A priori, les nombres premiers sont les nombres entiers naturels (1, 2, 3, 4 , 5, 6, etc.) qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes ce qui amène à éliminer dans la liste précédente les nombres composés c’est-à-dire produits de deux nombres comme 4 (2 x 2), 6 (2 x 3), etc.

1 est-il premier ?

Avec cette définition, 1 serait premier. On l’élimine pourtant en ajoutant qu’un nombre premier doit avoir deux diviseurs  distincts: 1 et lui-même. La raison est plus profonde qu’il ne peut paraître. Voyons pourquoi.

Le théorème fondamental de l’arithmétique

Si on exclut 1 de l’ensemble des nombres premiers, on peut démontrer un théorème fondamental en arithmétique :

tout nombre entier naturel supérieur à 2 est le produit d’un nombre fini de nombres premiers et ce de façon unique, à l’ordre près des facteurs.

Ainsi, 530 = 2 x 5 x 53

Pour démontrer ce théorème, l’essentiel est de montrer que tout nombre est soit premier, soit divisible par un nombre premier… ce qui est une évidence. En appliquant cette remarque de façon itérative, nous aboutissons à notre théorème.

Si on n’exclut pas 1, toute décomposition est multiple puisqu’on peut ajouter autant de facteurs 1 que l’on veut sans changer le résultat. Voila pourquoi on élimine 1 de la liste des nombres premiers.