Pour chercher leur nourriture et la rapporter dans leur fourmilière, les fourmis suivent le chemin le plus court. Quand on les voit se déplacer l’une derrière l’autre en longues files indiennes, elles semblent obéir aux ordres donnés par leur reine cachée au fond du nid.
L’intelligence des fourmis
En fait, elles procèdent par essais et erreurs au niveau collectif de la fourmilière. La méthode pour cela est très simple. Une fourmi découvrant de la nourriture retourne à la fourmilière en déposant sur le sol une substance volatile appelée phéromone. Cette fourmi est rarement seule à faire cette découverte. Celle qui a trouvé le chemin le plus court rentrera plus vite et sera donc plus vite imitée. Le nombre de traces dans sa direction sera bientôt prépondérant et des colonnes de fourmis emprunteront sa trace tandis que les autres seront délaissées. C’est de cette façon que les fourmis déterminent le plus court chemin entre leur fourmilière et la nourriture. Elles se trompent rarement.
Fourmis virtuelles en quête d’un plus court chemin.
Quand l’intelligence artificielle s’inspire de celle de la fourmillière
Des informaticiens ont tenté, et réussi, de simuler le comportement des fourmis. Ils essayent aujourd’hui de résoudre des problèmes de plus courte distance au moyen de fourmis virtuelles. Ainsi, après avoir essayé d’imiter le comportement humain, l’intelligence artificielle suit aujourd’hui la voie des fourmis. On parle d’intelligence distribuée ou d’intelligence en essaim.
Penchons-nous sur la forme des tipis des indiens d’Amérique. Il s’agit d’un cône dont la hauteur vaut environ 75 % du diamètre de la base. Des calculs montrent que cette forme minimise la toile à utiliser pour un volume donné, comme les abeilles économisent la cire pour créer leurs alvéoles. Est-ce un hasard ? Difficile de répondre à la question car d’autres paramètres comme la solidité de l’ensemble entrent en jeu. Peu importe, ces problèmes d’optimisation se retrouvent souvent dans la nature comme dans la vie pratique.
Un tipi.
Analyse mathématique
Analysons celui-ci mathématiquement. Un tipi est une tente conique caractérisée par le rayon de sa base, R, et par sa hauteur, que nous notons proportionnellement à R, k R, car le problème tient essentiellement à ce rapport k. La capacité du tipi est égale à son volume et la surface de toile, à son aire latérale.
Le tipi est un cône caractérisé par le rayon de sa base R et par sa hauteur k R.
Le volume est égal à Pi / 3 multiplié par le carré du rayon R et par la hauteur k R. Imposer un volume de 10 mètres cube (par exemple) lie le rapport k au rayon R. L’aire latérale dépend alors uniquement de ce rapport. Cette dépendance se traduit par une courbe en forme de J à l’envers. Nous y constatons un minimum de l’aire pour une valeur de k de l’ordre de 1,4, autrement dit pour une hauteur 40 % supérieure au rayon de la base. De façon plus précise, le calcul différentiel montre que ce minimum est atteint pour k égal à la racine carrée de 2, ce qui fait 1,414 à 0,001 près.
Variation de l’aire latérale en fonction du rapport entre la hauteur et le rayon. Le calcul montre que le minimum est atteint quand k est égal à la racine de 2, soit 1,414 à 0,001 près.
À volume égal, l’aire latérale du tipi est donc minimale pour un rapport proche de 1,4. La courbe montre de plus que la variation de l’aire latérale est faible autour de ce rapport, ce qui explique que, dans la pratique, il oscille autour de 1,4.
Certains écoliers peinent avec la règle des signes et en particulier avec le terrifiant « moins par moins égal plus ». Dans La vie de Henry Brulard, son roman autobiographique, Stendhal s’en amuse ainsi :
Supposons que les quantités négatives sont des dettes d’un homme, comment en multipliant 10 000 francs de dette par 500 francs, cet homme aurait-il ou parviendra-t-il à avoir une fortune de 5 000 000, cinq millions ?
Brahmagupta invente le zéro
L’usage des termes mathématiques hors contexte peut donner des résultats surprenants. La raison de la règle des signes est d’une autre nature (voir les dangers de philosopher sur les nombres). L’important est que les règles de calcul habituelles sur les nombres soient respectées. C’est ce que fait l’inventeur du nombre zéro et des nombres négatifs, le mathématicien indien Brahmagupta, (VIIe siècle de notre ère) quand il donne les règles régissant zéro, ainsi que nombres positifs ou négatifs, en termes de dettes et de fortunes :
Une dette moins zéro est une dette. Une fortune moins zéro est une fortune. Zéro moins zéro est zéro. Une dette soustraite de zéro est une fortune. Une fortune soustraite de zéro est une dette. Le produit de zéro par une dette ou une fortune est zéro. Le produit de zéro par zéro est zéro. Le produit ou le quotient de deux fortunes est une fortune. Le produit ou le quotient de deux dettes est une fortune. Le produit ou le quotient d’une dette et d’une fortune est une dette. Le produit ou le quotient d’une fortune et d’une dette est une dette.
Le zéro, avion de chasse japonais de la Seconde Guerre mondiale, n’était pas nul.
Le zéro absolu
Pour revenir à notre écolier moderne, pardonnons-lui car la question n’est pas si simple. Ainsi, dans ses Pensées, Blaise Pascal (XVIIe siècle), pourtant grand mathématicien, écrit cette phrase surprenante :
Trop de vérité nous étonne ; j’en sais qui ne peuvent comprendre que, qui de zéro ôte 4, reste zéro.
Sans le vouloir, Pascal pointe ici l’une des difficultés à considérer zéro comme un nombre véritable : l’idée du zéro absolu, celui en dessous duquel on ne peut descendre. Il n’aurait sans doute pas admis nos températures négatives, et aurait donc préféré les degrés Fahrenheit aux Celsius. Pour cette raison, sans aucun doute, Daniel Gabriel Fahrenheit (XVIIIe siècle) fixa l’origine des températures (0° Fahrenheit) à la plus basse qu’il ait observée. C’était durant l’hiver 1709 dans la ville de Dantzig, où il habitait. Pour 100° Fahrenheit, il choisit la température corporelle d’un cheval sain ! Dans son système, l’eau gèle à 32° et elle bout à 212° environ.
La règle des signes n’est donc pas si simple … mais source de poésie !
Pourquoi les Grecs n’ont-ils découvert ni les réels, ni le zéro et n’admettaient même pas le « un » dans la confrérie des nombres ? La raison tient à la philosophie, voire la mystique, dont ils encombraient ces notions. Le même schéma se retrouve à l’œuvre dans les temps modernes.
Idée pythagoricienne des nombres
Les nombres sont nés englués de mystique. Pour Pythagore, le « un » représente le divin. Plus précisément, voici comment il parle du nombre triangulaire : 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
Le triangle sacré selon Pythagore.
Pour lui, le « un » est le divin, le principe de toute chose … Le « deux » est le couple masculin, féminin, la dualité … Le « trois », les trois niveaux du monde, l’enfer, la terre et le ciel … Le « quatre », les quatre éléments, l’eau, l’air, la terre et le feu … Enfin, le tout fait « dix », la totalité de l’univers, le divin compris ! On peut trouver ces idées poétiques mais, avec de telles prémisses, on peut aussi craindre le pire ! C’est pour de telles raisons mystiques que Pythagore proclama : « tout est nombre » ce qui, dans son esprit, signifie « nombre entier naturel ». L’idée venait de la « raison ». Elle était rationnelle.
Les grandeurs commensurables
Pourtant, pour être égaux aux rapports entre nombres entiers, il est nécessaire que les longueurs (ou les quantités de façon générale) aient une commune mesure, soient commensurables en d’autres termes. Cela signifie que si AB et BC sont deux segments contigus, on peut placer un point U tel que AB et AC soient multiples de AU (AU est la commune mesure).
AB et AC sont commensurables s’il existe un point U tel que AB et AC soient multiples de AU.
L’échec des fractions
Malheureusement pour sa doctrine, Pythagore prouva lui-même qu’il existe des grandeurs incommensurables, le côté et la diagonale d’un carré par exemple. Son raisonnement est fondé sur la figure suivante.
En découpant un carré (de côté AB), on peut en former deux (de côté CD). En les mesurant à la même aune, nous obtenons deux entiers et l’égalité : AB . AB = 2 CD . CD. Dans la factorisation de ce nombre, 2 intervient un nombre pair de fois à gauche et un nombre impair à droite, ce qui est absurde.
En factorisant l’égalité : AB . AB = 2 CD . CD, Pythagore obtint une absurdité. Son idée s’écroule : il existe des longueurs incommensurables. Son dogme « tout est nombre » ne retrouvera vie que dans les temps modernes, quand d’autres « objets » seront admis dans le champ des nombres, en particulier, le rapport de la diagonale au côté du carré, racine de 2 que nous disons toujours irrationnelle.
Le “un” est-il un nombre ?
Que les idées mystiques aboutissent à des erreurs semble normal. Plus étrangement, le « bon sens » peut faire de même. Les anciens Grecs ne considéraient pas l’unité comme un nombre, car elle ne représente pas une multiplicité. On ne dénombre qu’à partir de deux ! Selon Euclide, un nombre est un assemblage composé d’unités. Autrement dit, l’unité est la source et l’origine de tout nombre. Avant de compter, il est nécessaire de distinguer l’unité qui, de ce fait, a un statut à part. Qu’est-ce qu’un sommet en montagne ? Cette question peut sembler simpliste, elle demande pourtant de savoir distinguer une antécime d’un sommet. Il en est de même si on veut compter des plantes. Dans chaque cas, il est nécessaire de distinguer l’unité.
Une fois cette étape accomplie, nous pouvons dénombrer, ce qui correspond à une suite d’opérations : 2 = 1 + 1, 3 = 1 + 1 + 1, etc. L’idée qu’une seule unité serait un nombre est rejetée car « 1 » est singulier et les nombres, pluriels. L’assemblage commence à deux. La question peut sembler factice, mais elle est plus embarrassante qu’il n’y paraît. Quand faut-il utiliser un pluriel ? Du fait de ce type de questions, il fallut plusieurs millénaires pour voir dans le « un » rien d’autre qu’un nombre ordinaire. Le problème s’est alors reporté sur le zéro.
“Zéro” est-il un nombre ?
Pendant longtemps, zéro a été exclu de l’univers des nombres car il ne représente ni un dénombrement, ni une mesure. Nous devons son apparition en tant que nombre au mathématicien indien Brahmagupta (VIIe siècle après Jésus-Christ). Pour lui, il ne s’agit pas seulement de la notation d’une absence d’unité, de dizaine ou de centaine, etc. comme dans la numération de position mais aussi d’un vrai nombre, sur lequel on peut calculer. Il le définit d’ailleurs comme le résultat de la soustraction d’un nombre par lui-même. Il donne les bons résultats l’impliquant dans les opérations licites (addition, soustraction et multiplication) mais se trompe en estimant que 0 divisé par 0 est égal à lui-même. On peut le comprendre, la question n’est pas simple.
Règle d’extension à zéro
La règle d’extension des résultats à zéro n’est pas d’origine philosophique, mais calculatoire. Par exemple, que vaut un nombre à la puissance zéro ? Pour répondre à cette question, se demander ce que signifie de porter un nombre à la puissance zéro est inutile, voire nuisible. A priori, 2 à la puissance 4 (par exemple) est égal à 2 multiplié 4 fois par lui-même, soit 24 = 2 . 2 . 2 . 2. De même, en remplaçant 4 par n’importe quel nombre entier supérieur à 1, donc 21 = 2. Mais que peut bien vouloir dire un nombre multiplié 0 fois par lui-même ? Se poser la question ainsi, c’est se condamner à ne pas pouvoir y répondre. En fait, il faut trouver un principe d’extension. La propriété essentielle est la formule 24+1 = 24 . 2, valable en remplaçant 4 par n’importe quel nombre. En le remplaçant par 0, nous obtenons 20+1 = 20 . 21, ce qui donne 2 = 20 . 2. En simplifiant par 2, nous obtenons 20 = 1. Ce résultat est encore vrai si nous remplaçons 2 par tout nombre non nul. Ainsi, un nombre non nul porté à la puissance 0 est égal à 1.
Cette égalité correspond à une idée subtile : celle de la généralité des calculs. On définit la puissance 0 pour que les règles de calcul connues sur les puissances restent vraies dans ce cas particulier. Il reste l’ambiguïté de 0 à la puissance 0. Suivant les cas, on peut retenir la valeur 1 par souci de généralité ou considérer cette quantité comme non définie.
Pour la même raison, il est possible d’étendre la définition de la factorielle. A priori, 4 ! (lire factorielle 4) est le produit des entiers naturels de 1 à 4, de même 5 ! La factorielle de 0 n’a donc aucun sens. Cependant, comme précédemment, 5 ! = 5 . 4 ! et ceci en remplaçant 4 par n’importe quel nombre. Si nous voulons définir 0 !, il est donc nécessaire que 1 ! = 1 . 0 ! ce qui fournit 0 ! = 1. Pour les mêmes raisons, le produit et la somme d’une liste de zéro nombre entier sont égaux à 1 et 0.
Les nombres négatifs
Les mêmes phénomènes de méfiance se sont produits pour les nombres négatifs même si, de nos jours, ils ont pris un sens concret avec les températures, qui peuvent être négatives, et les étages en sous-sol des immeubles. À l’époque de Brahmagupta, cette notion était très abstraite. Les nombres négatifs n’ont d’ailleurs été admis en Occident que bien plus tard. Descartes les évitait encore ! Dans ses Pensées, Pascal, pourtant grand mathématicien, écrit d’ailleurs cette phrase surprenante : « Trop de vérité nous étonne ; j’en sais qui ne peuvent comprendre que, qui de zéro ôte 4, reste zéro ». Sans le vouloir, Pascal pointe ici l’une des difficultés à considérer zéro comme nombre véritable : l’idée du zéro absolu, celui en dessous duquel on ne peut descendre. Il n’aurait sans doute pas admis nos températures négatives, et aurait donc préféré les degrés Fahrenheit aux Celsius. Fahrenheit fixa l’origine des températures (0° Fahrenheit) à la plus basse qu’il ait observée. C’était durant l’hiver 1709 dans la ville de Dantzig, où il habitait. Pour 100° Fahrenheit, il choisit la température corporelle d’un cheval sain ! Dans son système, l’eau gèle à 32° (Celsius) et elle bout à 212° environ.
Ces choix étranges de Fahrenheit s’expliquent par la réticence de l’époque devant les nombres négatifs. On préférait d’ailleurs parler de quantités plutôt que de nombres. Il s’agissait d’artifices de calcul pour résoudre des équations, dont on écartait ensuite les solutions négatives. Tout en étant une origine, zéro véhicule une idée d’absolu, en dessous duquel on ne peut aller, comme on le voit chez Pascal. Cette idée a perduré jusqu’au XIXe siècle, Lazare Carnot disait encore : « Pour obtenir réellement une quantité négative isolée, il faudrait retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible. Comment donc concevoir une quantité négative isolée ? »
L’erreur de sens
La question ne doit pas être examinée d’un point de vue philosophique en se demandant, par exemple, ce que signifie de multiplier les dettes entre elles, ou de plaisanter sur les possibilités de faire un bénéfice en les multipliant comme le fait Stendhal dans La vie de Henry Brulard, son roman autobiographique : « Supposons que les quantités négatives sont des dettes d’un homme, comment en multipliant 10 000 francs de dette par 500 francs, cet homme aurait-il ou parviendra-t-il à avoir une fortune de 5 000 000, cinq millions ? »
L’usage des termes mathématiques hors contexte peut donner des résultats amusants, mais la question n’est pas là. L’important est que les règles de calcul habituelles sur les nombres soient respectées. Ces idées ont débouché sur la notion de corps de nombres au XIXe siècle.
La réalité des réels
L’expérience du calcul suggère que l’écriture décimale permet d’atteindre les mesures avec toute précision désirée, quelle qu’elle soit. Celle-ci n’a pas de limite et on peut, par exemple, parler du milliardième chiffre après la virgule du nombre pi. Jusqu’à la fin du XXe siècle, ce genre d’affirmation avait un côté gratuit car personne ne pouvait le connaître. Aujourd’hui, nous savons qu’il s’agit du chiffre 2. Bien sûr, il existera toujours une limite indépassable, tout simplement parce que notre temps est fini, et notre énergie comptée. Aussi infime que soit le coût de l’impression d’un chiffre sur du papier, un écran d’ordinateur ou un emplacement mémoire d’un DVD, on se ruinerait à vouloir en écrire trop. Cependant, il est facile d’imaginer que tout nombre possède un nième chiffre après la virgule, et cela pour tout entier n, aussi grand soit-il.
De façon générale, nous appelons développement décimal une suite de chiffres telle que 65, 692 873 451 etc. à l’infini avec la condition suivante : les chiffres ne sont pas tous égaux à 9 à partir d’un certain rang. Le résultat est ce que l’on appelle un nombre réel. Ces nombres permettent de représenter la notion intuitive de mesure (longueur, aire, volume, temps, etc.). Pourquoi ? Pour l’expliquer, imaginez vouloir mesurer un segment OA. Comment faites-vous ? Sans doute prenez-vous une règle graduée.
Pour mesurer une longueur, on la porte le long d’une règle graduée. Ici, OA vaut entre 2,6 et 2,7.
Vous faites correspondre le point O et la graduation 0 de la règle puis placez celle-ci le long du segment OA. Le point A se situe alors entre deux graduations, disons entre 2 et 3. La longueur vaut donc 2, augmenté de quelque chose. Comment l’évaluer plus précisément ? Tout simplement en utilisant les graduations directement inférieures (les dixièmes). La longueur se situe entre deux de ces graduations, disons entre 6 et 7. On peut imaginer continuer ainsi à l’infini même si, en réalité, nous ne pouvons dépasser une certaine précision. La longueur OA est donc représentée par un développement décimal, éventuellement illimité. De plus, une suite infinie de 9, comme 2, 999 … par exemple, est impossible car correspond au nombre directement supérieur (ici 3). La notion de nombre réel est donc un bon modèle mathématique pour étudier celle de longueur et, de façon plus générale, de toute mesure de même nature.
Les nombres aujourd’hui
Le mot « réel » ne doit pas leurrer. Ces nombres n’existent pas plus dans la réalité que les autres. Ce sont des abstractions utiles pour modéliser le monde réel. Leur efficacité se mesure à l’aune des résultats qu’ils permettent d’obtenir. Autrement dit, le contrôle philosophique sur les nombres ne se fait pas a priori pour satisfaire à quelques conceptions plus ou moins dogmatiques. Ce contrôle se fait aposteriori sur les résultats qu’ils permettent d’obtenir. Cette idée peut troubler certains car elles impliquent que la vérité se mesure à son efficacité. Il en est de même des axiomes des mathématiciens. Il n’existe pas d’axiomes « vrais », il existe des axiomes utiles.
La théorie des probabilités permet de démontrer que les jeux de casino comme la roulette sont conçus pour ruiner les joueurs, même si ce jeu a des failles … que nous ne dévoilerons pas ici. La loi des grands nombres assure un bénéfice confortable aux organismes de jeu. Le hasard intervient pour les joueurs, pas pour eux ! Les compagnies d’assurance agissent de même. Si elles assurent cent mille voitures, elles savent d’avance combien auront d’accidents et quel en sera le coût. La prime d’assurance est calculée en fonction de ce risque qui n’en est plus un dès que l’on applique la loi des grands nombres ! Si 5% des automobilistes ont un accident chaque année, vous ne pouvez prévoir si vous en aurez un. En revanche, votre compagnie d’assurance sait que, sur ses cent mille assurés, cinq mille environ auront un accident.
La loi des petits nombres
Contrairement aux organismes de jeu et aux assureurs, les particuliers n’utilisent pas la loi des grands nombres. Si un événement malheureux mais peu probable se produit deux fois de suite à une année d’intervalle, ils se diront que « jamais deux sans trois » et prévoiront un troisième pour l’année suivante. À l’inverse, plusieurs années sans accident leur feront croire que plus rien ne peut leur arriver. Autrement dit, ils utilisent une loi des petits nombres et non la loi des grands nombres. Bien entendu, il ne s’agit pas de mathématique mais de psychologie ! Pour un mathématicien, cette loi des petits nombres peut passer pour un canular. C’est pourtant de manière tout à fait scientifique et en utilisant correctement la loi des grands nombres que Daniel Kahneman (né en 1934) l’a mise en évidence. Plus précisément, il a étudié expérimentalement le comportement des individus devant l’assurance ! Il apparaît que plusieurs années sans accident poussent l’américain moyen à résilier ses contrats d’assurance !
Les plantes ont un rapport étonnant avec les mathématiques, hasard ou nécessité ? Je vous laisse juger.
Suite de Fibonacci
Léonard de Pise, dit Fibonacci, a créé sa suite comme un simple exercice d’arithmétique :
Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ?
Le calcul est simple, la suite donne : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, etc. Chaque nombre est la somme des deux qui le précèdent.Cette règle a fasciné au-delà de l’exercice. De plus, on la retrouve souvent dans la nature. En voici quelques exemples.
Cette plante de la toundra groenlandaise présente deux formes géométriques simples : un cercle et une droite. Le cercle est naturel. Il correspond au développement de la plante dans toutes les directions à partir d’une graine, mais pourquoi a-t-elle dépéri d’un seul côté d’une droite ?
Certains chiffres entendus sur les médias sont surprenants, surtout quand ils sont donnés sans explication.
Dénombrer les migrants
Aujourd’hui, vous apprenez que, selon le ministère de l’intérieur, il y aurait entre 200000 et 400000 clandestins présents sur le territoire français. D’où viennent ces chiffres ? Le propre des clandestins … est de l’être, et donc d’échapper à tout recensement.
Comment dénombrer ceux qui se cachent ?
La démographie permet cependant d’évaluer leur nombre. Pour commencer, nous connaissons les taux de mortalité par âge et par origine. Nous pouvons estimer que les taux sont environ les mêmes pour les clandestins. Du nombre de décédés sans papiers, nous pouvons donc déduire une approximation du nombre de vivants sans papiers. La même opération est possible grâce aux naissances. Les recensements permettent aussi de se douter de la présence de clandestins, quand les nombres recensés ne correspondent pas aux nombres prévus.
Dénombrer les séropositifs
De même, vous apprenez que 150000 personnes sont porteuses du virus du sida (c’est-à-dire séropositives) en France, dont 40000 l’ignorent. Comment peut-on faire une telle estimation ? S’ils l’ignorent, comment le savons-nous ? Ici encore, l’idée est de faire des recoupements. Sans rentrer dans toute la subtilité des détails, voyons le principe du calcul. Imaginons que nous connaissions le nombre de cas de sida diagnostiqués une certaine année, 500 par exemple. Parmi ceux-ci, 370 correspondent à des personnes dont la séropositivité était connue. Ainsi 130 étaient des séropositifs inconnus les années précédentes. Il est donc légitime d’estimer que pour 370 séropositifs connus, il en existe 130 inconnus. Nous multiplions le nombre de séropositifs connus (110000 par exemple) par le rapport 130 / 370 pour en déduire le nombre de séropositifs inconnus, ce qui donne un peu moins de 40 000. Bien sûr, le modèle est un peu plus raffiné que cela car certains milieux sont plus conscients du danger de cette maladie que d’autres et pratiquent les tests plus volontiers. Les taux entre connus et inconnus diffèrent alors selon le milieu. Dans tous les cas, à défaut d’un vaccin, l’idéal pour enrayer l’épidémie et mieux soigner les malades serait un test annuel pour tous. Ce serait malgré tout coûteux et difficile à mettre en place.
Dès la Grande Guerre, les communications reposaient sur la radio et étaient donc quasi instantanées mais la cryptographie utilisée les ralentissait car elle reposait sur un travail manuel long et pénible. Elle correspondait à une guerre immobile, pas à une guerre de mouvement. Tous les chiffres de cette guerre était fondés sur un mélange de substitutions alphabétiques et de transpositions. De ce temps, le décryptement français était excellent si bien que les messages allemands furent décryptés quasiment tout au long de la guerre.
Le chiffre ADFGX
En 1918, le haut commandement allemand ayant compris que ses chiffres n’étaient guère secrets, décida d’en changer avant le jour de la grande offensive du printemps 1918, rendue possible par sa victoire sur la Russie, et nécessaire par l’arrivée des Américains. Pour une fois, la question fut prise au sérieux et une conférence sur le thème fut organisée à Berlin. Le prix fut remporté par un colonel au nom prédestiné, Fritz Nebel, même si le brouillard qu’il généra ne fut guère épais pour les décrypteurs français, dont l’excellent Georges Painvin. Pour éviter les confusions à la réception, le système de Nebel n’utilisait que cinq lettres, toutes très éloignées en code morse : A, D, F, G et X.
— A — · · D · · — · F — — · G — · · — X
Les messages ne comportant que ces cinq lettres explique le nom donné à ce chiffre par l’armée française. Ces cinq symboles firent penser à l’utilisation d’un carré de Polybe de côte 5, un carré où on dispose les 25 lettres de l’alphabet (en confondant le I et le J) et où les substitue ensuite par leurs coordonnées. Ce carré constitue la clef d’une substitution alphabétique, clef qui peut être retenue par une phrase.
Carré de Polybe utilisé par le système ADFGX. Ici, il a été construit à partir de la phrase « Geheimschrift der Funker »
Considérons par exemple le message « Attaquez demain à quatre heures ». Pour le chiffrer, nous chiffrons chaque lettre suivant le carré ci-dessus. Ainsi, A est codé FX (ligne et colonne de A dans le carré). Nous obtenons la suite :
FX DX DX FX GX FD AD XX FA AD AX FX AG FF FX GX FD FX DX DF AD AF AD FD DF AD DA
Surchiffrement par transposition
Ce message est alors surchiffré au moyen d’une transposition. Celle-ci est déterminée par un mot clef. Si celui-ci est « nébuleux », nous formons un tableau dont la première ligne est la clef (voir le tableau ci-dessous). La deuxième ligne donne l’ordre des lettres de la clef dans l’ordre alphabétique. Ensuite, nous copions les lettres du message précédent ligne par ligne. Nous complétons la dernière ligne par des nulles choisies arbitrairement parmi les lettres ADFGX.
Seconde étape du chiffrement après substitution mais avant permutation. Celle-ci est toutefois indiquée en seconde ligne.
Nous écrivons alors les colonnes dans l’ordre donné par la seconde ligne du tableau et groupons les lettres par cinq pour obtenir le message chiffré :
Le système ADFGX fut utilisé à partir du 5 mars 1918. Les messages allemands devinrent alors indécryptables pour les Français. Même s’il était évident que les Allemands allaient attaquer, l’état-major ne savait pas où, et l’offensive du 21 mars fut une surprise. Elle fut suivie par plusieurs offensives qui, progressivement, asséchaient les réserves françaises. Alors qu’au départ, elles étaient échelonnées à l’arrière dans tous les endroits probables d’attaques allemandes, il fallait maintenant choisir où les disposer. Heureusement, le 5 avril, Georges Painvin réussit à décrypter le système. La présence de cinq symboles faisait penser à un carré de Polybe, donc à une substitution suivie d’une transposition mais Georges Painvin avait besoin de la longueur de la seconde clef pour commencer le décryptement. Or, les Allemands étaient devenus méfiants, changeaient leurs clefs tous les jours et limitaient l’usage du nouveau système au niveau stratégique. Les tranchées communiquaient autrement. La chance arriva le 4 avril, quand Painvin reçut deux messages ayant de fortes similarités, qui lui permirent d’accéder à cette longueur (le lecteur intéressé trouvera les détails du décryptement dans mon livre l’univers des codes secrets de l’Antiquité à Internet).
Une “amélioration” catastrophique
Malgré cela, les Allemands réussirent plusieurs attaques par surprise. Paris n’était plus loin et les réserves françaises s’épuisaient. Le 1er juin, les Allemands changèrent à nouveau de code, ajoutant un V aux cinq autres lettres. Georges Painvin comprit immédiatement que le système n’avait pas réellement changé, que le carré de Polybe avait seulement maintenant un côté de six. En tout cela faisait 36 symboles. L’hypothèse naturelle était qu’ils chiffraient ainsi les 26 lettres de l’alphabet plus les dix chiffres. Cette apparente complication fit la perte des Allemands. En effet, ils commençaient leurs messages par leur adresse comme « 15e division d’infanterie » ou « 25e division d’infanterie ». En toutes lettres, cela donnait des messages commençant par « quinze » ou « vingt-cinq », qui différaient énormément. Avec le nouveau système, entre « 15 » et « 25 », seule la première lettre différait.
Deux messages ayant les particularités que nous venons d’étudier furent interceptés le 1er juin. Georges Painvin les décrypta dès le 2. Tous les messages du 1er furent alors décryptés et le lieu de la future offensive allemande se dévoila. Les réserves françaises furent placées exactement où il fallait et ce fut la victoire de Méry, qui changea le cours de la guerre en ce printemps 1918. Les Allemands ne purent plus prendre les Français par surprise, cela essentiellement grâce à un décrypteur de génie, Georges Painvin.
Seconde Guerre mondiale
La cryptographie de la Première Guerre mondiale était inadaptée à une guerre de mouvement, qui exige la rapidité des communications. C’est ainsi que, dès la fin de la Grande Guerre, des machines cryptographiques dont la célèbre Enigma virent le jour. La lutte contre cette machine fera l’objet d’autres articles sur ce blog.
En se promenant au Japon, l’amateur de courbes mathématiques remarquera une courbe très particulière sur des plaques en fonte au sol.
L’inscription NTT, acronyme de Nippon Telegraph and Telephon, en dessous de cette courbe montre qu’il s’agit du logo de cette compagnie de téléphone.
La cardioïde
Étienne Pascal (1588 – 1651), le père de Blaise s’est intéressé aux courbes engendrées par un point lié à un cercle roulant sans glisser autour d’un cercle de même rayon. Le plus célèbre de ces limaçons est en forme de cœur et, pour cette raison, porte le nom de cardioïde.
La cardioïde est la trajectoire d’un point d’un cercle roulant sans glisser sur un cercle de même rayon.
Sa construction est résumée dans le dessin suivant :
Le cercle rouge roule sans glisser sur le bleu. Les positions 1, 2 et 3 donnent successivement les points cerclés et donc la cardioïde.
Le limaçon de NTT
On obtient le logo de NTT en considérant la trajectoire d’un point lié au cercle rouge mais à l’extérieur.
Si on utilise un point à l’intérieur, on obtient une courbe en forme de haricot.
Les suites qui se racontent sont entrées un jour dans ma vie pour ne plus en sortir à travers une énigme mathématique que me posa un ami :
Si une suite commence par 0, 10, 1110, 3110, 132110, 13123110, quel est le nombre suivant ?
Ma réponse fût 23124110 (dans 0, je compte un 0 ce que j’écris 10 ; dans 10, je compte un 1, un 0 ce que j’écris 1110 ; dans 1110, je compte trois 1, un 0 ce qui donne 3110, etc.). En quelque sorte, chaque terme “raconte” le précédent.
L’énigme se transforme en suite … et en conjecture
J’aurais pu m’arrêter là mais, allez savoir pourquoi, je continuais : 1413223110, 1423224110, 2413323110, 1433223110, 1433223110. La suite est donc constante à partir de ce terme. Le résultat me sembla surprenant, c’est pourquoi j’essayais d’autres valeurs initiales. J’avais beau examiner un grand nombre de valeurs, je trouvais toujours une suite périodique, la période étant 1, 2 ou 3. Très vite convaincu de ce résultat, je tentais de prouver ce qui était devenu une conjecture. Après plusieurs mois de recherche, je trouvais 109 points fixes, 31 cycles de période deux et 10 cycles de période trois (voir plus loin leur liste exhaustive).
Puis la conjecture en théorème
Pour trouver tous les cycles des suites qui se racontent, on peut utiliser un ordinateur à condition de réduire d’abord le nombre de cas à essayer. Il est également possible de faire un raisonnement analytique classique. Pour ceux que le sujet intéresse, j’ai raconté cette quête de la preuve dans :
Hervé Lehning, « Computer-aided or analytic proof? », College Mathematics Journal, vol. 21, no 3, 1990, p. 228-239
Hervé Lehning, « Quelle est la meilleure preuve ? », Quadrature, n° 11, 1992 (Ce dernier article est illustré Par Charb.)
Page de l’article avec l’illustration de Charb
Le jeu de Robinson
Quand j’ai proposé mon article, on me fit remarquer que je résolvais sans le savoir une conjecture de Douglas Hofstadter (parue dans Ma Thémagie) liée à un jeu inventé dans les années soixante-dix par Raphaël Robinson (1911 – 1995), un mathématicien américain. Le but est de remplir les blancs de la phrase suivante afin qu’elle devienne vraie :
Dans cette phrase, il y a __ 0, __ 1, __ 2, __ 3, __ 4, __ 5, __ 6, __ 7, __ 8, et __ 9
On remarque immédiatement que tout point fixe utilisant les dix chiffres d’une suite qui se raconte est solution, et réciproquement. En utilisant la liste des 109 points fixes, on trouve deux solutions :
Dans cette phrase, il y a 1 0, 11 1, 2 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7, 1 8, et 1 9.
Dans cette phrase, il y a 1 0, 7 1, 3 2, 2 3, 1 4, 1 5, 1 6, 2 7, 1 8, et 1 9.
Les autres points fixes fournissent des solutions à un jeu de Robinson légèrement modifié où certains chiffres peuvent être supprimés. Par exemple :
Dans cette phrase, il y a 3 1, 2 2, 3 3, 1 4 et 1 5.
Suppléments : cycles des suites qui se racontent
Pour en simplifier la lecture, je noterai <n> le fait que n chiffres, choisis arbitrairement parmi les chiffres possibles, soient précédés d’un 1.
11 1 / <8> ce qui fait 9 points fixes, 2 6 / 2 3 / 3 2 / 6 1 / <5> ce qui fait 6 points fixes, 2 5 / 2 3 / 3 2 / 5 1 / <4> ce qui fait 15 points fixes, 2 4 / 2 3 / 3 2 / 4 1 / <3> ce qui fait 20 points fixes, 3 3 / 2 2 / 3 1 / <2> ce qui fait 21 points fixes, 2 3 / 3 2 / 2 1 / <1> ce qui fait 7 points fixes, 3 3 / 3 1 / <2> ce qui fait 28 points fixes, 2 2 ce qui fait 1 point fixe, d’où un total de 109 points fixes.
