Les chiffres, des marqueurs du pouvoir ?

Les médecins de Molière asseyaient leur prestige et leur pouvoir sur quelques mots vaguement, très vaguement, latin. À l’époque, cette langue déjà morte depuis longtemps était la marque des savants et des puissants. C’était celle aussi qui expliquait le monde, aussi bien par la religion que par la science. Même si elle s’est affaiblie progressivement depuis, elle a gardé un pouvoir extraordinaire jusqu’au milieu du XXe siècle.

Puissants mais ignorants

Pourtant, feu le pouvoir du latin ne venait pas d’une connaissance de cette langue, ni des élites, ni du peuple. Tous l’ignoraient à des degrés divers mais cela faisait savant et le peuple envoûté ne pouvait répondre à un argument s’il était énoncé dans cette langue. La religion est mystère et quoi de mieux qu’une langue venue de la nuit des temps pour l’évoquer ? Le pouvoir du latin venait d’ailleurs de là. D’autres religions fonctionnent de même. Aux yeux du peuple, les caractéristiques essentielles du latin étaient d’être une langue partagée par les savants et les puissants, qui explique le monde, tout en étant incompréhensible donc incontestable par le commun des mortels.

Les chiffres, le latin de notre époque ?

Il suffit de lire ces trois caractéristiques pour voir que, dans notre monde occidental, la langue des chiffres a aujourd’hui remplacé le latin. Même envoûtement sans compréhension ni possibilité de contestation. Si Molière vivait de nos jours, il s’amuserait sans doute de certains débats autour de pourcentages où nul ne semble rien comprendre… et personne n’ose le dire. Prenons un exemple. Dans un pays imaginaire, un homme politique affirme : Monsieur, vous avez augmenté les impôts de 20 %, nous les rétablirons en les baissant de 20 % ! Son adversaire passera sans doute pour un extraterrestre s’il fait remarquer que cela ne correspond pas à un rétablissement mais finalement à une baisse. En effet, si on multiplie les impôts par 1,2, ce qui correspond à l’augmentation de 20 %, pour les multiplier ensuite par 0,8, ce qui correspond à la baisse de 20 %, nous les avons finalement multipliés par 1,2 x 0,8, soit 0,96… ce qui correspond à une baisse finale de 4 %. Dans un autre style, voici un discours a priori très convaincant : La part de la richesse produite détenue par les 1 % les plus riches est passée de 7 à 9 % entre 1982 et 2006. À l’inverse les bas salaires ont eux stagné et, sur 25 ans, la hausse du SMIC net réel demeure bien inférieure à celle des gains de productivité moyens. À la première lecture, il semble très précis, tout est chiffré : 1 %, 7 à 9 %, etc. À la seconde lecture, on s’aperçoit que tout est flou. Par exemple, le rédacteur a mis en parallèle, les 1 % plus riches et les bas salaires. Ces plus riches sont-ils « les plus haut salaires » ou « les plus grosses fortunes » ? Sur le fond, cela n’a guère d’importance, l’idée véhiculée est claire mais que viennent faire ces chiffres dans l’affaire ? La réponse est la même que pour les médecins de Molière. Le rédacteur de ce texte a voulu s’auréoler du prestige d’une science qui lui semble étrangère. Nous voyons sur cet exemple, que nous aimerions imaginaire, que les chiffres ont bien pris la place autrefois occupée par le latin chez ceux qui briguent le pouvoir…

La preuve par les chiffres

Certains chiffres ne font que sous-entendre. Par exemple, que penser de l’affirmation : La fortune de Bill Gates équivaut au Produit Intérieur Brut du Portugal ? Elle sous-entend que certains individus, dont Bill Gates, sont plus puissants que certains états, et non des moindres. Pourtant, que compare-t-on ici ? D’un côté, tout le patrimoine de Bill Gates, de l’autre, la richesse produite en une année au Portugal. La même confusion que la précédente ! Si l’on voulait prouver que Bill Gates est plus puissant que le Portugal, il faudrait comparer les deux patrimoines. En fait, la fortune de Bill Gates a beau être colossale pour un seul individu, c’est une goutte d’eau par rapport à celle du Portugal. On retrouve la même utilisation des chiffres dans des affirmations du style : Pour les États-Unis, la valeur des actifs des fonds de pension était en 1996 de 4 752 milliards de dollars, soit 62 % du PIB américain, celle de fonds de placement collectif de 3 539 milliards de dollars, soit 46 % du PIB, et celle des compagnies d’assurance s’établissait 3 052 milliards soit 30 % du PIB. Au total, ces fonds de pension détiennent l’équivalent de 138 % du PIB américain. Autrement dit, on confond sciemment ou non, un revenu et un patrimoine… Il est facile de produire à l’envi ce genre de preuve.

 

Fahrenheit et la peur des nombres négatifs

Sans doute pour éviter les nombres négatifs, Daniel Gabriel Fahrenheit (1686 – 1736) fixa l’origine des températures (0° Fahrenheit) à la plus basse qu’il ait observée. C’était durant l’hiver 1709 dans la ville de Dantzig, où il habitait. Pour 100° Fahrenheit, il choisit la température corporelle d’un cheval sain ! Dans son système, l’eau gèle à 32° et elle bout à 212° environ.

100° Fahrenheit correspond à la température corporelle d’un cheval sain.

L’absolu du zéro

Ces choix étranges de Fahrenheit s’expliquent par la réticence de l’époque devant les nombres négatifs. On préférait d’ailleurs parler de quantités plutôt que de nombres. Il s’agissait d’artifices de calcul pour résoudre des équations, dont on écartait ensuite les solutions négatives. Tout en étant une origine, zéro véhicule une idée d’absolu, en dessous duquel on ne peut aller, comme on le voit chez Blaise Pascal (1623 – 1662) qui, dans ses Pensées, écrit cette phrase surprenante :

Trop de vérité nous étonne ; j’en sais qui ne peuvent comprendre que, qui de zéro ôte 4, reste zéro.

Cette idée a perduré jusqu’au XIXe siècle, Lazare Carnot (1753 – 1823) écrivait encore :

Pour obtenir réellement une quantité négative isolée, il faudrait retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible. Comment donc concevoir une quantité négative isolée ?

La solution de Cauchy

La question semble cependant résolue avec Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) qui, dans son Cours d’analyse de l’Ecole royale polytechnique définit les nombres relatifs comme une partie numérique précédée d’un signe + ou – :

Le signe + ou – placé devant un nombre en modifiera la signification, à-peu-près comme un adjectif modifie celle du substantif.

Conversion entre degrés Celsius et degrés Fahrenheit

Les variations étant linéaires dans les deux cas, la relation est affine, c’est-à-dire de la forme : TF = a TC + b. Les deux coïncidences donnent les relations : b = 32 et 100 a + b = 212 d’où : a = 1,8 et b = 32. Nous en déduisons la formule : TF = 1,8 TC + 32. Ainsi la température de 37° Celsius donne : 1,8 x 37 + 32 = 98,6° Fahrenheit.

La psychologie des nombres

Quelle est la différence entre 98 € et 100 € ? Mathématiquement parlant, la réponse est 2 €. Au niveau psychologique ou émotionnel, la différence est bien plus importante. Pour ne pas en être victime, la méthode est simple : arrondissez ! Si on vous dit 98 €, traduisez en 100 € et vous ne serez pas piégé. Dans l’esprit de l’acheteur, 98 € signifie 90 € plus quelques euros. Il raisonne en logique additive. Sauf pour les produits de prestige, qui doivent être chers, il vaut mieux afficher ses prix dans la dizaine inférieure. Plusieurs expériences ont été menées aux États-Unis. En particulier, l’envoi de deux catalogues identiques, l’un affichant des prix ronds comme 10 $ et l’autre des prix minorés de 1 cent, comme 9,99 $, a montré que le second catalogue apportait plus de ventes.

Le prix psychologique

De façon plus étonnante sans doute, le meilleur prix pour maximiser le profit sur un produit n’est ni le plus petit, ni le plus grand possible. Ce prix, qui peut être déterminé au moyen d’un sondage, est appelé le « prix psychologique ». En dessous de ce prix, le produit semble de qualité insuffisante à l’acheteur potentiel. Au-dessus, il paraît trop cher.

Détermination graphique du prix psychologique. La courbe du dessus représente le pourcentage d’acheteurs potentiels estimant le produit de qualité suffisante, celle du bas, le pourcentage l’estimant trop cher. Le prix psychologique correspond au point où l’écart est le plus grand.

En revanche, si vous voulez écrire un livre de conseils pour réussir, mieux vaut en proposer 31 que 29 car ce nombre sera perçu comme bien plus grand.

Les mathématiques du certificat d’études

Au courant du XVIIe siècle, les mathématiques de feu le certificat d’études étaient en place. Les ouvrages d’apprentissage du nouveau calcul foisonnaient d’exercices. Sous des dehors liés à la vie de tous les jours, leur but était d’entraîner à l’utilisation des algorithmes des opérations (addition, soustraction, multiplication et division) ainsi qu’au raisonnement mathématique.

Un exemple de Simon Stevin

Aune de tailleur.

En particulier, La pratique de l’arithmétique de Simon Stevin (1548 – 1620) contient une foule d’exercices du type :

14 aunes de drap coûtent 5 livres, 2 sous et 8 deniers, combien coûteront 25 aunes ?

Pour résoudre cet exercice, inutile de savoir ce que représente une aune, il suffit de savoir qu’une livre vaut 20 sous et un sou, 12 deniers. Le plus simple pour le résoudre est de transformer la somme donnée en deniers. Une livre vaut 20 x 12 = 240 deniers donc 5 livres, 1200. Les 14 aunes valent donc 1232 deniers. On obtient le prix d’une aune en divisant par 14, ce qui donne 88 deniers. Le prix de 25 aunes est donc égal à 25 x 88 = 2200 deniers, qu’il reste à traduire dans le système initial. En divisant 2200 par 240, on obtient 9 livres et il reste 40 deniers, ce qui fait 3 sous et 4 deniers. Finalement, les 25 aunes coûtent 9 livres, 3 sous et 4 deniers.

Intérêt du système décimal

Heureusement, l’arithmétique est devenue plus simple avec le système décimal ! Pour le montrer, voici un exemple moderne :

Nicolas achète 350 grammes de pommes pour 1 €. Derrière lui, Pimprenelle en achète 1 kilo 435. Combien va-t-elle payer ?

Voici le raisonnement canonique pour résoudre ce type de problème. Ici le terme « canon » n’a rien à voir avec l’artillerie, il signifie « règle » comme toujours en mathématiques. Si 350 grammes coûtent 1 €, 1 gramme coûte 1 / 350 € et 1435, 1435 / 350 soit 4 € 10. Nous avons appliqué ici, sans l’écrire, une règle de trois que certains nomment produit en croix. Peu importe l’appellation, l’esprit vaut mieux que la lettre. Dans les deux cas, le raisonnement sous-jacent est abstrait puisqu’il consiste à inventer une fiction : la vente d’un gramme de pommes ! Il montre que, même dans les applications les plus élémentaires, il n’existe pas de mathématiques sans abstraction, ou sans réflexion. Leur apprentissage exige application, cogitation et quantité d’exercices, comme l’escalade, le tennis ou le football.

La voie royale

Cela n’est pas nouveau comme le montre l’anecdote suivante, qu’elle soit vraie ou non. Selon la légende, Euclide enseigna les mathématiques au roi d’Égypte. Rapidement, celui-ci demanda un accès au savoir simplifié, par égard à sa majesté. Euclide répondit : Désolé sire, en mathématiques, il n’y a pas de voie royale. Il n’en existe toujours pas, que cela soit pour les rois ou les enfants-rois. Vouloir en inventer sous prétexte de faciliter l’apprentissage des mathématiques est voué à l’échec. L’idée ne fait qu’en interdire l’accès.

La règle à calcul, autrefois symbole de l’ingénieur

Une façon d’effectuer les additions est d’utiliser les propriétés des longueurs : deux mètres plus trois mètres font cinq mètres. Ainsi, avec deux règles graduées, on peut facilement opérer une addition.

En faisant coïncider le 0 de la règle verte avec le 2 de la règle bleue, on lit sous la graduation 5 de la verte, la somme de 2 et de 5.

L’idée sous-jacente est tellement simple qu’on ne voit pas immédiatement l’analogie sous-jacente. Elle consiste pourtant à assimiler nombre et longueur, deux notions a priori distinctes. En grec, le sens premier d’analogie est « proportion mathématique ». On passe d’une quantité à une autre par l’application d’un certain rapport. Cependant, dès l’époque de Platon, ce terme a pris le sens plus général de correspondance, de ressemblance, de similitude. En mathématiques, il est aujourd’hui utilisé à plusieurs niveaux, du concret à l’abstrait, du rigoureux à l’approximatif ou à l’heuristique, c’est-à-dire à ce qui donne des idées.

Et les multiplications …

La fonction logarithme transformant une multiplication en addition donne alors une méthode analogique pour calculer un produit. Il suffit de transformer l’échelle linéaire en échelle logarithmique. On obtient un instrument de calcul utilisé avant l’avènement des calculatrices bon marché, et autrefois symbole de l’ingénieur.

Une règle à calculs est composée de trois réglettes dont une coulisse entre les deux autres. En faisant coïncider la graduation 1 de l’une et la graduation 2 de l’autre, puis en alignant le curseur sur la graduation 5 de la première, on lit le résultat de la multiplication 2 x 5 sur la seconde.

Bien entendu, la règle à calcul permet d’effectuer également des divisions et toutes sortes de calculs plus complexes.

Le calcul analogique

De façon plus générale, l’idée du calcul analogique est de représenter les nombres par des grandeurs géométriques (longueurs, aires, volumes, angles) ou physiques (mécaniques, électriques, hydrauliques, chimiques), et d’exploiter des phénomènes géométriques ou physiques dont la modélisation mathématique est fondée sur les équations que l’on veut résoudre. En particulier, des systèmes électriques permettent de résoudre automatiquement certaines équations : celles qui les régissent. Les calculateurs analogiques ont été en usage jusqu’à ce que les ordinateurs, ou calculateurs numériques, les supplantent, c’est-à-dire jusqu’au début des années 70. Dans le domaine du calcul scientifique, numérique est ainsi devenu l’opposé d’analogique.

Mes règles à calcul

Mes premières règles à calcul ont été fabriquées en bambou, c’était alors un symbole de qualité.

Règle en bambou de la marque HEMMI de 30 cm de long
Règle en bambou de la marque HEMMI de 14 cm de long, la précision était moindre mais la règle tenait dans la poche pectorale d’une blouse.
Règle en bambou de la marque HEMMI de 10 cm de long, avec loupe.

Les suivantes sont en matière plastique comme celle-ci.

Petite règle à calcul en matière plastique de la marque Graphoplex. Longueur 15 cm.La dernière ressemble à une règle à calcul mais ne possède par de réglette mobile. C’est en fait une règle de conversion entre les unités internationales (mètres, etc.) et les unités américaines (pieds, etc.).

Règle de conversions entre les unités internationales et les unités américaines en plastique Graphoplex.