Cosme II de Médicis, Grand-duc de Toscane, avait remarqué qu’en jetant trois dés, le total dix sortait plus souvent que le neuf. Pourtant, il existait autant de façons de décomposer neuf et dix en somme de trois nombres entre un et six, ce qui lui semblait contradictoire.

Ce paradoxe est connu sous le nom de paradoxe de Toscane.

La solution de Galilée

Galilée (1564 – 1642), qui fut le précepteur de Cosme II, trouva la raison de cette bizarrerie. On peut comprendre son mécanisme en considérant le jeu de pile ou face. Si la pièce n’est pas pipée, la probabilité d’obtenir pile est égale à ½ et de même celle d’obtenir face. Si on joue deux fois de suite, chacune des possibilités PP, PF, FP et FF est équiprobable donc leurs probabilités sont toutes égales à ¼. Si on jette les deux pièces à la fois, les probabilités d’avoir deux piles ou deux faces sont égales à ¼ mais celle d’avoir un pile et un face est égale à ½ car elle regroupe les deux cas PF et FP. Il en va exactement de même dans le paradoxe de Toscane. Les décompositions de neuf et dix ne sont pas équivalentes de ce point de vue. La différence tient en la décomposition de neuf en trois fois le même nombre, ce qui est impossible pour dix. Le calcul permet d’établir que la probabilité d’obtenir neuf est égale à 25/216 alors que celle d’obtenir dix est égale à 27 / 216 soit 1/8. Ces deux nombres montrent que Cosme était fin observateur, et vraiment très grand joueur, car les probabilités ne diffèrent que de 1 %.