Le décryptement d’un seul message peut décider du sort d’une bataille ou d’une négociation. Ce fut le cas en 1626 quand les troupes du prince de Condé assiégeant Réalmont interceptèrent un messager sortant de la ville, porteur d’un message incompréhensible. Condé fit venir un jeune professeur de mathématiques de la région, Antoine Rossignol des Roches, qui en trouva le sens. Le message annonçait que la ville était à cours de munition. Condé fit porter le message décrypté à la ville, qui se rendit. La bataille fut gagnée grâce à la seule arme du Chiffre !
Chiffrement par alphabet chiffré
Ce message avait vraisemblablement été chiffré au moyen d’un alphabet chiffré, où chaque lettre est remplacée par un symbole, très en vogue à l’époque.
Un alphabet chiffré de 1626 (Archives de Strasbourg). Chaque lettre doit être remplacée par le symbole inscrit au dessus.
Le décryptement repose à la fois sur les mathématiques et sur la linguistique. Les mathématiques par la méthode des fréquences qui permet au moins de trouver le symbole représentant la lettre “e”. La linguistique par la méthode du mot probable qui permet de deviner des lots du message selon le contexte. Par exemple, dans un message sortant d’une ville assiégée, on peut s’attendre à des mots comme “vivres” ou “munitions”.
Chiffrement par dictionnaire chiffré
La faiblesse des alphabets chiffrés, même améliorés en chiffrant de plusieurs façons différentes les lettres fréquentes et en ajoutant des nulles, c’est-à-dire des symboles ne signifiant rien, amena Rossignol à créer des dictionnaires chiffrés c’est-à-dire des dictionnaires bilingues dont l’une des langues est le français et la seconde, des nombres. Ainsi, on chiffre non seulement des lettres (et ce de plusieurs manières), comme auparavant, mais aussi des syllabes et des mots. La méthode des fréquences n’a alors plus aucun sens et celle du mot probable devient difficile à utiliser. Leur inconvénient principal est leur sensibilité à l’espionnage ou aux hasards de la guerre.
Un dictionnaire chiffré où les lettres, mots, syllabes sont chiffrés par des nombres. Archives de Srasbourg
Les sangakus japonaises sont de petits chefs d’œuvres aussi bien au niveau du raisonnement mathématique que de l’esthétique. Jean Constant, par exemple, s’en est fait une spécialité (voir l’image mise en avant). La sangaku suivante a été découverte par Hidetoshi Fukagawa.
Les deux triangles (rouge et vert) inscrits dans le carré jaune sont équilatéraux, quel est le rapport entre les rayons des cercles bleus ?
Rayon d’un cercle inscrit
Les deux cercles sont inscrits dans deux triangles. Un théorème permet d’en calculer les rayons en fonction de leurs aires et de leurs périmètres. Plus précisément, le rayon du cercle inscrit dans un triangle est égal à deux fois la surface du triangle divisé par son périmètre, ce résultat est mis en évidence par un dessin : l’aire du triangle se décompose en trois triangles de même hauteur, le rayon du cercle inscrit. L’aire de chacun de ces triangles est donc égale au rayon du cercle inscrit multiplié par la longueur du côté opposé divisée par deux. En faisant la somme, le périmètre du triangle s’introduit naturellement .
Plan d’attaque du problème
Pour calculer les rayons des deux cercles, il s’agit donc de calculer un certain nombre de longueurs de segments de la figure. L’idée pour les calculer vient si nous en oublions une partie. En utilisant les angles de 60° et de 45° en évidence, nous trouvons que les triangles rouges ont les mêmes angles et sont donc semblables.
Grâce aux rapports de similitude et au théorème de Pythagore, les mesures de longueurs apparaissent progressivement, une d’entre elles (AC) ayant été choisie comme unité. Le dessin est utile pour suivre le raisonnement.Nous en déduisons progressivement les diverses longueurs importantes. Elles sont notées sur le dessin ci-dessous.
On en déduit les valeurs des deux rayons :
Un calcul algébrique
Un calcul algébrique permet de montrer que R = 2 r. Pour cette dernière étape, aucune visualisation n’est nécessaire et nous pouvons l’exécuter avec un logiciel de calcul formel. Ce dernier calcul nous entraîne vers les extensions algébriques, nous nous arrêterons à leur porte.
L’éventail de la geisha
Dans certaines sangakus, les auteurs ont clairement privilégié l’esthétique.
Par exemple, dans celui en forme d’éventail ouvert aux deux tiers ci-dessus, il s’agit de trouver le rapport entre les rayons des cercles verts et rouges. Ici encore, l’essentiel est d’introduire les bons points, qui ne sont pas directement visibles. On trouve :
Dans ses Méditations métaphysiques, René Descartes utilise l’exemple des chiliogones, c’est-à-dire des polygones à 1000 côtés, pour montrer qu’il existe des choses faciles à concevoir sans pour autant qu’il soit possible de les représenter. Essayons de le faire dans le cas du chiliogone régulier convexe !
Les polygones réguliers convexes
Si nous nous limitons aux polygones réguliers convexes, les premiers sont le triangle équilatéral, le carré, le pentagone régulier convexe et l’hexagone régulier convexe.
Les polygones convexes réguliers de 3, 4, 5 et 6 côtés.
Le chiliogone régulier convexe
À partir de là, il est facile d’imaginer le chiliogone régulier convexe : en pratique, il est indiscernable du cercle.
Le chiliogone régulier convexe est indiscernable du cercle
Si on supprime la condition de régularité et si les longueurs des côtés restent de même ordre de grandeur, on obtient une courbe fermée convexe. Si la condition de convexité est supprimée et les longueurs des côtés restent de même ordre de grandeur, on obtient une courbe fermée … qui peut ressembler à un infâme gribouillis.
Un polygone à 20 côtés peut déjà être très embrouillé, à 1000 côtés il peut devenir un infâme gribouillis
Sur les chemins de l’Himalaya, jusqu’à 5000 mètres d’altitude, on rencontre sans cesse des porteurs et porteuses, parfois des enfants, surmontés de charges impressionnantes. Comment évaluer leurs poids ?
Compter les canettes
L’évaluation est relativement simple pour les porteurs de caisses de bière : on compte le nombre de canettes. le poids de chacune est facile à évaluer, un peu plus d’un tiers de kilo. Vingt paquets de dix donnent un fardeau de 70 kilogrammes … à porter sur des milliers de mètres de dénivelée !
Elle y transporte des feuilles, que l’on utilise pour transformer le produit des toilettes en compost. La charge correspond malgré tout aux bottes de foin ordinaires qui, pressées, pèsent environ 20 kilogrammes. Malgré le côté impressionnant de sa charge, il est peu probable que cette jeune fille transporte plus de 10 à 15 kilogrammes sur son dos. Cela reste important pour une enfant dont la croissance n’est manifestement terminée, mais reste comparable aux poids des cartables de certains de nos collégiens.
Autrement plus impressionnante est la buse en fonte que transporte cet homme en route vers Namché Bazar. Elle est destinée à créer une conduite forcée, pour servir à une micro usine hydro électrique. Le progrès vient ici à dos d’homme. Quel est le poids de cette buse ? Il est relativement facile d’évaluer le volume de fonte. La longueur est de 2,5 mètre environ, le diamètre 30 centimètres et l’épaisseur 1 centimètre. En mètres cubes, le volume est donc égal à :
2,5 x (0,152 – 0,142) x 3,14
soit 0,018 m3. La fonte ayant une densité de 7,4 tonnes au m3, nous en déduisons un poids de 130 kilogrammes environ. Même si nous admettons une erreur de 20 % dans notre évaluation, nous aboutissons à un poids supérieur à 100 kilogrammes, ce qui est impressionnant.
Les paraboles sont utilisées dans l’Himalaya pour faire bouillir de l’eau. Pour cela, il suffit de diriger son axe vers le soleil. Ses rayons sont alors réfléchis vers le foyer où on a placé une casserole.
La parabole et son foyer
Si le soleil est dans l’axe de la parabole, ses rayons réfléchis passent tous par le foyer.
Selon la légende, Archimède aurait utilisé ce procédé pour incendier les voiles des navires romains lors du siège de Syracuse en 212 avant Jésus-Christ. Nous pouvons douter de la réalité de cette anecdote, car le moindre mouvement des bateaux suffit pour placer leurs voiles loin du foyer. Les servants du miroir parabolique auraient bien du mal à les suivre. Il est plus facile de chauffer une bouilloire immobile que la voile d’un navire en mouvement !
Les ponts himalayens sont des ouvrages souples suspendus par leurs deux extrémités. L’ancrage étant essentiel, leur altitude dépend de la qualité de la roche. Les deux extrémités doivent être approximativement à la même hauteur et indéracinables.
La courbe du pont
Globalement, le pont se comporte comme une chaîne suspendue par ses deux extrémités. Autrement dit, il prend la forme d’une courbe appelée chaînette pour cette raison. Les lignes électriques hautes tensions ainsi que les câbles de téléphériques en donnent d’autres exemples. Galilée pensait qu’il s’agissait d’une parabole, sans doute parce qu’elle est presque indiscernable de l’arc de parabole de même longueur suspendu entre les mêmes points. En fait, son équation est liée à la fonction exponentielle.
Parabole (en rouge) et chaînette (en bleu) de même longueur suspendue entre les mêmes points.
Minimiser la tension
En tendant fortement les câbles soutenant le pont, il serait possible que cette courbe se confonde avec une droite. L’observation montre que ce n’est jamais le cas. Pourquoi ? Tout simplement pour réduire la tension exercée aux extrémités qui, à terme, pourrait faire céder le pont. Pour la minimiser, la forme idéale est celle utilisée pour suspendre les lignes haute tension.
Minimisation de la tension. Le rapport entre la flèche et la distance doit être égal à 1 / 3.
Pour cela, le calcul montre que la flèche doit être égale au tiers de la distance entre les points d’appui, s’ils sont à la même altitude. Bien entendu, dans la pratique, il suffit que la tension reste à un niveau raisonnable. La flèche est donc rarement aussi importante. Au départ, la descente serait d’ailleurs dangereuse ! En pratique, on dépasse rarement une flèche de l’ordre du dixième de la distance.
Stabiliser le pont
Un pont fabriqué ainsi est sujet à des mouvements de roulis et de tangages, ce qui rend sa traversée délicate dès que plusieurs utilisateurs l’empruntent. Le vent a également une influence non négligeable sur sa stabilité. Pour éviter ces inconvénients, le plus simple est de le stabiliser par des câbles exerçant une tension latérale.
La courbe tendant ces câbles épouse la forme d’une parabole afin que la tension exercée soit constante le long du pont. Dans les ponts himalayens, on retrouve donc simultanément deux courbes : la chaînette et la parabole.
Un célèbre philosophe contemporain aurait affirmé : “les mathématiques ne servent à rien dans la vie quotidienne”. Pourtant, je me souviens parfaitement de ma mère me demandant : “quatre tiers de 200 grammes, ça fait combien Hervé ?”.
Des maths à la cuisine
Pourquoi cette question ? Pas pour tester ma capacités en calcul mental. Tout simplement parce que nous étions 8 à table et que ma mère utilisait une recette de cuisine donnée pour 6. Les ingrédients devaient donc être multipliés par 8/6, soit 4/3. Vue la précision des balances, une réponse précise était 270 grammes, répondre 266,666… aurait été ridicule.
Des notions subtiles
Autrement dit, nous avons affaire ici, dans la vie quotidienne, à deux notions mathématiques subtiles : la multiplication par une fraction et la notion d’approximation. Pour répondre à la question avec toute la rigueur mathématique qu’elle exige, nous dirons donc : “certains philosophes ne font pas la cuisine”.
Selon les écrits de Gustave Eiffel, la forme de sa tour ne doit rien au hasard, même si le résultat pourrait plaider pour un simple souci d’esthétique. Selon lui, tout a été étudié mathématiquement pour résister au vent. Plus précisément, il affirme que le moment des forces appliquées par le vent en chaque point est égal et opposé au moment du poids de la structure en ce point. Les calculs mathématiques d’Eiffel n’ayant pas été publiés, on a longtemps soupçonné les ingénieurs d’Eiffel d’avoir opéré empiriquement pour obtenir la forme de type exponentiel qu’on connaît.
La tour Eiffel vue du champ de Mars @Hervé Lehning
Reconstitution des calculs
Les calculs ont été repris en 2005 par deux mathématiciens américains, Patrick Weidman et Iosif Pinelis. En suivant les indications d’Eiffel, ils ont débouché sur une équation intégro-différentielle relativement simple … pour les spécialistes … dont la solution est bien une exponentielle.
Axes choisis par Weidman et Pinelis, f (x0) = 5 m, l’équation à résoudre est écrite en dessous.
Mais, en réalité, la tour Eiffel est composée de deux exponentielles pour tenir compte de la différence de forces du vent à la base et au sommet.
Les abeilles seraient-elles mathématiciennes ? Sans doute non mais elles sont étonnantes. Le gâteau de cire qu’elles construisent pour y déposer leur miel est formé par deux couches d’alvéoles opposées par leur fond. Dès l’antiquité, on avait remarqué que les alvéoles ressemblaient à des prismes droits à base hexagonale régulière. Ce n’est qu’au XVIIIe siècle que l’on remarqua que le fond était l’assemblage de trois losanges identiques appartenant chacun à deux alvéoles opposées.
Les alvéoles des abeilles sont des prismes de base hexagonale terminés par trois losanges inclinés, un peu comme un crayon taillé.
Une mesure, une hypothèse …
En 1712, Giacomo FilippoMaraldi (1665 – 1729), un astronome de l’observatoire de Paris, mesura l’angle des losanges et trouva : 109 degrés et 28 minutes. En 1739, René-Antoine Réaumur ( 1683 – 1757) soupçonna les abeilles de construire le fond de façon à utiliser le minimum de cire possible.
Et un calcul
Samuel König
Sans lui donner l’origine de son problème, il demanda de le résoudre à Samuel König (1712 – 1757), le mathématicien allemand connu pour avoir enseigné les mathématiques à la marquise Émilie du Châtelet (1706 – 1749), traductrice de Newton en français. König traita le problème par le calcul différentiel et, en utilisant une table de logarithmes, il en déduisit la valeur de 109 degrés et 26 minutes. L’erreur des abeilles était négligeable. On s’émerveilla de cette précision.
Un naufrage
À l’époque, les marins utilisaient la même table que König pour leurs calculs. Malheureusement, il fallut un naufrage quelques années plus tard pour que l’on y découvre quelques erreurs. En 1743, Colin Mac Laurin (1698 – 1746) corrigea la valeur trouvée par König : il s’agissait bien de 109 degrés et 28 minutes. La table de logarithmes avait tort et les abeilles, raison !
À Mouans-Sartoux, un étrange bâtiment cubique vert pomme, fondu dans le vert des arbres attire le regard du voyageur. Il est dédié à l’art concret …
L’espace de l’art concret à Mouans-Sartoux
Art concert et abstraction.
Rien n’est plus concret, plus réel qu’une ligne, qu’une couleur, qu’une surface. Cette phrase très platonicienne de Theo van Doesburg (alias de Christian Emil Marie Küpper, 1883 – 1931), fondateur du groupe « art concret » détrompera ceux qui interpréteraient le terme « concret » en contraire d’« abstrait ».
Pourquoi un espace de l’art concret à Mouans-Sartoux, petite commune entre Grasse et Cannes où la nature semble davantage appeler l’art figuratif ? La réponse tient en la rencontre d’un maire ouvert à l’art contemporain, et professeur de mathématiques, André Aschiéri, et d’un collectionneur et artiste, Gottfried Honegger. Ce dernier, avec sa compagne Sybil Albers, a fait donation de leur collection personnelle, en 2000 à l’État français, à laquelle se sont ajoutés des compléments importants telles que les Donations Aurèlie Nemours et Catherine & Gilbert Brownstone. Actuellement le fonds compte presque 600 œuvres. Elles sont exposées à l’Espace de l’Art Concret dans un cadre adapté.
La place des mathématiques et de l’optique
Dès la première salle, les mathématiques sont omniprésentes. Le tableau de Max Bill intitulé deux zones, claire et sombre évoquera avant tout l’irrationalité de racine de deux à l’amateur de mathématiques. En effet, il met en scène sa démonstration par Socrate dans Le Ménon de Platon.
Zwei Zonen – Dunkel und Hell (1970), Max Bill (1908 – 1994).
On trouve également des rythmes classiques, comme des toiles fondées sur des rapports entre les surfaces de diverses couleurs ou des alignements.
Far off, study for homage to the square (1958), Josef Albers (1888 – 1976).
Mais le but principal de Josef Albers dans son hommage au carré est de piéger l’œil du spectateur entre les couleurs des différents carrés si bien que le carré central, le plus pâle, semble flotter au centre de la composition. Un grand nombre de toiles sont ainsi fondées sur une sorte d’illusion d’optique qui piège l’œil entre plusieurs interprétations.
Des lignes au hasard
François Morellet utilise une technique étonnante pour créer certaines de ses œuvres : le hasard. Quand on observe ses toiles, on se demande cependant s’il n’a pas fait intervenir le hasard plusieurs fois pour choisir ensuite le plus esthétique, ce qui est presque la négation du hasard. Quelle est la probabilité pour que, parmi dix droites, quatre soient approximativement concourantes et forment un faisceau évoquant un projecteur ?
Dix lignes au hasard (1985), François Morellet (1926 – 2016).
Bien sûr, notre argument n’a pas grande valeur puisque tout événement s’étant produit était de probabilité nulle avant de se produire. On peut s’interroger mais, peu importe, seul le résultat compte et il dégage une harmonie certaine, encore liée à l’incertitude du regard entre diverses interprétations.
François Morellet a d’ailleurs inventé la théorie de la « participation du spectateur ». Le regard comme la lumière sont au centre de l’art en général et de l’art concret en particulier. Cette importance devient évidente dans ses sculptures comme cette sphère découpée suivant deux séries de plans parallèles, perpendiculaires entre eux. Chaque déplacement du spectateur, chaque variation de la lumière font apparaître un treillage différent. La photographie ci-dessous est sans doute celle qui inspirera le plus le mathématicien.
Sphère trames (1970), acier inoxydable, François Morellet.
Ellipse d’acier
David et Royden Rabinowitch, des frères jumeaux, travaillent ensemble mais signent parfois leurs œuvres indépendamment. Cela explique que vous puissiez trouver des sculptures très comparables signées de l’un ou de l’autre. L’espace de l’art concret possède l’une des sculptures signées par David. Elle inspirera le mathématicien, même s’il risque de la trouver énigmatique.
Conical plane in four masses and two scales (1979), David Rabinowitch (né en 1943).
Les droites tracées sur l’ellipse ci-dessus évoquent l’hexagramme mystique de Pascal. Cependant, cette interprétation est fausse : la conique ne contient que trois droites et non six. D’autre part, les points percés sur la surface sont alors bien mystérieux, comme distribués au hasard. Si les quatre masses se trouvent, où sont les deux échelles ? Le titre apparemment très précis invite le spectateur à compter, et le perd entre plusieurs interprétations.
Comment comprendre le monde moderne sans culture mathématique ? Accéder à celle-ci n’exige cependant pas d’apprendre à résoudre la moindre équation.
Les deux triangles (rouge et vert) inscrits dans le carré jaune sont équilatéraux, quel est le rapport entre les rayons des cercles bleus ?
Un calcul algébrique
