Penchons-nous sur la forme des tipis des indiens d’Amérique. Il s’agit d’un cône dont la hauteur vaut environ 75 % du diamètre de la base. Des calculs montrent que cette forme minimise la toile à utiliser pour un volume donné, comme les abeilles économisent la cire pour créer leurs alvéoles. Est-ce un hasard ? Difficile de répondre à la question car d’autres paramètres comme la solidité de l’ensemble entrent en jeu. Peu importe, ces problèmes d’optimisation se retrouvent souvent dans la nature comme dans la vie pratique.
Un tipi.
Analyse mathématique
Analysons celui-ci mathématiquement. Un tipi est une tente conique caractérisée par le rayon de sa base, R, et par sa hauteur, que nous notons proportionnellement à R, k R, car le problème tient essentiellement à ce rapport k. La capacité du tipi est égale à son volume et la surface de toile, à son aire latérale.
Le tipi est un cône caractérisé par le rayon de sa base R et par sa hauteur k R.
Le volume est égal à Pi / 3 multiplié par le carré du rayon R et par la hauteur k R. Imposer un volume de 10 mètres cube (par exemple) lie le rapport k au rayon R. L’aire latérale dépend alors uniquement de ce rapport. Cette dépendance se traduit par une courbe en forme de J à l’envers. Nous y constatons un minimum de l’aire pour une valeur de k de l’ordre de 1,4, autrement dit pour une hauteur 40 % supérieure au rayon de la base. De façon plus précise, le calcul différentiel montre que ce minimum est atteint pour k égal à la racine carrée de 2, ce qui fait 1,414 à 0,001 près.
Variation de l’aire latérale en fonction du rapport entre la hauteur et le rayon. Le calcul montre que le minimum est atteint quand k est égal à la racine de 2, soit 1,414 à 0,001 près.
À volume égal, l’aire latérale du tipi est donc minimale pour un rapport proche de 1,4. La courbe montre de plus que la variation de l’aire latérale est faible autour de ce rapport, ce qui explique que, dans la pratique, il oscille autour de 1,4.
Les plantes ont un rapport étonnant avec les mathématiques, hasard ou nécessité ? Je vous laisse juger.
Suite de Fibonacci
Léonard de Pise, dit Fibonacci, a créé sa suite comme un simple exercice d’arithmétique :
Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ?
Le calcul est simple, la suite donne : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, etc. Chaque nombre est la somme des deux qui le précèdent.Cette règle a fasciné au-delà de l’exercice. De plus, on la retrouve souvent dans la nature. En voici quelques exemples.
Cette plante de la toundra groenlandaise présente deux formes géométriques simples : un cercle et une droite. Le cercle est naturel. Il correspond au développement de la plante dans toutes les directions à partir d’une graine, mais pourquoi a-t-elle dépéri d’un seul côté d’une droite ?
En se promenant au Japon, l’amateur de courbes mathématiques remarquera une courbe très particulière sur des plaques en fonte au sol.
L’inscription NTT, acronyme de Nippon Telegraph and Telephon, en dessous de cette courbe montre qu’il s’agit du logo de cette compagnie de téléphone.
La cardioïde
Étienne Pascal (1588 – 1651), le père de Blaise s’est intéressé aux courbes engendrées par un point lié à un cercle roulant sans glisser autour d’un cercle de même rayon. Le plus célèbre de ces limaçons est en forme de cœur et, pour cette raison, porte le nom de cardioïde.
La cardioïde est la trajectoire d’un point d’un cercle roulant sans glisser sur un cercle de même rayon.
Sa construction est résumée dans le dessin suivant :
Le cercle rouge roule sans glisser sur le bleu. Les positions 1, 2 et 3 donnent successivement les points cerclés et donc la cardioïde.
Le limaçon de NTT
On obtient le logo de NTT en considérant la trajectoire d’un point lié au cercle rouge mais à l’extérieur.
Si on utilise un point à l’intérieur, on obtient une courbe en forme de haricot.
Les sangakus japonaises sont de petits chefs d’œuvres aussi bien au niveau du raisonnement mathématique que de l’esthétique. Jean Constant, par exemple, s’en est fait une spécialité (voir l’image mise en avant). La sangaku suivante a été découverte par Hidetoshi Fukagawa.
Les deux triangles (rouge et vert) inscrits dans le carré jaune sont équilatéraux, quel est le rapport entre les rayons des cercles bleus ?
Rayon d’un cercle inscrit
Les deux cercles sont inscrits dans deux triangles. Un théorème permet d’en calculer les rayons en fonction de leurs aires et de leurs périmètres. Plus précisément, le rayon du cercle inscrit dans un triangle est égal à deux fois la surface du triangle divisé par son périmètre, ce résultat est mis en évidence par un dessin : l’aire du triangle se décompose en trois triangles de même hauteur, le rayon du cercle inscrit. L’aire de chacun de ces triangles est donc égale au rayon du cercle inscrit multiplié par la longueur du côté opposé divisée par deux. En faisant la somme, le périmètre du triangle s’introduit naturellement .
Plan d’attaque du problème
Pour calculer les rayons des deux cercles, il s’agit donc de calculer un certain nombre de longueurs de segments de la figure. L’idée pour les calculer vient si nous en oublions une partie. En utilisant les angles de 60° et de 45° en évidence, nous trouvons que les triangles rouges ont les mêmes angles et sont donc semblables.
Grâce aux rapports de similitude et au théorème de Pythagore, les mesures de longueurs apparaissent progressivement, une d’entre elles (AC) ayant été choisie comme unité. Le dessin est utile pour suivre le raisonnement.Nous en déduisons progressivement les diverses longueurs importantes. Elles sont notées sur le dessin ci-dessous.
On en déduit les valeurs des deux rayons :
Un calcul algébrique
Un calcul algébrique permet de montrer que R = 2 r. Pour cette dernière étape, aucune visualisation n’est nécessaire et nous pouvons l’exécuter avec un logiciel de calcul formel. Ce dernier calcul nous entraîne vers les extensions algébriques, nous nous arrêterons à leur porte.
L’éventail de la geisha
Dans certaines sangakus, les auteurs ont clairement privilégié l’esthétique.
Par exemple, dans celui en forme d’éventail ouvert aux deux tiers ci-dessus, il s’agit de trouver le rapport entre les rayons des cercles verts et rouges. Ici encore, l’essentiel est d’introduire les bons points, qui ne sont pas directement visibles. On trouve :
Sur les chemins de l’Himalaya, jusqu’à 5000 mètres d’altitude, on rencontre sans cesse des porteurs et porteuses, parfois des enfants, surmontés de charges impressionnantes. Comment évaluer leurs poids ?
Compter les canettes
L’évaluation est relativement simple pour les porteurs de caisses de bière : on compte le nombre de canettes. le poids de chacune est facile à évaluer, un peu plus d’un tiers de kilo. Vingt paquets de dix donnent un fardeau de 70 kilogrammes … à porter sur des milliers de mètres de dénivelée !
Elle y transporte des feuilles, que l’on utilise pour transformer le produit des toilettes en compost. La charge correspond malgré tout aux bottes de foin ordinaires qui, pressées, pèsent environ 20 kilogrammes. Malgré le côté impressionnant de sa charge, il est peu probable que cette jeune fille transporte plus de 10 à 15 kilogrammes sur son dos. Cela reste important pour une enfant dont la croissance n’est manifestement terminée, mais reste comparable aux poids des cartables de certains de nos collégiens.
Autrement plus impressionnante est la buse en fonte que transporte cet homme en route vers Namché Bazar. Elle est destinée à créer une conduite forcée, pour servir à une micro usine hydro électrique. Le progrès vient ici à dos d’homme. Quel est le poids de cette buse ? Il est relativement facile d’évaluer le volume de fonte. La longueur est de 2,5 mètre environ, le diamètre 30 centimètres et l’épaisseur 1 centimètre. En mètres cubes, le volume est donc égal à :
2,5 x (0,152 – 0,142) x 3,14
soit 0,018 m3. La fonte ayant une densité de 7,4 tonnes au m3, nous en déduisons un poids de 130 kilogrammes environ. Même si nous admettons une erreur de 20 % dans notre évaluation, nous aboutissons à un poids supérieur à 100 kilogrammes, ce qui est impressionnant.
Les paraboles sont utilisées dans l’Himalaya pour faire bouillir de l’eau. Pour cela, il suffit de diriger son axe vers le soleil. Ses rayons sont alors réfléchis vers le foyer où on a placé une casserole.
La parabole et son foyer
Si le soleil est dans l’axe de la parabole, ses rayons réfléchis passent tous par le foyer.
Selon la légende, Archimède aurait utilisé ce procédé pour incendier les voiles des navires romains lors du siège de Syracuse en 212 avant Jésus-Christ. Nous pouvons douter de la réalité de cette anecdote, car le moindre mouvement des bateaux suffit pour placer leurs voiles loin du foyer. Les servants du miroir parabolique auraient bien du mal à les suivre. Il est plus facile de chauffer une bouilloire immobile que la voile d’un navire en mouvement !
Les ponts himalayens sont des ouvrages souples suspendus par leurs deux extrémités. L’ancrage étant essentiel, leur altitude dépend de la qualité de la roche. Les deux extrémités doivent être approximativement à la même hauteur et indéracinables.
La courbe du pont
Globalement, le pont se comporte comme une chaîne suspendue par ses deux extrémités. Autrement dit, il prend la forme d’une courbe appelée chaînette pour cette raison. Les lignes électriques hautes tensions ainsi que les câbles de téléphériques en donnent d’autres exemples. Galilée pensait qu’il s’agissait d’une parabole, sans doute parce qu’elle est presque indiscernable de l’arc de parabole de même longueur suspendu entre les mêmes points. En fait, son équation est liée à la fonction exponentielle.
Parabole (en rouge) et chaînette (en bleu) de même longueur suspendue entre les mêmes points.
Minimiser la tension
En tendant fortement les câbles soutenant le pont, il serait possible que cette courbe se confonde avec une droite. L’observation montre que ce n’est jamais le cas. Pourquoi ? Tout simplement pour réduire la tension exercée aux extrémités qui, à terme, pourrait faire céder le pont. Pour la minimiser, la forme idéale est celle utilisée pour suspendre les lignes haute tension.
Minimisation de la tension. Le rapport entre la flèche et la distance doit être égal à 1 / 3.
Pour cela, le calcul montre que la flèche doit être égale au tiers de la distance entre les points d’appui, s’ils sont à la même altitude. Bien entendu, dans la pratique, il suffit que la tension reste à un niveau raisonnable. La flèche est donc rarement aussi importante. Au départ, la descente serait d’ailleurs dangereuse ! En pratique, on dépasse rarement une flèche de l’ordre du dixième de la distance.
Stabiliser le pont
Un pont fabriqué ainsi est sujet à des mouvements de roulis et de tangages, ce qui rend sa traversée délicate dès que plusieurs utilisateurs l’empruntent. Le vent a également une influence non négligeable sur sa stabilité. Pour éviter ces inconvénients, le plus simple est de le stabiliser par des câbles exerçant une tension latérale.
La courbe tendant ces câbles épouse la forme d’une parabole afin que la tension exercée soit constante le long du pont. Dans les ponts himalayens, on retrouve donc simultanément deux courbes : la chaînette et la parabole.
À Mouans-Sartoux, un étrange bâtiment cubique vert pomme, fondu dans le vert des arbres attire le regard du voyageur. Il est dédié à l’art concret …
L’espace de l’art concret à Mouans-Sartoux
Art concert et abstraction.
Rien n’est plus concret, plus réel qu’une ligne, qu’une couleur, qu’une surface. Cette phrase très platonicienne de Theo van Doesburg (alias de Christian Emil Marie Küpper, 1883 – 1931), fondateur du groupe « art concret » détrompera ceux qui interpréteraient le terme « concret » en contraire d’« abstrait ».
Pourquoi un espace de l’art concret à Mouans-Sartoux, petite commune entre Grasse et Cannes où la nature semble davantage appeler l’art figuratif ? La réponse tient en la rencontre d’un maire ouvert à l’art contemporain, et professeur de mathématiques, André Aschiéri, et d’un collectionneur et artiste, Gottfried Honegger. Ce dernier, avec sa compagne Sybil Albers, a fait donation de leur collection personnelle, en 2000 à l’État français, à laquelle se sont ajoutés des compléments importants telles que les Donations Aurèlie Nemours et Catherine & Gilbert Brownstone. Actuellement le fonds compte presque 600 œuvres. Elles sont exposées à l’Espace de l’Art Concret dans un cadre adapté.
La place des mathématiques et de l’optique
Dès la première salle, les mathématiques sont omniprésentes. Le tableau de Max Bill intitulé deux zones, claire et sombre évoquera avant tout l’irrationalité de racine de deux à l’amateur de mathématiques. En effet, il met en scène sa démonstration par Socrate dans Le Ménon de Platon.
Zwei Zonen – Dunkel und Hell (1970), Max Bill (1908 – 1994).
On trouve également des rythmes classiques, comme des toiles fondées sur des rapports entre les surfaces de diverses couleurs ou des alignements.
Far off, study for homage to the square (1958), Josef Albers (1888 – 1976).
Mais le but principal de Josef Albers dans son hommage au carré est de piéger l’œil du spectateur entre les couleurs des différents carrés si bien que le carré central, le plus pâle, semble flotter au centre de la composition. Un grand nombre de toiles sont ainsi fondées sur une sorte d’illusion d’optique qui piège l’œil entre plusieurs interprétations.
Des lignes au hasard
François Morellet utilise une technique étonnante pour créer certaines de ses œuvres : le hasard. Quand on observe ses toiles, on se demande cependant s’il n’a pas fait intervenir le hasard plusieurs fois pour choisir ensuite le plus esthétique, ce qui est presque la négation du hasard. Quelle est la probabilité pour que, parmi dix droites, quatre soient approximativement concourantes et forment un faisceau évoquant un projecteur ?
Dix lignes au hasard (1985), François Morellet (1926 – 2016).
Bien sûr, notre argument n’a pas grande valeur puisque tout événement s’étant produit était de probabilité nulle avant de se produire. On peut s’interroger mais, peu importe, seul le résultat compte et il dégage une harmonie certaine, encore liée à l’incertitude du regard entre diverses interprétations.
François Morellet a d’ailleurs inventé la théorie de la « participation du spectateur ». Le regard comme la lumière sont au centre de l’art en général et de l’art concret en particulier. Cette importance devient évidente dans ses sculptures comme cette sphère découpée suivant deux séries de plans parallèles, perpendiculaires entre eux. Chaque déplacement du spectateur, chaque variation de la lumière font apparaître un treillage différent. La photographie ci-dessous est sans doute celle qui inspirera le plus le mathématicien.
Sphère trames (1970), acier inoxydable, François Morellet.
Ellipse d’acier
David et Royden Rabinowitch, des frères jumeaux, travaillent ensemble mais signent parfois leurs œuvres indépendamment. Cela explique que vous puissiez trouver des sculptures très comparables signées de l’un ou de l’autre. L’espace de l’art concret possède l’une des sculptures signées par David. Elle inspirera le mathématicien, même s’il risque de la trouver énigmatique.
Conical plane in four masses and two scales (1979), David Rabinowitch (né en 1943).
Les droites tracées sur l’ellipse ci-dessus évoquent l’hexagramme mystique de Pascal. Cependant, cette interprétation est fausse : la conique ne contient que trois droites et non six. D’autre part, les points percés sur la surface sont alors bien mystérieux, comme distribués au hasard. Si les quatre masses se trouvent, où sont les deux échelles ? Le titre apparemment très précis invite le spectateur à compter, et le perd entre plusieurs interprétations.
Selon la légende, le lemming – un petit rongeur ressemblant à un hamster, vivant dans les régions nordiques comme la Suède, le Canada et le Groenland – est d’un altruisme tel qu’il se suicide en masse pour le bien de sa communauté quand celle-ci devient trop nombreuse. Même si l’idée de suicides d’animaux est étonnante, l’évolution de la population lemming suit effectivement une courbe étrange.
Évolution de la population de lemmings, on note un cycle de quatre ans. Le rapport entre les minima et maxima est de 1 à 1000, ce qui peut faire penser à une extinction des lemmings.
Un film “documentaire”
Cette courbe se recopie elle-même tous les quatre ans mais, quand la population lemming est à son minimum, on peut penser à une extinction car le rapport entre minimum et maximum est de 1 à 1000 environ. En fait, il n’en est rien et ils reviennent toujours avec une périodicité de quatre ans, et ceci dans toutes les contrées où ils vivent. En 1958, dans White Wilderness, les studios Walt Disney ont présenté des vagues de lemmings se précipitant dans la mer du haut d’une falaise. Bien entendu, il s’agissait d’un trucage cinématographique. Un examen attentif du film montre d’ailleurs que l’on ne voit jamais plus de 12 lemmings simultanément à l’écran. S’il n’en est pas à l’origine, ce film « documentaire » a sans doute conforté la fable selon laquelle le lemming se suicide en masse quand la population de sa communauté devient trop importante pour la région où il habite.
Un modèle mathématique
Un labbe en train de dévorer un bébé manchot. @ Hervé Lehning
En fait, ces fluctuations peuvent s’expliquer par la présence d’un prédateur exclusivement dévoué au lemming, l’hermine. Ce petit rongeur en a d’autres, comme les renards, les labbes et les harfangs, mais ceux-ci mangent ce qu’ils trouvent le plus facilement alors que l’hermine ne chasse que le lemming. Elle provoque ainsi sa quasi extinction … et donc la sienne en conséquence, ce qui laisse aux survivants la chance de reconstituer le peuple lemming et à l’histoire de recommencer éternellement. Cette façon, somme toute littéraire, de présenter le phénomène permet de comprendre son côté qualitatif. Un modèle mathématique précise son côté quantitatif. Nous en proposons une version très rudimentaire, car il ne tient pas compte des saisons, même s’il suffit cependant à vérifier le phénomène.
Une hermine.
Admettons qu’en l’absence de prédateurs, la population des lemmings croisse hebdomadairement avec un taux dépendant de la natalité et de la mortalité naturelles. La présence de l’hermine change la donne, et ce taux doit être minoré d’une valeur proportionnelle au nombre d’hermines. Autrement dit, un nouveau coefficient rentre en jeu, qui correspond à la prédation. Pour fixer les idées, si le taux de croissance naturelle des lemmings est égal à 1,05 et le taux de prédation égal à 0,0001, une population de 1000 hermines donne un taux de croissance de la population lemming égal à son taux naturel 1,05 moins la prédation, soit 0,0001 multiplié par 1000. Le taux total est donc égal à 1,04. Si la population lemming est de 40000 individus, elle est de 40000 multiplié par 1,04 la semaine suivante, soit 41600 individus.
Pendant ce temps, la population d’hermines évolue aussi du fait de son taux de croissance naturel qui doit être majoré d’une valeur proportionnelle au nombre de lemmings. Si le taux de croissance naturel est de 0,97 et le taux dû à l’alimentation (c’est-à-dire à la prédation) est de 0,000001, le taux de croissance des hermines est de 0,97 plus 40000 multiplié par 0,000001, soit 1,01. La population d’hermines la semaine suivante est donc égale à 1000 multiplié par 1,01 soit 1010.
Gestion des animaux dans les parcs naturels
Les mêmes calculs peuvent être repris la semaine suivante et les quatre paramètres ajustés pour correspondre à la réalité constatée sur le terrain, ce que nous avons fait d’ailleurs. Les valeurs ci-dessus donnent bien une périodicité de quatre années environ. Ces formules sont générales et valables pour d’autres couples proies / prédateurs. Elles servent pour la gestion des animaux dans les parcs naturels. Par exemple, si on constate un risque de fort accroissement du nombre de prédateurs, la direction du parc peut décider d’autoriser la chasse d’un certain nombre d’animaux pour éviter un cycle d’évolution des populations chaotique.
L’effet papillon est un exemple très rare d’expression venant des mathématiques ayant eu un succès médiatique incontestable. Tout le monde connaît l’effet papillon : petites causes, grandes conséquences comme certains l’ont chanté.
L’origine de la métaphore
En 1972, à une conférence de météorologie, Edward Lorenz a présenté un exposé sous un titre qui a frappé les esprits :
Le battement d’ailes d’un papillon au Brésil peut-il provoquer une tornade au Texas ?
Cette métaphore n’est toutefois pas de Lorenz mais d’un organisateur de la conférence, Philip Merilees. Pour justifier sa question, Lorenz utilisait un modèle mathématique très simplifié de l’atmosphère terrestre où il n’avait conservé que trois inconnues pouvant donc être représentées par un point de l’espace. Il s’agit de ce qu’on appelle en mathématiques un système dynamique. On part d’une condition initiale, c’est-à-dire d’un point représentant l’état du système à l’instant initial et le modèle nous donne les états du système aux instants qui suivent, théoriquement indéfiniment.
L’attracteur de Lorenz
Dans le cas du modèle de Lorenz, chaque condition initiale donne une orbite ressemblant grossièrement aux deux ailes d’un papillon. De plus, toutes les orbites s’agglutinent sur un même objet également en forme de papillon, qu’on nomme l’attracteur de Lorenz.
Cette forme explique peut-être le choix de cet insecte par Merilees. Peu importe, le papillon a séduit bien au-delà de la sphère mathématique sans que, pour autant, le message de Lorenz soit complètement compris. En effet s’il mettait l’accent sur la sensibilité aux conditions initiales, un faible changement pouvant avoir de grosses conséquences, il corrigeait immédiatement l’idée de la soumission au hasard d’un battement d’aile de papillon par :
J’avance l’idée qu’au fil des années de petites perturbations ne modifient pas la fréquence d’apparition d’événements comme les tornades : la seule chose qu’ils peuvent faire, c’est de modifier l’ordre dans lequel ces événements se produisent.
Nous sommes ainsi très loin de la notion couramment vulgarisée : petites causes, grandes conséquences. Dans la pensée de Lorenz, le chaos sert à la prévision, les orbites ne sont pas aléatoires, elles se situent sur l’une ou l’autre aile de l’attracteur, le passage de l’une à l’autre semblant aléatoire. Cette conception éclaire l’idée a priori paradoxale qu’on puisse étudier l’évolution du climat sans pour autant être capable de prévoir le temps du mois suivant.
Comment comprendre le monde moderne sans culture mathématique ? Accéder à celle-ci n’exige cependant pas d’apprendre à résoudre la moindre équation.
Les deux triangles (rouge et vert) inscrits dans le carré jaune sont équilatéraux, quel est le rapport entre les rayons des cercles bleus ?
Un calcul algébrique
