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La spirale logarithmique, une courbe zoologique ?

La même courbe se retrouve-t-elle dans les galaxies, certains mollusques et les toiles d’araignées ? Enquête sur la spirale logarithmique.

La spirale d’Archimède

Imaginez ! Une droite tourne à vitesse angulaire constante autour d’un point O. Si, partant de O, un point M parcourt cette droite à vitesse constante, on obtient une spirale d’Archimède. On démontre facilement que les spires y sont régulièrement espacées.

Spirale d’Archimède. Elle est engendrée par un point mobile M partant d’un point O, à vitesse constante sur une droite tournant à vitesse angulaire constante autour de O.

La spirale logarithmique

Si, toujours partant de O, le point M parcourt la droite à une vitesse proportionnelle à la longueur OM, il dessine une autre courbe, appelée spirale logarithmique depuis Pierre Varignon (1654 – 1722) mais étudiée auparavant par René Descartes (1596 – 1650) avant d’être choisie par Jacques Bernoulli (1654 – 1705) pour orner sa tombe. Malheureusement, le sculpteur ignorait cette courbe et grava une spirale d’Archimède.

 

Spirale logarithmique. Elle est engendrée par un point mobile M partant d’un point O, à vitesse proportionnelle à OM sur une droite tournant à vitesse angulaire constante autour de O.

Au lieu d’être régulièrement espacées, les spires suivent une progression géométrique de raison constante. Autre propriété de la spirale : elle coupe le rayon OM suivant un angle constant.

Inscription sur la tombe de Jacques Bernoulli, avec la spirale en bas.
Sur cet agrandissement, on voit que le sculpteur a gravé une spirale d’Archimède et non une spirale logarithmique. L’inscription latine « eadem mutata resurgo » signifie « déplacée, je réapparais à l’identique ».

Le développement du nautile

Le nautile est un mollusque marin dont la coquille est en forme de spirale. L’espace entre les spires étant triplé à chaque enroulement, elle évoque une spirale logarithmique. Pour examiner si cette forme est fortuite ou non, il est nécessaire d’en comprendre la provenance.

Coupe d’un nautile faisant apparaître une forme de spirale logarithmique.

La coquille du nautile est divisée en chambres closes, l’animal n’occupant que la dernière. Les autres sont remplies d’un mélange de liquide et de gaz, toutes communiquent entre elles au moyen d’un siphon.

Nautile vivant. L’animal n’occupe que la dernière chambre. Il se déplace d’avant en arrière en expulsant de l’eau du côté de sa bouche.

Ces chambres correspondent à l’évolution progressive du mollusque. Quand il grossit, ne pouvant agrandir la chambre où il se trouve, il en crée une autre dans son prolongement, un peu plus grosse mais semblable.

Pour montrer que cette idée mène effectivement à une spirale logarithmique, prenons comme modèle de la coquille une suite de triangles rectangles d’angle au sommet constant égal à 30°. Le rapport entre un triangle et son suivant est de 115 % (l’inverse du cosinus de 30° soit 2  divisé par racine de 3 pour être précis), ce qui correspond bien à une spirale logarithmique. L’idée correspond à un accroissement progressif de la taille de l’animal. Il n’est pas besoin d’imaginer de plans compliqués inscrits dans les gènes du nautile pour cela, juste une façon de croître.

Suite de triangles rectangles formant une (approximation de) spirale logarithmique.

La spirale logarithmique se retrouve pour les mêmes raisons dans d’autres animaux, comme la planorbe, un escargot marin très utilisé dans les aquariums car il se nourrit d’algues et de plantes à la limite du pourrissement.

Une coquille de planorbe en forme de spirale logarithmique.

Les toiles d’araignées

La toile d’araignée est avant tout un piège destiné à attraper des insectes. Certaines espèces tissent des toiles où il est bien difficile de reconnaître la moindre régularité.

Il n’est pas facile de reconnaître la moindre courbe mathématique dans cette toile d’araignée. En revanche, sans le soleil en contre jour, il est difficile de la détecter.

Les espèces les plus communes en France, les épeires, fabriquent cependant des toiles en forme de spirales. Après avoir bâti un cadre entre quelques branches, l’araignée tisse un réseau régulier de segments rectilignes partant tous d’un même point. Un fois ce travail fini, elle forme une spirale en les reliant. Le célèbre entomologiste Jean-Henri Fabre (1823 – 1915) a voulu y reconnaître une spirale logarithmique, tout en remarquant que l’action de la pesanteur transformait chaque segment en chaînette, la forme que prend naturellement un fil pesant comme les câbles électriques ou les chaînes que l’on porte autour du cou.

Cette toile d’épeire laisse plus penser à une spirale d’Archimède qu’à une spirale logarithmique. On y remarque également les segments transformés en chaînette sous l’effet de la pesanteur.

Les mathématiques des épidémies

Le passé a connu des épidémies terribles comme les pestes du Moyen-Âge. Avant qu’on comprenne leur mode de transmission, les hommes étaient incapables de s’en prémunir. Quand on le comprit, on put opérer des mises en quarantaine. Enfin, la solution vint avec les vaccinations, qui permettent de réduire le nombre de gens susceptibles de contacter une maladie. Cela suffit pour éviter une épidémie, comme l’explique le modèle SIR.

Le modèle SIR

William Kermack (1898 – 1970) et Anderson Mac Kendrick (1876 – 1943).

William Kermack et Anderson Mac Kendrick ont modélisé les épidémies en 1927. Leur modèle compartimente la population en trois classes : S, la classe des individus susceptibles d’attraper la maladie, I, celle de ceux qui en sont infectés (et contagieux) et R, ceux qui en sont revenus ou morts. Dans les deux cas, ces derniers sont immunisés et ne contamineront plus personne. Le modèle SIR considère l’évolution de ces trois classes dans le temps en fonction de deux taux mesurables expérimentalement. Le premier (a) est le taux de contagion de la maladie pour un infecté, c’est-à-dire la probabilité pour qu’un individu susceptible attrape la maladie après contact avec un individu infecté. Le second taux (b) mesure le passage de l’état I à l’état R. Après un laps de temps Δt, on compte a I S Δt infectés supplémentaires et R augmente de b I Δt. La variation du nombre d’infectés est donc égale à a S – b multiplié par I Δt. La condition pour que la maladie se propage (et donc donne lieu à une épidémie) est que le nombre de malades infectés augmente, c’est-à-dire que a S – b > 0. Le quotient b / a a donc valeur de seuil. Si le nombre de sujets susceptibles est inférieur à ce seuil, la maladie ne s’étend pas. Sinon, elle donne lieu à une épidémie (ou à une épizootie).

Un effet de seuil

D’une façon qui peut paraître paradoxale, l’apparition d’une épidémie ne dépend donc pas du nombre de personnes infectées, mais du nombre de personnes susceptibles d’attraper la maladie !

La vaccination permet de passer en dessous du seuil qui permet une épidémie.

Cette remarque justifie à elle seule les politiques de vaccination, même avec un vaccin peu efficace. Pour éviter une épidémie, c’est le nombre d’individus susceptibles d’attraper la maladie qu’il faut diminuer ! Ce nombre dépend de chaque maladie. Pour la rougeole, pour éviter l’épidémie, une couverture vaccinale de 95 % est nécessaire, ce qui n’est plus assuré en France du fait de campagnes obscurantistes antivaccins. La France a donc la honte d’exporter la rougeole dans des pays comme la Suisse ou le Costa Rica.

Le théorème du moustique

Cela justifie aussi le théorème du moustique découvert par Ronald Ross (1857 – 1932) en 1911, et selon lequel il n’est pas besoin d’éliminer tous les moustiques pour éradiquer le paludisme, il suffit d’en faire passer la population sous un certain seuil. Cette découverte a précédé sa justification théorique au moyen du modèle SIR. Auparavant, le lien entre les marécages et le paludisme était connu, comme le montrent les tentatives de drainage des marais Pontins près de Rome de l’Antiquité jusqu’au XIXe siècle. De même, le paludisme a disparu de France, où il était autrefois endémique dans les régions humides comme la Sologne, le marais Poitevin et même autour de Port-Royal des Champs, au cours du XIXe siècle grâce au drainage et non à la consommation de Quinquina, un apéritif à base de Quinine, un préventif du paludisme, comme cela a été parfois affirmé !

 

Sornettes sur la planète

Les scientifiques essayent d’expliquer le monde dans lequel ils vivent, en utilisant du mieux qu’ils le peuvent leurs connaissances, fondées sur l’observation. Cela n’a pas été toujours sans difficultés, erreurs et tâtonnements en fonction des savoirs du moment. Ainsi en a-t-il été de la forme de la Terre ou de sa position et de son mouvement dans le système Solaire.

Le goût des métaphores

Aux époques où l’érudition, et le savoir en général, était, dans chaque pays, détenu par les autorités religieuses, les débats se sont souvent enlisés dans des joutes stériles entre rationnel et irrationnel. Les religions se sont, en général, construites sur des écrits d’époques reculées ou l’emploi de métaphores était courant. Ainsi l’affirmation que l’on trouve au chapitre 5 de l’évangile de Matthieu « vous êtes le sel de la Terre » n’indique pas que les disciples de Jésus étaient faits en sel et non en chair et en os ! Il en est de même des quatre coins de la Terre !

Le géocentrisme fait de la résistance

Représentation géocentrique de l’univers. La Bible le justifie par un court verset du livre de Josué (10-13) où le soelil s’arrête pour permettre la victoire d’Israël.

Ces époques lointaines devraient être révolues car si la fabrication du savoir est entre les mains de scientifiques de plus en plus performants, la connaissance que l’on a de ce savoir est maintenant l’affaire de chacun, de sa propre culture et de son accès à l’information. Quelques cas resteront cependant irréductibles : en 1999, année de l’éclipse totale de Soleil en France, j’ai été pris à parti un jour dans un café, par un consommateur qui croyait encore et doit croire toujours que le Soleil tourne autour de la Terre. Mais, hélas, la crédulité des uns fait le bonheur des autres.

La Terre est plate !

Les peuples de marins peuvent difficilement ignorer que la Terre est ronde. Même par ciel dégagé, les bateaux disparaissent graduellement derrière l’horizon. Ceci ne s’expliquerait pas si la Terre était plate. En revanche, si elle est sphérique, c’est logique. De nos jours, nous disposons d’une preuve qui semble incontournable : les photographies prises de l’espace.

 

Photographie de la Terre prise de l’espace.

Pour certains, cela prouve simplement l’existence d’un complot international pour faire croire que la Terre est ronde ! L’obscurantisme a toujours fait recette à travers les siècles. D’autres sont des personnes cultivant un sens de l’humour atypique. Ainsi, on peut lire sur internet, plaisanterie ou délire ?

La Terre est plate, elle a la forme d’un disque avec, au centre, le Pôle Nord et les continents groupés autour de lui sauf l’Antarctique qui correspond en fait à la circonférence du disque. Personne n’est jamais tombé du disque car personne n’a jamais pu traverser l’Antarctique…

La Terre plate avec le pôle nord en son centre et le pôle sud comme montagne frontière empêchant les océans de se déverser à l’extérieur.

Les expériences d’un ingénieur anglais

Au XIXe siècle, un ingénieur anglais et original, Samuel Rowbotham (1816 – 1864) décida de réaliser des expériences pour décider si la Terre était ronde ou plate. L’idée était de vérifier, en utilisant un télescope, si une rivière, la Bedford, en l’occurrence s’incurvait ou pas. Si la Terre est bien ronde, on ne peut voir un bateau plat sur une rivière à plus de cinq kilomètres… or Rowbotham réussit à en voir un à plus de dix kilomètres ! Preuve que la Terre est plate ? Non, sans doute mais l’expérience est troublante… En fait, elle s’explique par la réfraction de la lumière, le phénomène qui explique les mirages dans le désert. Même si notre ingénieur était animé d’un esprit malicieux, sa démarche était sans contexte de nature scientifique… et son expérience ne fait que raffermir la théorie selon laquelle la Terre est ronde.

La Terre est creuse !

L’existence de vastes cavernes souterraines est une évidence. Tous les spéléologues peuvent en témoigner. Les théories selon lesquelles certaines seraient occupées par des animaux fantastiques ou des civilisations intra-terrestres sont plus hasardeuses. C’est parfait quand elles ne sont que l’occasion d’œuvres littéraires fantastiques, comme chez Jules Verne et son Voyage au centre de la Terre et chez Edgar Jacobs et L’énigme de l’Atlantide.

C’est beaucoup plus ennuyeux quand certains commencent à croire à une Terre réellement creuse et habitée à l’intérieur. Au XVIIe siècle, l’astronome Edmund Halley, celui qui prédit correctement le retour de la comète qui depuis porte son nom, a envisagé une Terre creuse faite de plusieurs coquilles séparées par des atmosphères. Son but était d’expliquer des anomalies dans le champ magnétique. L’hypothèse d’une atmosphère lumineuse à l’intérieur de la Terre expliquait de plus les aurores boréales en s’échappant vers l’extérieur… d’où l’hypothèse d’entrées au niveau des pôles. Halley alla jusqu’à émettre l’hypothèse que ces trois mondes intérieurs pouvaient être habités.

Modèle de Terre creuse.

Cette hypothèse n’a pas convaincu ses collègues scientifiques de l’époque… mais plaît davantage à toutes sortes d’ésotériques modernes. Certains voient même un soleil intérieur et des habitants vivants dans un monde concave, donc les pieds en l’air, ce miracle ayant lieu grâce à la force centrifuge. Bien entendu, la physique nous apprend que c’est impossible !

L’annulation du champ magnétique

Le champ magnétique terrestre s’inverse avec une période fluctuant entre quelques milliers et quelques millions d’années, c’est-à-dire que le pôle nord magnétique est parfois au pôle nord géographique, parfois au pôle sud. La polarité des roches magmatiques, qui dépend du champ magnétique à l’époque de leur solidification, montre que celui-ci s’est inversé plusieurs fois. Que se passe-t-il entre ces deux phases ? Si un champ passe de la valeur –1 à la valeur +1 de manière continue, il semble clair qu’il doit passer par 0 entre les deux. Quand le champ est annulé, le pire devient probable sinon certain, car le magnétisme terrestre est une protection contre les bombardements cosmiques ! On ne peut cependant pas attribuer les principales extinctions de masse (celle du Permien, celle des Dinosaures ou celle des Mammouths) à une inversion du champ magnétique terrestre, comme certains l’ont proposé, car les dates ne correspondent pas ! De plus, un champ continu sur une sphère peut s’inverser sans jamais s’annuler. Il s’agit d’un résultat mathématique. En revanche, il est exact qu’une valeur réelle continue ne peut changer de signe sans s’annuler. Le danger de l’annulation du champ magnétique terrestre est un mythe.

La Terre, être vivant !

Le souffle de Gaïa par Josephine Wall.

1979, un chimiste, James Lovelock, puisant dans la mythologie, assimila la Terre à un organisme vivant, qu’il nomma Gaïa, du nom de la déesse grecque qui personnifie notre planète. En fait, son idée personnelle n’était pas aussi radicale. Il voyait plutôt l’atmosphère terrestre comme un système autorégulé, pas comme un être vivant. Malheureusement, comme on pouvait s’y attendre, cette idée a suscité un bon nombre de dérives mystiques aussi dangereuses qu’inconséquentes. Nous voyons les dangers d’une déification de notre planète ! Respecter notre environnement est une chose, sacrifier l’humanité à une soi-disant déesse en est une autre.

Si le fragile vaisseau Terre doit être préservé, c’est essentiellement pour offrir à l’humanité qui y vit la meilleure chance de se développer.

L’os d’Ishango

Au musée des sciences naturelles de Bruxelles, se trouve un os strié de nombreuses entailles, découvert dans les années 1950 à Ishango au Congo belge (devenu RDC) par Jean de Heinzelin de Braucourt (1920 – 1998). Cet os daté de 20000 ans avant notre ère n’est pas le plus ancien artefact de ce type connu, mais le nombre de ses entailles a donné un grand nombre d’hypothèses.

Compter les entailles

L’os d’Ishango est couvert de stries.

Si on sait chercher, on y trouve le nombre 60 qui, depuis les Mésopotamiens, est lié à l’astronomie, des nombres premiers comme 11, 13, 17 et 19, etc. Certains en ont déduit qu’il s’agissait d’un calendrier lunaire car 60 correspond presqu’au nombre de jours de deux lunaisons. La somme des nombres de deux colonnes se retrouvant parfois ailleurs, d’autres y voient l’ancêtre de la calculatrice. Une autre hypothèse proposée est qu’il s’agirait d’un jeu mathématique qu’aurait pratiqué l’homme d’Ishango.

Calcul des probabilités

La multiplicité des hypothèses montre que leur origine commune réside dans le calcul des probabilités : plus vous considérez de nombres, plus vous y trouverez de relations entre eux et avec d’autres. Il est cependant probable que l’os d’Ishango n’ait été destiné qu’à compter, peut-être du gibier. C’est le plus important car cela prouve que l’homme d’Ishango savait compter, même s’il n’était pas le premier.

Les carnets à spirales sont-ils à hélices ?

En grec ancien, speirao signifiait « enrouler », de bandelettes en particulier, mot qui rapprochait les langes des enfants de ceux des momies. Notre mot « spirale » en dérive… pourtant, de ce temps, « spirale » se disait éliks  … qui a donné notre « hélice ». Les deux mots viennent donc de l’idée d’enrouler, mais les spirales sont tombées dans le monde à deux dimensions tandis que les hélices se sont élevées dans celui à trois dimensions. Hélas, les spirales de la violence comme celles du chômage, ou d’autres encore, nous enfoncent sans cesse et sont donc plutôt des hélices que des spirales.

De façon plus gaie, nous devons à cette confusion première, entre hélice et spirale, les carnets à spirales, si chers à William Sheller, qui pourtant sont à hélices, pas celles des avions, celles plus prosaïques des mathématiques.

Les hélices, des mathématiques aux bateaux et aux avions

Quel rapport entre les hélices des mathématiciens et celles des avionneurs ? A priori, aucun. Pourtant, le premier engin destiné à mouvoir un liquide était la vis d’Archimède, qui est bien construite sur une hélice circulaire. Cette origine explique l’utilisation du terme « hélice » pour tous les engins destinés à mouvoir un fluide, ou à mouvoir un objet dans un fluide.

La vis d’Archimède est une hélice, dans le sens des mathématiques comme de la mécanique des fluides.

Le déclin de l’art de chiffrer sous Napoléon Ier

Sous l’impulsion de la dynastie Rossignol, la cryptographie française a connu une première apogée aux XVIIe et XVIIIe siècles.

La régression de la Révolution et de l’Empire

L’excellence française en matière de cryptographie se perdit à la Révolution. Une des raisons pour cela est sans doute la dissolution du cabinet noir, ce qui était une des doléances importantes de 1789. Une expertise qui se transmettait de génération en génération semble alors s’être perdue. En particulier, la faiblesse de ne chiffrer que les parties qu’on veut garder secrètes devint presque systématique dans l’armée révolutionnaire et dans l’armée impériale qui lui succéda. On y distinguait deux types de chiffres, les petits et les grands, même s’il ne serait pas exagéré de dire qu’ils étaient tous rendus petits par leurs utilisateurs, comme cela ressort des papiers de George Scovell , le décrypteur du général britannique Wellington au Portugal et en Espagne.

George Scovell (1774 – 1861)

Comme ils le feront ensuite au cours des deux guerres mondiales, les Britanniques systématisèrent l’interception et le décryptement des messages en créant, sous les ordres de Scovell, un corps d’éclaireurs chargé, en plus de la mission habituelle de guider l’armée, de porter les messages, d’intercepter ceux de l’ennemis et de les décrypter. Bien entendu, ces éclaireurs étaient choisis pour leur connaissance du français, de l’espagnol et de l’anglais, en plus de leurs qualités proprement militaires. En ce qui concerne l’interception, les éclaireurs de Scovell furent aidés par la guérilla qui rendit les routes peu sûres pour l’armée française, si elle ne se déplaçait pas en nombre. Les petits chiffres pouvaient être de simples substitutions alphabétiques.

Un exemple lors de la campagne d’Allemagne en 1813

Les dépêches de la Grande Armée étaient envoyées en plusieurs exemplaires. L’ennemi récupérait souvent plusieurs exemplaires du même message ce qui aurait pu ne pas être grave s’ils avaient tous étaient chiffrés de façon identique. La reproduction se faisait apparemment à partir de l’original non chiffré ce qui donne, par exemple, ces deux exemplaires chiffrés différemment de la même dépêche du Maréchal Berthier en septembre 1813, un mois avant la bataille de Leipzig.

Dépêche chiffrée

Péterswald, ce 17 septembre 1813,

Monsieur le Maréchal,

L’empereur ordonne que 175. 138. 167. 164. 90. 138. 167. 152. 169. 145. 53. 166. 117. 137. 103. 157. 176. 152. 167. 134. 37. 37. 117. 174. 169. 106. 171. 15. 117. 15. 132. 6. 175. 176. 126. 48. 164. 153. 126. 32. 50. 175. 176. 126. 25. 68. 94. 105. 122. 171. 115. 176. 15. 164. 118.169. 166. 35. 138. 169. 81. 136. 20. 173. 138. 53. 171. 107. 87. 82. 131.. 15. 52. 134. 81. 94. 137. 90. 138. 169. 106. 51. 169. 116. 168. 115. 175. 176. 126. 137. 148. 115. 6. 119. 156. 90. 3. 176. 177. 146. 146.52.169. 82. 131. 169. 107. 92. 126. 52. 167. 23. 53. 35. 138. 6. 61. 167. 52. 106. 171. 39. 53. 50. 52. 6. 72. 167. 177. 169. 117. 167. 137. 22. 145. 171. 115. 167.68.154. 107. 94. 138. 164. 126. 115. 176. 16. 115. 167. 20. 176. 131. 67. 126. 6. 145. 175. 138. 167. 126. 115. 23. 126. 68. 23. 159. 92. 53. 93. 81. 94. 137. 22. 6. 90. 35. 138. 169.81. 174. 169. 119.53. 115.15.

Le Prince Vice-Connétable, Major Général,

Berthier

Dépêche partiellement chiffrée

Péterswald, ce 17 septembre 1813,

Monsieur le Maréchal,

L’empereur ordonne que vous vous portiez le plus tôt possible 167. 138. 169. 106. 171. 15. 117 avec son infanterie, sa cavalerie et son artillerie, en ne laissant 15. 164. 138. 169. 176. 166. 35. 138. 169. 81 que ce que Sa Majesté a désigné pour 106. 78. Son principal but sera de rester 107. 87. 176. 169. 53. 52. 167. 52. 35. 138. 6. 85. 82. 52. 106. 171. 171. 15. 117 et de chasser 117. 107. 156. 169. 145. 171. 115. 167. 68 qui manœuvrent dans 20. 176. 131. 75. Vous pouvez vous rendre en droite ligne 156. 169. 40. 35. 138. 169. 81. 167. 138. 169. 87. 53. 91.

Le Prince Vice-Connétable, Major Général,

Berthier

Conséquences

Grâce à cette maladresse, si les deux messages sont interceptés, l’ennemi peut commencer à les décrypter. Par exemple, la première phrase « L’empereur ordonne que vous vous portiez le plus tôt possible » appelle en suite « sur une ville ou un lieu. Il est vraisemblable que 167 signifie S, 138, U et 169, R. De même, « en ne laissant » appelle « à » donc 15 signifie probablement A. En reportant ceci dans le texte, on découvre à la fin de la dépêche :

« Vous pouvez vous rendre en droite ligne 169. R. 40. 35. UR. 81. S U R 87. 53. A. » ce qui signifie vraisemblablement : Vous pouvez vous rendre en droite ligne par telle ville (40. 35. UR. 81.) sur telle autre (87. 53. A). Le nom de la première ville, qui est allemande, finit sans doute par « burg » donc 35 signifie B et 81, G.

La partie entièrement chiffrée commence alors à se dévoiler. Par exemple, le « vous vous » a été chiffré en 175. U. S. 164. 90. U. S. donc 175 signifie VO, 164, V et 90, O. Ces équivalences permettent de progresser au point que l’avant dernière ville se dévoile, il s’agit de Coburg. Une carte d’Allemagne nous permet alors de penser que la dernière ville, dont le nom finit par A, est Iéna. En continuant ainsi, on finit par découvrir la dépêche de Berthier :

L’empereur ordonne que vous vous portiez le plus tôt possible sur la Saale, avec son infanterie, sa cavalerie et son artillerie, en ne laissant à Wurtzburg que ce que sa Majesté a désigné pour la garnison. Son principal but sera de rester maître des débouchés de la Saale et de chasser les partisans ennemis qui manœuvrent dans cette direction. Vous pouvez vous rendre en droite ligne par Coburg sur Iéna.

Généralité de l’erreur

Cette erreur de chiffrer de deux façons différentes la même dépêche se retrouve à d’autres époques. Ainsi, la machine de Lorenz utilisée par les Allemands pour les dépêches entre le quartier général à Berlin et les armées fut décryptée suite à une erreur de procédure de ce type. Même si les méthodes ont changées, les leçons du passé restent valables.

 

La géométrie des fortifications de Vauban

Les forts du Moyen-Âge peuvent avoir des formes polygonales. Celles-ci restent cependant convexes. La règle pour les forts de l’époque de Vauban est différente. En terrain plat, on part d’un polygone régulier convexe. La longueur des côtés correspond à la portée utile des pièces d’artillerie de l’époque, un peu moins pour que l’effet soit meilleur. La norme est de 330 mètres. Le nombre de côtés dépend alors de la taille de la ville à ceinturer ainsi. Par exemple, un pentagone régulier de côté égal à 330 mètres englobe une surface de 18 hectares, un hexagone, 28 et un octogone, 52.

Partons ici d’un pentagone comme pour la citadelle de Lille. Au milieu de chaque côté, perpendiculairement et vers l’intérieur, nous portons une longueur de 55 mètres. Nous obtenons, un polygone plus compliqué en forme d’étoile.

Schéma de base d’une fortification bastionnée.

 

Ajout des bastions

Le but est d’établir aux sommets du polygone initial de petits fortins appelés « bastions » et destinés à recevoir des pièces d’artillerie pouvant couvrir les côtés du polygone en étoile, appelés « courtines ». Pour éviter d’être de trop bonnes cibles pour l’artillerie adverse, ces remparts ne dépassent pas du paysage. Leur hauteur vient des fossés situés autour. Ces murs sont essentiellement constitués de terre pour mieux résister aux boulets en fer. La maçonnerie qui les entoure est destinée à tenir le tout. Du côté de la place forte, elle se nomme l’escarpe. De l’autre côté, la contrescarpe. Un domaine est laissé vide et sans protection pour l’ennemi tout autour. Il se nomme le glacis. Sa longueur correspond au minimum à la portée des canons. Vu du glacis, l’assaillant n’aperçoit que des murailles modestes puisque le fossé les dissimule.

Nous sommes maintenant en présence de plusieurs polygones, l’un extérieur joignant les extrémités des bastions, l’autre intérieur dans le prolongement des courtines. Un autre limite le glacis.

Les bastions (en bleu) situés aux sommets du pentagone sont destinés à couvrir les courtines (en rouge). Les murs extérieurs des deux forment l’escarpe. La contrescarpe n’est pas indiquée sur cette figure. Elle est située de l’autre côté du fossé entourant le rempart.

Multiplication des défenses externes

Demi-lune vue du fort à Mont-Dauphin. Cette fortification protège la citadelle tout en restant sous le feu en provenant. L’ennemi ne peut que difficilement s’y maintenir après l’avoir prise.

Pour éviter ce défaut, Vauban a l’idée d’ajouter deux défenses externes devant chaque courtine : la tenaille à son pied et la demi-lune devant. Chacune de ces défenses n’offre aucune protection du côté de la place forte elle-même. Si l’ennemi la prend, il s’y trouve à découvert, donc dans une position difficile à tenir.

Les tenailles (près du fort) et les demi-lunes (toutes en vert) sont destinées à retarder l’ennemi dans sa progression. Ces fortifications ne sont pas fortifiées du côté de la place forte.

Vauban généralisa ce principe en détachant les bastions de la place forte elle-même. D’autre part, le tout est entouré d’un dernier petit rempart parallèle et recouvert, appelé « chemin couvert ». Ainsi, il se situe au sommet de la contrescarpe. Il s’agit en même temps de la première ligne de défense et d’un chemin de ronde, destiné à l’observation.

Les bastions sont détachés de la place. Sur cette photo, la direction de la meurtrière montre leur usage. Il s’agit de placer les courtines sous le feu de la place.

 

 

Comment peut-on chiffrer avec une courbe ?

Vous avez peut-être entendu d’une méthode de cryptographie utilisant des courbes, des courbes elliptiques plus précisément. Mais comment peut-on chiffrer, c’est-à-dire transformer un message clair en un message caché, avec une courbe ?

Les courbes elliptiques

Les courbes en question sont les courbes elliptiques, c’est-à-dire des courbes d’équation y2 = x3 + a x + ba et b sont des nombres, par exemple y2 = x3 – 2 x + 1 ce qui peut se dessiner. On obtient la figure suivante.

La courbe est l’ensemble des points M de coordonnées x et y vérifiant l’équation ci-dessus, c’est-à-dire y2 = x3 – 2 x + 1.

Le rapport avec les ellipses, qui sont des cercles « aplatis » sur l’un de leur diamètre, est indirect puisqu’il concerne le calcul de leurs longueurs. Nous n’insisterons pas sur ce point car il n’a aucun rapport avec la cryptographie. L’intérêt est qu’on peut définir des opérations transformant les points de cette courbe en un autre. On s’approche de l’idée de chiffrement … sans encore l’avoir atteinte toutefois.

Loi de groupe sur une courbe elliptique

L’avantage des courbes elliptiques est qu’on peut y définir une loi. La figure suivante montre comment, à deux points P et Q de la courbe, on associe un point que l’on note P + Q.

Dans le cas général, on trace la droite PQ. Elle coupe la courbe en un point R, P + Q est le symétrique de R par rapport à l’axe des abscisses. Si P = Q, PQ est la tangente en P à la courbe. Pour que cette définition fonctionne dans tous les cas, nous devons adjoindre à la courbe un point à l’infini, que nous notons 0. Si PQ est verticale, P + Q = 0.

On montre que cette loi + a les propriétés habituelles de l’addition des nombres, soit l’associativité, la commutativité, l’existence d’un point neutre (le point à l’infini) et d’un symétrique pour tout point (le symétrique par rapport à l’axe des abscisses justement).

Remarque : on trouvera les détails des calculs sur mon site : ici

Chiffrement

Pour chiffrer, on ne considère pas les courbes elliptiques sur le corps des nombres réels mais sur un corps fini comme Z / N où N est un nombre premier. La courbe a alors un nombre fini de points. L’idée de départ est qu’un texte peut être transformé en une suite de points de la courbe. Cela revient à écrire dans un alphabet ayant autant de signes que la courbe a de points. Notons que le problème sous-jacent n’a rien de simple mais, théoriquement, le chiffrement consiste alors à transformer un point de la courbe. La clef secrète est constituée d’un point P de la courbe et d’un nombre entier, comme 3 par exemple. On calcule ensuite P ’ = 3 P. La clef publique est alors le couple de points (P, P ’). Pour crypter un point M, le chiffreur choisit un entier, 23 par exemple, et transmet le couple (U, V) défini par : U = 23 P et V = M + 23 P ’. La connaissance du premier nombre, ici 3, suffit pour retrouver M car M = V – 3 U.

Logarithme discret

Pour retrouver le nombre choisi, 3 dans notre exemple, connaissant P et P ’, il suffit de savoir résoudre l’équation : P ’ = 3 P. L’utilisation du verbe « suffir » ne doit pas tromper. Cela ne signifie absolument pas que cela soit facile mais que, si vous savez le faire, vous savez décrypter. Le nombre 3 est alors appelé un logarithme discret ce qui n’est guère intuitif si on utilise la notation additive ci-dessus. Avec une notation multiplicative de l’opération de groupe, cela devient plus habituel puisque l’équation s’écrit alors : P ’ = P3. Dans l’ensemble des nombres usuels, 3 correspondrait au logarithme de base P de P ’ d’où le nom dans le cadre d’un groupe fini. À l’heure actuelle, ce problème est considéré comme très difficile. On estime qu’une clef de 200 bits pour les courbes elliptiques est plus sûre qu’une clef de 1024 bits pour la méthode R.S.A. Comme les calculs sur les courbes elliptiques ne sont pas compliqués à réaliser, c’est un gros avantage pour les cartes à puces où on dispose de peu de puissance, et où la taille de la clef influe beaucoup sur les performances. Les inconvénients sont de deux ordres. D’une part, la théorie des fonctions elliptiques est complexe et relativement récente. Il n’est pas exclu que l’on puisse contourner le problème du logarithme discret. D’autre part, la technologie de cryptographie par courbe elliptique a fait l’objet du dépôt de nombreux brevets à travers le monde. Cela pourrait rendre son utilisation coûteuse !

Comment évaluer l’espérance de vie d’un bébé qui vient de naître ?

Une fille vient de naître. Les médias nous apprennent qu’elle a une espérance de vie de 85 ans. D’où vient cette prédiction ? Que signifie l’espérance de vie ? Pour le comprendre, dans un premier temps, oubliez le sens commun du verbe « espérer » car la définition n’est claire que pour les générations entièrement décédées ! La voici. L’espérance de vie est la durée moyenne de vie des personnes nées la même année. La définition est étrange puisque, toutes ces personnes étant décédées, leur vie n’est plus une espérance. Si ce n’était le côté macabre, peut-être vaudrait-il mieux parler d’âge moyen à la mort ? La notion est identique, même si l’espérance de vie devient équivalente à celle de mort. Toutefois, le terme « espérance de vie » se comprend mieux pour les vivants.

Une définition macabre

Pour l’instant, restons malgré tout sur les générations passées car ce sont les seules qui permettent des calculs certains. Pour déterminer l’espérance de vie des gens nés en 1850 par exemple, il suffit de connaître tous les actes de naissance de 1850 et tous les actes de décès postérieurs. On en déduit les âges au décès et on en fait la moyenne… on trouve 41 ans. Cependant, ce calcul n’est possible que pour les générations entièrement décédées, pas pour les enfants qui viennent de naître !

Un modèle de la réalité

Pour prévoir l’espérance de vie de ceux qui viennent de naître, on imagine qu’ils subiront à chaque âge de leur vie la mortalité de l’année en cours. Plus précisément, on calcule le quotient de mortalité des deux sexes à chaque âge grâce à des estimations de population et de décès. En l’absence de toute migration, l’idée est très simple. Le premier janvier 2009, on compte 440428 hommes de 40 ans et 815 décès d’hommes de 40 ans pendant l’année 2 009. Le quotient de mortalité des hommes de 40 ans est donc estimé à 815 divisé par 440 428, soit 1,850 ‰. La méthode est fiable si on peut appliquer la loi des grands nombres. Ses résultats sont fantaisistes quand ce n’est pas le cas, particulièrement pour les grands âges.

À partir de ces quotients de mortalité des personnes de chaque âge, les statisticiens reconstruisent des tables de mortalité. On ne considère donc plus une population réelle mais une génération fictive de 100000 individus qui connaîtrait toute sa vie les conditions de mortalité par âge de l’année considérée. La table que l’on peut construire chaque année sur cette génération fictive est appelée la table du moment. C’est à partir de cette table qu’on calcule l’espérance de vie des enfants dès leur naissance. Cette méthode est fondée sur l’hypothèse que la situation de la mortalité restera identique à ce qu’elle est actuellement, et ceci alors même que nous savons qu’il n’en est rien ! Malgré tout, ces résultats donnent une idée plus vraisemblable de la réalité du futur que l’utilisation de tables de mortalité de générations décédées. Mieux vaut parfois une approximation raisonnable qu’une précision illusoire.

 

Le petit rapporteur

Rapporteur : outil de mesure d’angles connu pour son côté délateur

Nous dédions notre définition à la mémoire de Pierre Desproges (1939 – 1988), qui aurait pu en être l’auteur, et dont le nom reste attaché au Petit Rapporteur, une émission culte des années 70. Cette émission traitait de l’actualité sous l’angle pervers du petit bout de la lorgnette. Malgré ce point, son rapport avec les angles et les mathématiques peut sembler anecdotique.

La devise du petit rapporteur fait référence à celle du Figaro : sans la liberté de blâmer, il n’est point d’éloge flatteur.

 L’humour mathématicien

Cependant, l’humour du Petit Rapporteur évoque bien celui des mathématiciens qui frôle toujours l’absurde. On s’en convaincra au travers de quelques pièces d’anthologie accessibles sur internet, en particulier de la fameuse interview de Françoise Sagan par Pierre Desproges et de la bataille de boudin blanc entre Pierre Desproges et Daniel Prévost, sans parler de la visite à Montcuq de Daniel Prévost.