour de O.
La spirale logarithmique
Si, toujours partant de O, le point M parcourt la droite à une vitesse proportionnelle à la longueur OM, il dessine une autre courbe, appelée spirale logarithmique depuis Pierre Varignon (1654 – 1722) mais étudiée auparavant par René Descartes (1596 – 1650) avant d’être choisie par Jacques Bernoulli (1654 – 1705) pour orner sa tombe. Malheureusement, le sculpteur ignorait cette courbe et grava une spirale d’Archimède.
Spirale logarithmique. Elle est engendrée par un point mobile M partant d’un point O, à vitesse proportionnelle à OM sur une droite tournant à vitesse angulaire constante autour de O.
Au lieu d’être régulièrement espacées, les spires suivent une progression géométrique de raison constante. Autre propriété de la spirale : elle coupe le rayon OM suivant un angle constant.
Inscription sur la tombe de Jacques Bernoulli, avec la spirale en bas.Sur cet agrandissement, on voit que le sculpteur a gravé une spirale d’Archimède et non une spirale logarithmique. L’inscription latine “eadem mutata resurgo” signifie “déplacée, je réapparais à l’identique”.
Le développement du nautile
Le nautile est un mollusque marin dont la coquille est en forme de spirale. L’espace entre les spires étant triplé à chaque enroulement, elle évoque une spirale logarithmique. Pour examiner si cette forme est fortuite ou non, il est nécessaire d’en comprendre la provenance.
Coupe d’un nautile faisant apparaître une forme de spirale logarithmique.
La coquille du nautile est divisée en chambres closes, l’animal n’occupant que la dernière. Les autres sont remplies d’un mélange de liquide et de gaz, toutes communiquent entre elles au moyen d’un siphon.
Nautile vivant. L’animal n’occupe que la dernière chambre. Il se déplace d’avant en arrière en expulsant de l’eau du côté de sa bouche.
Ces chambres correspondent à l’évolution progressive du mollusque. Quand il grossit, ne pouvant agrandir la chambre où il se trouve, il en crée une autre dans son prolongement, un peu plus grosse mais semblable.
Pour montrer que cette idée mène effectivement à une spirale logarithmique, prenons comme modèle de la coquille une suite de triangles rectangles d’angle au sommet constant égal à 30°. Le rapport entre un triangle et son suivant est de 115 % (l’inverse du cosinus de 30° soit 2 divisé par racine de 3 pour être précis), ce qui correspond bien à une spirale logarithmique. L’idée correspond à un accroissement progressif de la taille de l’animal. Il n’est pas besoin d’imaginer de plans compliqués inscrits dans les gènes du nautile pour cela, juste une façon de croître.
Suite de triangles rectangles formant une (approximation de) spirale logarithmique.
La spirale logarithmique se retrouve pour les mêmes raisons dans d’autres animaux, comme la planorbe, un escargot marin très utilisé dans les aquariums car il se nourrit d’algues et de plantes à la limite du pourrissement.
Une coquille de planorbe en forme de spirale logarithmique.
Les toiles d’araignées
La toile d’araignée est avant tout un piège destiné à attraper des insectes. Certaines espèces tissent des toiles où il est bien difficile de reconnaître la moindre régularité.
Il n’est pas facile de reconnaître la moindre courbe mathématique dans cette toile d’araignée. En revanche, sans le soleil en contre jour, il est difficile de la détecter.
Les espèces les plus communes en France, les épeires, fabriquent cependant des toiles en forme de spirales. Après avoir bâti un cadre entre quelques branches, l’araignée tisse un réseau régulier de segments rectilignes partant tous d’un même point. Un fois ce travail fini, elle forme une spirale en les reliant. Le célèbre entomologiste Jean-Henri Fabre (1823 – 1915) a voulu y reconnaître une spirale logarithmique, tout en remarquant que l’action de la pesanteur transformait chaque segment en chaînette, la forme que prend naturellement un fil pesant comme les câbles électriques ou les chaînes que l’on porte autour du cou.
Cette toile d’épeire laisse plus penser à une spirale d’Archimède qu’à une spirale logarithmique. On y remarque également les segments transformés en chaînette sous l’effet de la pesanteur.
Le salar d’Uyuni est un gigantesque désert de sel sur les hauts plateaux boliviens. On y trouve un cimetière de locomotives offrant plusieurs nuances de rouilles du meilleur effet photographique.
Locomotive rouillant sur le salar d’Uyuni
Un tag étonnant
Une grande partie de ce matériel ferroviaire à l’abandon est tagué. Une inscription nous a tout de même étonné par sa composante mathématique.
L’hypothèse de Riemann taguée sur une locomotive rouillant dans le salar d’Uyuni
Le tag affirme que les zéros non triviaux (i.e. entiers négatifs pairs) de la fonction dzéta de Riemann sont complexes de partie réelle égale à 1/2. Il s’agit d’une conjecture faite par Bernhard Riemann en 1859 et aujourd’hui dotée d’un prix d’un million de dollars par l’institut Clay. Rencontre étonnante !
Certaines espèces de coucous font couver leurs œufs par des oiseaux de tailles très différentes. Chacune a sa stratégie de parasitage. Certains, dont le coucou gris, semblent adapter la taille de leurs œufs à celle de ceux de leur hôte involontaire.
Le coucou gris
Le coucou gris, qui a la taille d’un pigeon, parasite des passereaux. À première vue, le scénario est simple. La femelle coucou pond un œuf dans le nid de rousserolles, de roitelets, de fauvettes, ou d’autres. Son œuf est le premier à éclore. Le petit coucou expulse alors la couvée entière du nid. Les passereaux nourrissent ensuite l’intrus jusqu’à ce qu’il soit adulte.
Jeune coucou se faisant nourrir par une rousserolle.
Stratégies du coucou
Pour atteindre son but, le couple de coucous repère puis guette un nid de passereau, de l’espèce qui les a élevés de préférence. Ce choix n’est pas toujours possible, et une erreur peut être fatale au jeune coucou. Par exemple, si la femelle pond dans un nid de granivores, son petit mourra de faim, car le coucou est insectivore.
Quand la femelle passereau a pondu, celle du coucou profite de son absence, pour gober un œuf et le remplacer rapidement par l’un des siens. Son œuf éclot avant ceux des passereaux car il a commencé à incuber dans son corps. Sitôt né, encore aveugle, le petit coucou expulse tous les œufs du nid afin d’être nourri seul par ses parents adoptifs.
Oisillon coucou jetant un œuf hors du nid.
Les mathématiques du coucou
Bien que le coucou soit cinq à six fois plus grand que les passereaux qu’il parasite, sa femelle pond des œufs de taille comparable aux leurs. Plus étrange, elle semble adapter la taille de ses œufs à celle de ceux qui se trouvent dans le nid dans lequel elle pond. L’un des premiers scientifiques à avoir étudié la question quantitativement, Oswald Latter en 1902, a récolté 29 œufs de coucous dans des nids de roitelets et de fauvettes et notés les diamètres. En réunissant ces données dans deux histogrammes, nous obtenons deux courbes en cloche distinctes ce qui indique que nous avons affaire à deux populations distinctes. Autrement dit, la femelle coucou adapte bien la taille de ses œufs à ceux déjà présents dans le nid dans lequel elle pond.
Distributions des diamètres des œufs pondus dans les nids de roitelets (en orange) et de fauvettes (en vert).Cette étude a depuis été confirmée pour plusieurs espèces de coucous. La recherche est d’autant plus active sur la question que, suivant les espèces, les coucous pratiquent le parasitisme de couvée, ou non et, parmi les coucous parasites, certains sont éjecteurs (ils détruisent les œufs de leur hôte dès leur éclosion) et d’autres, non. Les seconds parasitent des espèces de taille comparable à la leur alors que les autres choisissent des oiseaux plus petits.
Le parasitisme de couvée ne se limite pas à certaines espèces de coucous. Cependant, le phénomène d’adaptation de la taille de l’œuf à celle de ceux de l’hôte n’a pas forcément lieu. Par exemple, certaines canes colverts pondent dans des nids d’autres colverts. Les flamands roses font de même ainsi que bien d’autres espèces d’oiseaux (on en a dénombré 236). Dans d’autres cas, les oiseaux parasitent des espèces de taille similaire à la leur. Seuls ceux qui parasitent des oiseaux plus petits connaissent ce phénomène d’adaptation de la taille de leurs œufs.
Les plantes ont un rapport étonnant avec les mathématiques, hasard ou nécessité ? Je vous laisse juger.
Suite de Fibonacci
Léonard de Pise, dit Fibonacci, a créé sa suite comme un simple exercice d’arithmétique :
Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ?
Le calcul est simple, la suite donne : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, etc. Chaque nombre est la somme des deux qui le précèdent.Cette règle a fasciné au-delà de l’exercice. De plus, on la retrouve souvent dans la nature. En voici quelques exemples.
Cette plante de la toundra groenlandaise présente deux formes géométriques simples : un cercle et une droite. Le cercle est naturel. Il correspond au développement de la plante dans toutes les directions à partir d’une graine, mais pourquoi a-t-elle dépéri d’un seul côté d’une droite ?
Sur les chemins de l’Himalaya, jusqu’à 5000 mètres d’altitude, on rencontre sans cesse des porteurs et porteuses, parfois des enfants, surmontés de charges impressionnantes. Comment évaluer leurs poids ?
Compter les canettes
L’évaluation est relativement simple pour les porteurs de caisses de bière : on compte le nombre de canettes. le poids de chacune est facile à évaluer, un peu plus d’un tiers de kilo. Vingt paquets de dix donnent un fardeau de 70 kilogrammes … à porter sur des milliers de mètres de dénivelée !
Elle y transporte des feuilles, que l’on utilise pour transformer le produit des toilettes en compost. La charge correspond malgré tout aux bottes de foin ordinaires qui, pressées, pèsent environ 20 kilogrammes. Malgré le côté impressionnant de sa charge, il est peu probable que cette jeune fille transporte plus de 10 à 15 kilogrammes sur son dos. Cela reste important pour une enfant dont la croissance n’est manifestement terminée, mais reste comparable aux poids des cartables de certains de nos collégiens.
Autrement plus impressionnante est la buse en fonte que transporte cet homme en route vers Namché Bazar. Elle est destinée à créer une conduite forcée, pour servir à une micro usine hydro électrique. Le progrès vient ici à dos d’homme. Quel est le poids de cette buse ? Il est relativement facile d’évaluer le volume de fonte. La longueur est de 2,5 mètre environ, le diamètre 30 centimètres et l’épaisseur 1 centimètre. En mètres cubes, le volume est donc égal à :
2,5 x (0,152 – 0,142) x 3,14
soit 0,018 m3. La fonte ayant une densité de 7,4 tonnes au m3, nous en déduisons un poids de 130 kilogrammes environ. Même si nous admettons une erreur de 20 % dans notre évaluation, nous aboutissons à un poids supérieur à 100 kilogrammes, ce qui est impressionnant.
Les paraboles sont utilisées dans l’Himalaya pour faire bouillir de l’eau. Pour cela, il suffit de diriger son axe vers le soleil. Ses rayons sont alors réfléchis vers le foyer où on a placé une casserole.
La parabole et son foyer
Si le soleil est dans l’axe de la parabole, ses rayons réfléchis passent tous par le foyer.
Selon la légende, Archimède aurait utilisé ce procédé pour incendier les voiles des navires romains lors du siège de Syracuse en 212 avant Jésus-Christ. Nous pouvons douter de la réalité de cette anecdote, car le moindre mouvement des bateaux suffit pour placer leurs voiles loin du foyer. Les servants du miroir parabolique auraient bien du mal à les suivre. Il est plus facile de chauffer une bouilloire immobile que la voile d’un navire en mouvement !
Les ponts himalayens sont des ouvrages souples suspendus par leurs deux extrémités. L’ancrage étant essentiel, leur altitude dépend de la qualité de la roche. Les deux extrémités doivent être approximativement à la même hauteur et indéracinables.
La courbe du pont
Globalement, le pont se comporte comme une chaîne suspendue par ses deux extrémités. Autrement dit, il prend la forme d’une courbe appelée chaînette pour cette raison. Les lignes électriques hautes tensions ainsi que les câbles de téléphériques en donnent d’autres exemples. Galilée pensait qu’il s’agissait d’une parabole, sans doute parce qu’elle est presque indiscernable de l’arc de parabole de même longueur suspendu entre les mêmes points. En fait, son équation est liée à la fonction exponentielle.
Parabole (en rouge) et chaînette (en bleu) de même longueur suspendue entre les mêmes points.
Minimiser la tension
En tendant fortement les câbles soutenant le pont, il serait possible que cette courbe se confonde avec une droite. L’observation montre que ce n’est jamais le cas. Pourquoi ? Tout simplement pour réduire la tension exercée aux extrémités qui, à terme, pourrait faire céder le pont. Pour la minimiser, la forme idéale est celle utilisée pour suspendre les lignes haute tension.
Minimisation de la tension. Le rapport entre la flèche et la distance doit être égal à 1 / 3.
Pour cela, le calcul montre que la flèche doit être égale au tiers de la distance entre les points d’appui, s’ils sont à la même altitude. Bien entendu, dans la pratique, il suffit que la tension reste à un niveau raisonnable. La flèche est donc rarement aussi importante. Au départ, la descente serait d’ailleurs dangereuse ! En pratique, on dépasse rarement une flèche de l’ordre du dixième de la distance.
Stabiliser le pont
Un pont fabriqué ainsi est sujet à des mouvements de roulis et de tangages, ce qui rend sa traversée délicate dès que plusieurs utilisateurs l’empruntent. Le vent a également une influence non négligeable sur sa stabilité. Pour éviter ces inconvénients, le plus simple est de le stabiliser par des câbles exerçant une tension latérale.
La courbe tendant ces câbles épouse la forme d’une parabole afin que la tension exercée soit constante le long du pont. Dans les ponts himalayens, on retrouve donc simultanément deux courbes : la chaînette et la parabole.
