Les valeurs de π

En 1897, une résolution établissant que π = 4 fut proposée au vote des représentants de l’état de l’Indiana (États-Unis d’Amérique). Avant de sourire, le mathématicien se posera une question : pour quelle notion de distance ?

Qu’est-ce que π ?

Archimède a répondu à cette question voici fort longtemps. Il s’agit du rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Qu’est-ce qu’un cercle ? L’ensemble des points du plan à égale distance d’un point donné. Qu’est-ce que la distance ? Ici, nous ne pouvons que marquer une pause dans nos réponses toutes faites. Plusieurs distances sont envisageables !

Distance à vol d’oiseau

En mathématiques, la distance la plus utilisée est qualifiée d’euclidienne. Dans la vie courante, on parle souvent de distance à vol d’oiseau. La distance d’un point A à un point B est la longueur du vecteur V qui mène de A à B. En tenant compte du théorème de Pythagore, elle s’exprime sous la forme :

| V |2 = x2 + y2.

Les cercles associés à cette distance ont la forme ronde usuelle. Le nombre π a la valeur connue, 3,14 à 0,01 près.

Distance Manhattan

Même pour un oiseau, la distance euclidienne correspond à une certaine vision du monde, où le vol est possible dans toutes les directions. À Manhattan, même pour voler, mieux vaut suivre les avenues, qui forment un maillage rectangulaire. La longueur d’un vecteur s’y exprime sous la forme :

| V | = | x | + | y |.

La distance Manhattan correspond au plus court chemin, si l’on marche le long des rues d’une ville au plan rectangulaire (comme Manhattan)

Le cercle unité a alors la forme d’un losange, sa circonférence est égale à 8 donc, pour cette distance, π = 4.

On retrouve la valeur 4 pour une autre distance (appelée distance infinie), celle donnant comme longueur à V, la plus grande des valeurs absolues de ses coordonnées. Les cercles ont alors une forme de carré.

Les « cercles » de même centre et de même rayon pour les trois distances.

Le décret de l’Indiana : humour ou sottise ?

Nous avons trouvé deux fois 4 et une seule fois 3,14. On pourrait en conclure que π = 4 est la valeur la plus raisonnable à retenir. Quand les rues des villes se coupent à angle droit, la distance Manhattan est la plus pertinente. Est-ce pour cette raison qu’une loi visant à adopter la valeur π = 4 fut proposée au vote de l’assemblée générale de l’état de l’Indiana ? Vous pouvez en juger vous-même en allant lire le texte plein d’humour de ce projet de loi sur l’Internet (utilisez un moteur de recherche pour en trouver une copie). Nous laisserons de toutes façons la question aux amateurs d’histoire (s).

Autres distances

Les trois distances utilisées se généralisent en utilisant un nombre p ³ 1 quelconque. Plus précisément, on pose :

| V |p = | x | p + | y | p.

La distance euclidienne correspond au cas : p = 2, la distance Manhattan au cas : p = 1. On démontre, par un passage à la limite, que la distance infinie correspond bien au cas : p = ∞.

Pour chacune de ces distances, nous obtenons une valeur de π, que nous notons πp. Comment en calculer une valeur approchée ? Tout simplement en procédant comme dans le cas de la distance euclidienne, c’est-à-dire en remplaçant le cercle par des polygones réguliers ayant un grand nombre de côtés. Si nous effectuons ces calculs pour p variant de 1 à 2 avec une précision de 0,001, nous obtenons le tableau :

 

p 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
πp 4,000 3,757 3,573 3,434 3,333 3,260 3,209 3,176 3,155 3,145 3,142

 

Ainsi, πp semble décroissant de 1 à 2. Le phénomène inverse se produit de 2 à l’infini. On est amené à plusieurs conjectures :

1) π est la valeur minimale des πp,

2) πp prend toutes les valeurs entre π et 4,

3) πp = πq si 1/p + 1/q = 1.

On démontre que les trois sont exactes, en utilisant des raisonnements de calcul intégral dépassant le cadre de cet article.

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