{"id":783,"date":"2019-05-21T09:25:19","date_gmt":"2019-05-21T07:25:19","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/?p=783"},"modified":"2019-06-11T10:50:57","modified_gmt":"2019-06-11T08:50:57","slug":"les-pesees-de-leibniz-et-de-bachet","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/2019\/05\/21\/les-pesees-de-leibniz-et-de-bachet\/","title":{"rendered":"Les pes\u00e9es de Leibniz et de Bachet"},"content":{"rendered":"

Voici une question autrefois pratique, qui reste aujourd\u2019hui ludique. Elle suppose l\u2019utilisation d\u2019une balance de Roberval, qui fut invent\u00e9e par Gilles Personier de Roberval (1602\u00a0\u2013\u00a0 1675). Nous en donnons le sch\u00e9ma mais, pour comprendre l\u2019usage que l\u2019on en fait, il suffit de savoir que les deux plateaux s\u2019\u00e9quilibrent quand les masses qui s\u2019y trouvent sont \u00e9gales.<\/p>\n

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Sch\u00e9ma d\u2019une balance de Roberval. Le parall\u00e9logramme articul\u00e9 aux quatre sommets (en rouge) peut pivoter autour du point marqu\u00e9 (en blanc) sur la figure. L\u2019aiguille est dirig\u00e9e verticalement quand les poids sur les plateaux s\u2019\u00e9quilibrent.<\/figcaption><\/figure>\n

Pes\u00e9e binaire de Leibniz<\/h2>\n

Leibniz a montr\u00e9 que, si on dispose d\u2019une s\u00e9rie de poids dont chacun est le double du pr\u00e9c\u00e9dent, on peut r\u00e9aliser toutes les pes\u00e9es possibles. Pour voir comment, imaginons un objet de 713 grammes \u00e0 peser avec des poids de 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 et 512 grammes. L\u2019objet \u00e9tant dans un plateau, nous commen\u00e7ons par placer le plus gros poids possible, c\u2019est-\u00e0-dire celui de 512 grammes dans l\u2019autre. Nous recommen\u00e7ons ensuite it\u00e9rativement jusqu\u2019\u00e0 l\u2019\u00e9quilibre.<\/p>\n

Voyons les \u00e9tapes de ce processus. Le d\u00e9ficit est de 713\u00a0\u2013\u00a0512\u00a0=\u00a0201 grammes. Nous utilisons alors le poids de 128 grammes (le plus gros possible). Il reste 201\u00a0\u2013\u00a0128\u00a0=\u00a073 grammes. Apr\u00e8s le poids de 64 grammes, il ne reste plus que 9 grammes. Nous terminons en d\u00e9composant 9 en 8\u00a0+\u00a01. Finalement, nous avons \u00e9quilibr\u00e9 le poids de 713 grammes avec les poids pr\u00e9vus. D\u2019un point de vue arithm\u00e9tique, cela s\u2019\u00e9crit\u00a0:<\/p>\n

713\u00a0=\u00a0512\u00a0+\u00a0128\u00a0+\u00a064\u00a0+\u00a08\u00a0+\u00a01.<\/p>\n

Ce r\u00e9sultat correspond \u00e0 l\u2019\u00e9criture de 713 en base deux\u00a0: 713\u00a0=\u00a029<\/sup>\u00a0+\u00a027<\/sup>\u00a0+\u00a026<\/sup>\u00a0+\u00a023<\/sup>\u00a0+\u00a020<\/sup> ce que l\u2019on peut noter\u00a0: 1011001001. En base dix, nous \u00e9crivons\u00a0: 713\u00a0=\u00a07.102<\/sup>+\u00a0101<\/sup>+\u00a03.100<\/sup>. La diff\u00e9rence apparente est que l\u2019\u00e9criture en base deux n\u2019implique que des additions, pas de multiplication. En fait, il n\u2019en est rien puisque les chiffres en base deux sont seulement 0 et 1 au lieu de 0, 1, \u2026, 9. La propri\u00e9t\u00e9 est g\u00e9n\u00e9rale, notre d\u00e9marche prouve d\u2019ailleurs que tout nombre s\u2019\u00e9crit en binaire.<\/p>\n

Pes\u00e9e ternaire de Bachet<\/h2>\n

\u00c0 l\u2019occasion d\u2019une r\u00e9cr\u00e9ation math\u00e9matique, Claude Bachet de M\u00e9riziac (1581\u00a0\u2013\u00a01638) a montr\u00e9 que, \u00e0 condition d\u2019utiliser les deux plateaux, on peut peser n\u2019importe quel objet \u00e0 l\u2019aide d\u2019une s\u00e9rie de poids dont chacun est le triple du pr\u00e9c\u00e9dent. Voyons comment sur l\u2019exemple pr\u00e9c\u00e9dent et des poids de 1, 3, 9, 27, 81, 243 et 729 grammes. L\u2019id\u00e9e pr\u00e9c\u00e9dente fonctionne si on dispose de deux poids de chaque sorte. Il suffit d\u2019\u00e9crire 713 en ternaire. On commence par retrancher deux fois 243 \u00e0 713, il reste 227. On recommence avec deux fois 81, il reste 65. On retranche alors deux fois 27, il reste 11 ce qui fait 9 plus deux fois 1. Cette suite d\u2019op\u00e9rations fournit l\u2019\u00e9criture ternaire\u00a0: 222102 ce que l\u2019on peut \u00e9crire\u00a0: 713\u00a0=\u00a02.35<\/sup>\u00a0+\u00a02.34<\/sup>\u00a0+\u00a02.33<\/sup>\u00a0+\u00a032<\/sup>\u00a0+\u00a02.30<\/sup>. Pour conclure, l\u2019id\u00e9e essentielle est d\u2019\u00e9liminer les 2 du membre de droite de cette \u00e9galit\u00e9 en remarquant que\u00a0: 3\u00a0=\u00a02\u00a0+\u00a01. Plus pr\u00e9cis\u00e9ment\u00a0: 713\u00a0+\u00a035<\/sup>\u00a0+\u00a034<\/sup>\u00a0+\u00a033<\/sup>\u00a0+\u00a030<\/sup>\u00a0=\u00a036<\/sup>\u00a0+\u00a035<\/sup>\u00a0+\u00a034<\/sup>\u00a0+\u00a032<\/sup>\u00a0+\u00a031<\/sup> ce qui se simplifie en\u00a0: 713\u00a0+\u00a033<\/sup>\u00a0+\u00a030<\/sup>\u00a0=\u00a036<\/sup>\u00a0+\u00a032<\/sup>\u00a0+\u00a031<\/sup>, c\u2019est-\u00e0-dire en\u00a0: 713\u00a0+\u00a027\u00a0+\u00a01\u00a0=\u00a0729\u00a0+\u00a09\u00a0+\u00a03. Il suffit donc de disposer des poids de 27 et 1 grammes dans le plateau de gauche et de 729, 9 et 3 grammes dans celui de droite.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Voici une question autrefois pratique, qui reste aujourd\u2019hui ludique. Elle suppose l\u2019utilisation d\u2019une balance de Roberval, qui fut invent\u00e9e par Gilles Personier de Roberval (1602\u00a0\u2013\u00a0 1675). 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