Les mathématiques du certificat d’études

Au courant du XVIIe siècle, les mathématiques de feu le certificat d’études étaient en place. Les ouvrages d’apprentissage du nouveau calcul foisonnaient d’exercices. Sous des dehors liés à la vie de tous les jours, leur but était d’entraîner à l’utilisation des algorithmes des opérations (addition, soustraction, multiplication et division) ainsi qu’au raisonnement mathématique.

Un exemple de Simon Stevin

Aune de tailleur.

En particulier, La pratique de l’arithmétique de Simon Stevin (1548 – 1620) contient une foule d’exercices du type :

14 aunes de drap coûtent 5 livres, 2 sous et 8 deniers, combien coûteront 25 aunes ?

Pour résoudre cet exercice, inutile de savoir ce que représente une aune, il suffit de savoir qu’une livre vaut 20 sous et un sou, 12 deniers. Le plus simple pour le résoudre est de transformer la somme donnée en deniers. Une livre vaut 20 x 12 = 240 deniers donc 5 livres, 1200. Les 14 aunes valent donc 1232 deniers. On obtient le prix d’une aune en divisant par 14, ce qui donne 88 deniers. Le prix de 25 aunes est donc égal à 25 x 88 = 2200 deniers, qu’il reste à traduire dans le système initial. En divisant 2200 par 240, on obtient 9 livres et il reste 40 deniers, ce qui fait 3 sous et 4 deniers. Finalement, les 25 aunes coûtent 9 livres, 3 sous et 4 deniers.

Intérêt du système décimal

Heureusement, l’arithmétique est devenue plus simple avec le système décimal ! Pour le montrer, voici un exemple moderne :

Nicolas achète 350 grammes de pommes pour 1 €. Derrière lui, Pimprenelle en achète 1 kilo 435. Combien va-t-elle payer ?

Voici le raisonnement canonique pour résoudre ce type de problème. Ici le terme « canon » n’a rien à voir avec l’artillerie, il signifie « règle » comme toujours en mathématiques. Si 350 grammes coûtent 1 €, 1 gramme coûte 1 / 350 € et 1435, 1435 / 350 soit 4 € 10. Nous avons appliqué ici, sans l’écrire, une règle de trois que certains nomment produit en croix. Peu importe l’appellation, l’esprit vaut mieux que la lettre. Dans les deux cas, le raisonnement sous-jacent est abstrait puisqu’il consiste à inventer une fiction : la vente d’un gramme de pommes ! Il montre que, même dans les applications les plus élémentaires, il n’existe pas de mathématiques sans abstraction, ou sans réflexion. Leur apprentissage exige application, cogitation et quantité d’exercices, comme l’escalade, le tennis ou le football.

La voie royale

Cela n’est pas nouveau comme le montre l’anecdote suivante, qu’elle soit vraie ou non. Selon la légende, Euclide enseigna les mathématiques au roi d’Égypte. Rapidement, celui-ci demanda un accès au savoir simplifié, par égard à sa majesté. Euclide répondit : Désolé sire, en mathématiques, il n’y a pas de voie royale. Il n’en existe toujours pas, que cela soit pour les rois ou les enfants-rois. Vouloir en inventer sous prétexte de faciliter l’apprentissage des mathématiques est voué à l’échec. L’idée ne fait qu’en interdire l’accès.

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