L’univers holographique (4) : La conjecture de Maldacena

Suite du billet précédent : L’univers holographique (3) : De l’entropie à l’hypothèse holographique

Juan Maldacena en 2013
Juan Maldacena en 2013

Confrontés à la difficulté d’appliquer le principe holographique à un modèle d’univers réaliste, les physiciens se sont tournés vers des modèles d’univers simplifiés, dans lesquels le principe pourrait s’appliquer. La première réalisation concrète a été l’œuvre du jeune chercheur argentin Juan Maldacena qui, en novembre 1997, publia un résultat étonnant, assorti d’une audacieuse conjecture mathématique[1].

Considérant un trou noir dans un modèle d’espace-temps à cinq dimensions macroscopiques caractérisé par une géométrie dite anti-de Sitter, il montra que les détails des phénomènes se déroulant dans cet univers, décrits par la théorie des cordes et incluant donc la gravitation, étaient entièrement codés dans le comportement de certains champs quantiques (non gravitationnels) se déroulant sur la frontière quadridimensionnelle de cet univers.

Vue d'artiste de l'équivalence
Vue d’artiste de l’hypothèse de Maldacena

L’espace-temps de de Sitter est une solution exacte des équations de la relativité générale ordinaire découverte dès 1917, vide de matière mais qui comprend une force répulsive appelée constante cosmologique, de valeur positive ; si maintenant on change le signe de la constante cosmologique, la force de répulsion devient attractive et le modèle se transforme en un espace-temps anti-de Sitter[2] . Ce dernier acquiert une géométrie spatiale hyperbolique (c’est-à-dire de courbure négative) et, bien qu’il soit infini, possède un « bord » bien défini. Pour représenter ce bord, on utilise la représentation de Poincaré du disque hyperbolique qui, à l’aide d’une transformation conforme conservant les angles mais pas les distances, ramène l’infini à distance finie. L’artiste néerlandais Mauritz Cornelius Escher a créé une célèbre série d’estampes intitulées Circle Limits dans lesquelles il utilise la représentation de Poincaré, voir par exemple [3].

Poincaré representation of the hyperbolic disc.
Représentation de Poincaré du disque  hyperbolique.

Circular Limit III, zn engraving by M.C.E. Escher, using the Poincaré representation of hyperbolic space.
Circle Limit III, une gravure de M.C.E. Escher utilisant la représentation de Poincaré de l’espace hyperbolique.
L'esapce anti-de Sitter en dimension 3 se présente comme un empilement de disques hyperboliques, chacun représentant l'état d'un univers 2D à un instant donné. L'espace-temps 3D qui en résulte resemble à un cylindre solide.
L’esapce anti-de Sitter en dimension 3 se présente comme un empilement de disques hyperboliques, chacun représentant l’état d’un univers 2D à un instant donné. L’espace-temps 3D qui en résulte resemble à un cylindre solide.

Pour l’espace-temps anti-de Sitter en dimension 5, noté AdS5, le bord est de dimension 4 et, localement autour de chaque point, ressemble à l’espace de Poincaré-Minkowski, qui est précisément le modèle d’espace-temps plat utilisé en physique non-gravitationnelle. Cela signifie qu’un trou noir dans l’espace-temps anti-de Sitter 5D est strictement équivalent à un champ de particules et de rayonnement existant dans l’espace-temps plat 4D de la frontière. Or, cette dernière description fait appel à des théories de champs quantiques bien connues et maîtrisées, analogues aux champs de Yang-Mills utilisés par exemple en chromodynamique quantique (qui est la théorie de l’interaction forte). Notons cependant qu’aux cinq dimensions spatiales de l’espace-temps anti-de Sitter il faut rajouter cinq dimensions spatiales compactifiées en forme de sphère S5, afin de traiter le problème dans le cadre de la théorie des cordes standard à dix dimensions.

L’intérêt majeur de l’équivalence est que la physique gravitationnelle dans AdS5 est en régime de couplage fort (donc non traitable en théorie perturbative), tandis que la physique non gravitationnelle sur la frontière 4D est une théorie de jauge en couplage faible, donc calculable. Comme les théories de jauge sont bien définies quelle que soit la force de couplage, Maldacena a audacieusement conjecturé que sa description s’appliquait en toute généralité, quelle que soit l’intensité du couplage de part et d’autre de l’équivalence. Sa conjecture peut alors se résumer ainsi :

Théorie des cordes sur AdS5×S5 ~ Théorie de jauge sur la frontière 4D

où ~ est le symbole de la dualité, autrement dit l’équivalence entre les deux théories. En toute rigueur, la théorie de jauge du membre de droite est une théorie de Yang-Mills supersymétrique sur l’espace R4 avec supersymétrie étendue N=4 et groupe de jauge U(N).

Les physiciens théoriciens Chen Ning Yang et Robert Mills. Yang a décroché le prix Nobel de physique pour ses travaux sur la violation de la parité en compagnie de Tsung-Dao Lee en 1957.
Les physiciens théoriciens Chen Ning Yang et Robert Mills. Yang a décroché le prix Nobel de physique pour ses travaux sur la violation de la parité en compagnie de Tsung-Dao Lee en 1957.

Une théorie de jauge 4D est une théorie des champs conforme (CFT), à savoir une variété particulière de théorie quantique des champs admettant comme groupe de symétrie le groupe conforme, lequel caractérise une invariance d’échelle. La conjecture de Maldacena a donc été rebaptisée « correspondance AdS/CFT », ou encore « dualité jauge/gravité », afin de mettre l’accent sur l’émergence de la gravité (dans le cadre de la théorie des cordes) à partir d’une théorie de jauge, et vice-versa. Notons que cette terminologie inverse l’ordre des termes de la correspondance, puisque « jauge » se réfère à CFT et « gravité » à AdS.

 In fine, la correspondance AdS/CFT relie deux types de théories. La gravité quantique formulée en termes de théorie des cordes ou de théorie M s’applique dans un espace-temps particulier à cinq dimensions, mais dans l’enveloppe quadridimensionnelle de ce dernier c’est une théorie conforme des champs décrivant les particules élémentaires qui opère. La correspondance AdS/CFT est donc souvent décrite comme une « dualité holographique », en ce sens que l’univers à cinq dimensions serait « enregistré » comme un hologramme sur son enveloppe extérieure à quatre dimensions. L’article original de Maldacena ne citait pas le mot holographique, c’est E. Witten qui a en premier souligné le lien [4].

Edward Witten, l'un des chantres de la théorie des cordes, a activement contribué aux développements de la dualité jauge/gravité.
Edward Witten, l’un des chantres de la théorie des cordes, a activement contribué aux développements de la dualité jauge/gravité.

Cette propriété serait surprenante : comme il y a généralement moins de bits d’information sur la surface d’un volume que dans le volume lui-même, si tout est codé dans l’hologramme c’est qu’il y a certaines corrélations cachées entre les particules du volume, qui les empêchent d’être toutes indépendantes les unes des autres. Cette limitation sur le nombre de degrés de liberté des particules, due à l’holographie, ne deviendrait cependant significative que pour les trous noirs ou pour les plasmas à des densités très élevées, inaccessibles aux tests expérimentaux. La réalisation effective de ce type de dualité, même de façon approchée, serait néanmoins intéressante parce que la physique est essentiellement l’art de approximation astucieuse ; or, l’utilisation de dualités offre potentiellement de nouvelles astuces calculatoires. La correspondance AdS/CFT a donc donné une nouvelle impulsion à la théorie des cordes et fleuri en un sujet aux vastes ramifications[5]. La publication originale de Maldacena comporte aujourd’hui plus de 10 000 citations, ce qui en fait l’article le plus cité de toute la littérature en physique théorique !

Le premier mérite du travail de Maldacena a été de résoudre le paradoxe de l’information, du moins dans le cas particulier d’un trou noir dans AdS5. Ce dernier équivaut en effet à un plasma chaud sur la frontière, caractérisé par la température de Hawking TH et décrit par une théorie de jauge ; tous deux ont donc la même entropie. En outre, le plasma obéit aux règles usuelles de la mécanique quantique, et en particulier il évolue unitairement, ce qui conduit automatiquement le trou noir à évoluer également unitairement et à respecter les principes de la mécanique quantique[6]. Ce résultat a d’ailleurs conduit Hawking à réviser sa position et à annoncer en 2005 que le paradoxe était bel et bien résolu par la correspondance AdS/CFT en faveur de la conservation de l’information[7].

La suite est ici : La quête des dualités

Références

[1] Juan Maldacena, « The Large N limit of superconformal field theories and supergravity », Advances in Theoretical and Mathematical Physics, vol. 2, (1998) : 231–252.

[2] Voir par exemple George Ellis and Stephen Hawking, The large scale structure of space-time (Cambridge University Press, 1973), pp. 131–134.

[3] Jean-Pierre Luminet, Illuminations (Odile Jacob 2011).

[4] Edward Witten, « Anti-de Sitter space and holography », Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) :253–91.

[5] Pour une synthèse récente, Veronika Hubeny, « The AdS/CFT Correspondence », arXiv :1501.00007 (2014).

[6] Pour un article semi-vulgarisé, Juan Maldacena, « The Illusion of Gravity », Scientific American, 293(5) (2005) : 56–63.

[7] Stephen Hawking, « Information loss in black holes », Physical Review D, 72(8) (2005).

3 réflexions sur “ L’univers holographique (4) : La conjecture de Maldacena ”

  1. Un peu difficile…
    Donc le paradoxe est résolu dans un cas très particulier (trou noir dans AdS5 ; une « approximation astucieuse »). Mais je ne comprend pas pourquoi Hawking révise sa position (paradoxe résolu) alors qu’il s’agit d’un cas particulier et, de surcroît, absolument théorique. Soyez indulgent, article vulgarisé mais pas suffisamment dans mon cas.

    1. Tout simplement parce que Hawking, contrairement à ce que veulent faire croire les médias, est en dehors de la réalité physique. Mais une bonne partie de la recherche actuelle en physique fondamentale est ainsi, faute d’expérimentation. A part cela je suis d’accord avec vous que le billet est un peu compliqué si l’on n’a pas une petite base préalable. Mais il serait impossible de faire plus simple tout en restant pertinent…

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