Un remake du chat de Schrödinger ?

Depuis quelque temps, une photo fait florès sur la Toile et provoque de vifs débats. Elle montre un chat sur un escalier et la question enflammant les foules est : le chat monte-t-il ou descend-il l’escalier ?

ChatMonteDescendDe fait, au premier coup d’œil, on est quasi certain de voir ce que fait le félin mais, à force de fixer l’image, l’impression s’inverse : si d’abord il descendait à coup sûr, voilà qu’au bout d’un moment on se persuade du contraire. Une fois l’incertitude installée, on ne cesse d’osciller entre une chose et son contraire, un peu comme dans les dessins d’Escher où les escaliers descendent, mais non, ils montent, mais non ils descendent, tout comme l’escalier de Penrose figurant dans la galerie des objets impossibles.

Schrödinger aurait sûrement trouvé un malin plaisir à commenter cette photo, disant même peut-être « Je vous l’avais bien dit, le chat peut à la fois monter et descendre, tout comme la Mécanique quantique, je vous l’affirme, permet au chat d’être à la fois mort et vivant ».

Et d’ailleurs, eut-il peut-être ajouté, ce chat qui semble à la fois monter et descendre, est-il mort ou vivant ???

 

Feynman se serait-il trompé ?

JokingFeynman

Dans la leçon 22-3 de ses fameuses Feynman Lectures on Physics (http://www.feynmanlectures.caltech.edu/), le grand physicien obtient l’impédance d’un réseau infini de composants où alternent condensateurs et inductances purs. A sa manière inimitable, avec très peu de calculs comme toujours, Feynman obtient un résultat qui, à basse fréquence, exhibe de façon surprenante une impédance donnant lieu à des effets dissipatifs alors que le circuit ne comporte aucune résistance électrique.

N’en restant pas là, évidemment, Feynman donne toutefois une interprétation physique à ce résultat d’apparence paradoxale, et passe à la leçon suivante.

Quelque peu intrigué mais loin de tout esprit iconoclaste, juste pour comprendre, j’ai repris ce petit problème d’une autre manière, en fait de la façon assez naturelle consistant à établir une relation de récurrence entre l’impédance du réseau fini à N+1 mailles et celle du réseau à N mailles, relation qui est simple mais non-linéaire et qui, dans le cas considéré (inductances et condensateurs), peut s’écrire comme une itération entre des variables adimensionnées qui sont toutes réelles. Retranscrit dans les variables physiques, ceci signifie que l’impédance globale est imaginaire pure à tout stade de l’itération, de sorte que si la limite du réseau infini existe, elle est forcément elle aussi imaginaire pure à toute fréquence, donc n’engendrant jamais aucune dissipation. Formulée de façon plus abrupte, la question que l’on aurait aimé poser à Feynman est : comment une suite de nombres réels peut-elle avoir une limite (supposée exister) ayant une partie imaginaire non-nulle ? Vous plaisantez Mr Feynman ?!

Où est donc le faux-pas de Feynman ?

La réponse repose sur l’analyse de l’existence de la limite, une question que les physiciens ont trop souvent tendance à négliger. Ici les choses se présentent comme suit. L’impédance du réseau infini correspond au(x) point(s) fixe(s) de l’itération ainsi obtenue que, comme d’habitude, l’on peut obtenir de façon purement géométrique en cherchant les intersections de la première bissectrice avec le graphe de la fonction définissant l’itération. Un petit dessin montre alors immédiatement que, à haute fréquence, il existe deux points fixes, l’un stable, l’autre instable, le premier donnant bien l’impédance non-dissipative également trouvée par Feynman.

En revanche, à basse fréquence, au-dessous d’une fréquence critique où les deux points fixes se confondent, il n’y a plus du tout de point fixe, signifiant tout simplement que, dans cette gamme de fréquence, la limite n’existe pas ! Dès lors, le calcul de Feynman s’effondre, tout comme disparaît le paradoxe d’un circuit dissipatif sans résistances…

Si la limite n’existe pas, on peut toutefois pousser l’analyse en considérant la composée de l’itération avec elle-même (son « carré »),  voire les compositions de « puissance » plus élevée, découvrant que celles-ci ont exactement les mêmes points-fixes. La réponse mathématique au problème posé est donc que, dans cette gamme de fréquence, l’impédance du réseau dépend de la valeur du nombre de mailles, la limite n’existant pas, tout simplement.

On aurait pu s’attendre à ce que les composées successives de l’application possèdent de nouveaux points-fixes. D’une façon très générale, la stabilité de certains d’entre eux est à l’origine de  l’existence d’oscillations, fréquentes pour des récurrences non-linéaires et donnant lieu à ce que l’on appelle des cycles-limites. Ce phénomène courant n’est pas le moindre exploit de ces itérations : que l’on se souvienne de la logistic map et de la cascade de Feigenbaum fournissant l’un des scénarios classiques de route vers le chaos (voir par exemple le chapitre 16 de mon livre de Mathématiques) !

Feynman se serait donc trompé ?

Eh bien non, pas vraiment, car son intuition physique, prenant le dessus,  lui a permis d’imaginer la bonne réponse physique au problème posé, qui est en fait mal posé : un module électrique de résistance nulle, cela n’existe pas, une inductance par exemple a forcément une résistance électrique, qu’elle soit petite est une chose mais la déclarer nulle est une vue de l’esprit, tout comme un oscillateur harmonique non-amorti est situé en Utopie. Autrement dit, ce qui est ici vraiment en cause, c’est une modélisation abusive considérant des éléments physiques qui eux, c’est sûr, n’existent pas.

Dès lors, que fait la récurrence si l’on donne une résistance finie à chacune des mailles du réseau ? Elle converge ! Les cycles-limites disparaissent, les trajectoires s’enroulant autour d’un unique point-fixe stable et l’impédance globale admet effectivement une limite —  celle annoncée sans preuve par Feynman.

Ainsi, à la question Feynman s’est-il trompé ?  la réponse est oui et non.

Oui, car son argument mathématique est entaché d’une erreur liée à une hypothèse plausible… mais malheureusement non vérifiée à basse fréquence. Non, car son intuition géniale de physicien a subrepticement repris la barre au moment où, à cause d’une modélisation abusive, l’argument mathématique produit dans toute son exigence une réponse d’une incontestable exactitude mais non pertinente pour tout système physique réel.

Ce qui n’est certes pas abusif, c’est d’affirmer qu’une telle rectification implicite est la signature du génie. Tout au plus, peut-on faire à Feynman le reproche de n’en avoir pas soufflé mot à ses innombrables lecteurs… Sans doute l’a-t-il fait oralement aux  étudiants qui ont eu la chance de suivre son admirable enseignement. Heureux privilégiés !

Le paradoxe de Fermi revisité

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Même si les détails anecdotiques n’en sont pas tous avérés, il semble que ce soit Enrico Fermi qui ait initié le paradoxe portant désormais son nom. De quoi s’agit-il ?

Lors d’une discussion informelle vers 1950, Fermi s’est étonné que compte tenu de la très probable existence de civilisations extraterrestres, nous ne retrouvions sur Terre aucune trace de leur passage.

La question de l’existence de civilisations extraterrestres est évidemment un préalable qu’il est en toute rigueur impossible de trancher mais au sujet de laquelle une opinion peut être forgée sur la base d’un raisonnement probabiliste. Sachant qu’il y a environ 200 milliards d’étoiles dans notre galaxie, et que près de 2000 exoplanètes ont été découvertes depuis l’interrogation de Fermi, il n’est pas illégitime d’admettre que de telles civilisations existent et même qu’elles sont en très grand nombre.

Cette hypothèse étant retenue, et compte tenu de l’âge de l’univers (environ 14 milliards d’années) et de la (petite !) taille de notre galaxie (quelques dizaines de milliers d’années-lumière), la Terre aurait due en effet être déjà visitée, et même de fort nombreuses fois. Pourtant, aucune trace de ces extraterrestres, d’où l’interrogation apocryphe de Fermi : « Où sont-ils ? »

Ce paradoxe de Fermi, ainsi que Carl Sagan a proposé de l’appeler, a donné lieu à de très nombreuses discussions (on l’imagine aisément !), et même à des modélisations s’inspirant de concepts familiers dans l’étude du mouvement brownien ou des systèmes désordonnés ; l’une d’entre elles s’appuie sur la notion de seuil de percolation — concentration critique de liens établis au hasard entre deux points voisins, et permettant finalement d’explorer un grand système d’un bout à l’autre (voir http://www.geoffreylandis.com/percolation).

Une nouvelle explication vient d’être proposée par Gabriel Chardin (https://lejournal.cnrs.fr/billets/le-paradoxe-de-fermi-et-les-extraterrestres-invisibles), cosmologiste et spécialiste de la matière sombre, fondée sur le fait que toute civilisation se développant sur la croissance (même faible) épuise toutes ses ressources en un temps relativement court, que Gabriel Chardin estime à quelques milliers d’années. Allant un cran plus loin, il affirme que la survie d’une civilisation est ainsi trop brève pour lui permettre de développer la technologie donnant au voyage interstellaire la banalité d’un vol transatlantique à la découverte de nouvelles Amériques situées à des centaines d’années-lumière.

Au-delà des disputes sur les chiffres et les estimations — forcément hasardeuses —, le fait est que quiconque ayant précisément tracé un morceau d’exponentielle comprend vite que, dans un système clos comme la Terre ou ses lointaines cousines, la survie à (très) long terme n’est possible que si le taux de croissance est proche de zéro… la limite de la croissance nulle étant une condition nécessaire (mais pas suffisante !) pour une durée de vie éternelle.

On pourrait bien sûr objecter que ce sont les progrès scientifiques et techniques qui nous ont permis d’atteindre le stade de développement actuel en dépit des prévisions des Cassandre de tout poil et de tous horizons, et qu’il en ira toujours ainsi. Sauf que, pour ne parler que d’énergie, le rendement d’une machine ou d’un dispositif ne peut croître exponentiellement, lui ! Et que jusqu’à preuve du contraire, l’énergie se conserve… Des exemples montrent que dans certains domaines (Gabriel Chardin cite le cas des LED, dont l’efficacité et presque égale à 1), nous savons déjà être près de la perfection (!?), tout progrès encore envisageable étant ainsi destiné à n’avoir qu’une conséquence très marginale.

Cette nouvelle explication, venant après beaucoup d’autres, a manifestement des implications économiques, et c’est pourquoi le lecteur est invité à consulter un débat entre Gabriel Chardin et l’économiste Alexandre Delaigne, disponible à l’adresse http://rue89.nouvelobs.com/2015/02/28/croissance-a-quelle-distance-est-limites-257868

L’interrogation de Fermi n’a pas que des présupposés relevant des sciences naturelles ou humaines, elle soulève des questions d’une tout autre nature.  Philosophiques d’abord, car teintée d’anthropocentrisme, idéologiques aussi (l’expansionisme est-il la règle ?) et enfin religieuses. C’est dire que, ayant déjà été l’objet d’une vaste littérature, elle continuera d’alimenter des réflexions forcément spéculatives tout en sollicitant l’imagination débordante et débridée des auteurs de science-fiction.