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Les paraboles de l’Himalaya

Les paraboles sont utilisées dans l’Himalaya pour faire bouillir de l’eau. Pour cela, il suffit de diriger son axe vers le soleil. Ses rayons sont alors réfléchis vers le foyer où on a placé une casserole.

La parabole et son foyer

Si le soleil est dans l’axe de la parabole, ses rayons réfléchis passent tous par le foyer.

Selon la légende, Archimède aurait utilisé ce procédé pour incendier les voiles des navires romains lors du siège de Syracuse en 212 avant Jésus-Christ. Nous pouvons douter de la réalité de cette anecdote, car le moindre mouvement des bateaux suffit pour placer leurs voiles loin du foyer. Les servants du miroir parabolique auraient bien du mal à les suivre. Il est plus facile de chauffer une bouilloire immobile que la voile d’un navire en mouvement !

Les ponts himalayens

Les ponts himalayens sont des ouvrages souples suspendus par leurs deux extrémités. L’ancrage étant essentiel, leur altitude dépend de la qualité de la roche. Les deux extrémités doivent être approximativement à la même hauteur et indéracinables.

La courbe du pont

Globalement, le pont se comporte comme une chaîne suspendue par ses deux extrémités. Autrement dit, il prend la forme d’une courbe appelée chaînette pour cette raison. Les lignes électriques hautes tensions ainsi que les câbles de téléphériques en donnent d’autres exemples. Galilée pensait qu’il s’agissait d’une parabole, sans doute parce qu’elle est presque indiscernable de l’arc de parabole de même longueur suspendu entre les mêmes points. En fait, son équation est liée à la fonction exponentielle.

Parabole (en rouge) et chaînette (en bleu) de même longueur suspendue entre les mêmes points.

Minimiser la tension

En tendant fortement les câbles soutenant le pont, il serait possible que cette courbe se confonde avec une droite. L’observation montre que ce n’est jamais le cas. Pourquoi ? Tout simplement pour réduire la tension exercée aux extrémités qui, à terme, pourrait faire céder le pont. Pour la minimiser, la forme idéale est celle utilisée pour suspendre les lignes haute tension.

Minimisation de la tension. Le rapport entre la flèche et la distance doit être égal à 1 / 3.

Pour cela, le calcul montre que la flèche doit être égale au tiers de la distance entre les points d’appui, s’ils sont à la même altitude. Bien entendu, dans la pratique, il suffit que la tension reste à un niveau raisonnable. La flèche est donc rarement aussi importante. Au départ, la descente serait d’ailleurs dangereuse ! En pratique, on dépasse rarement une flèche de l’ordre du dixième de la distance.

Stabiliser le pont

Un pont fabriqué ainsi est sujet à des mouvements de roulis et de tangages, ce qui rend sa traversée délicate dès que plusieurs utilisateurs l’empruntent. Le vent a également une influence non négligeable sur sa stabilité. Pour éviter ces inconvénients, le plus simple est de le stabiliser par des câbles exerçant une tension latérale.

Cette photographie montre les câbles tendant latéralement le pont de chaque côté. Ils sont régulièrement espacés le long de deux courbes symétriques, de forme parabolique.   © Hervé Lehning

La courbe tendant ces câbles épouse la forme d’une parabole afin que la tension exercée soit constante le long du pont. Dans les ponts himalayens, on retrouve donc simultanément deux courbes : la chaînette et la parabole.

Chaînette et parabole se trouvent dans ce pont himalayen. © Hervé Lehning

Un porte-avions en altitude et sa clothoïde

La méthode la plus rapide pour se rendre à Namché Bazar, puis vers l’Everest et d’autres sommets himalayens, est de prendre l’avion de Kathmandou à Lukla, ville située à 2900 mètres d’altitude, sur un piton rocheux. Il est possible ensuite de se rendre à Namché Bazar en une ou deux étapes à pied.

La piste de l’aéroport de Lukla. © Hervé Lehning

L’arrivée sur l’aéroport est impressionnante. De loin, la piste ressemble à celle d’un porte-avions perché en altitude. Le bout de piste est au sommet d’une barre rocheuse de 700 mètres de haut. Après quelques dizaines de mètres à plat, elle s’incline de 15 % pour redevenir horizontale au niveau du parking, après 350 mètres. La pente permet un atterrissage plus court. En observant la piste, on remarque qu’elle s’incurve progressivement. Quelle est la courbe empruntée entre les deux morceaux droits ?

Raccordement entre deux droites par un cercle.

La première partie permet la prise de contact avec le sol mais le freinage se fait essentiellement dans la partie en pente. Bien entendu, il n’est pas question de raccorder brutalement les deux droites. On peut imaginer de le faire au moyen d’un cercle de rayon R comme sur la figure ci-dessus. Dans ce cas, l’avion serait soumis brutalement à une accélération centrifuge égale à V2 / R où V est sa vitesse, ce qui aurait comme conséquence de le déstabiliser.

Une clothoïde

Il est donc nécessaire de raccorder les deux droites avec le cercle, exactement comme on le fait pour les voies de chemin de fer ou les échangeurs d’autoroutes. La courbe la plus souvent utilisée pour cela est une clothoïde, obtenue en faisant varier la courbure (l’inverse du rayon) linéairement entre 0 (pour la droite) et 1 / R (pour le cercle).

Une clothoïde