{"id":695,"date":"2019-03-20T10:09:36","date_gmt":"2019-03-20T09:09:36","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/?p=695"},"modified":"2019-04-03T14:30:45","modified_gmt":"2019-04-03T12:30:45","slug":"la-spirale-logarithmique-une-courbe-zoologique","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/2019\/03\/20\/la-spirale-logarithmique-une-courbe-zoologique\/","title":{"rendered":"La spirale logarithmique, une courbe zoologique ?"},"content":{"rendered":"

La m\u00eame courbe se retrouve-t-elle dans les galaxies, certains mollusques et les toiles d\u2019araign\u00e9es\u00a0? Enqu\u00eate sur la spirale logarithmique.<\/p>\n

La spirale d’Archim\u00e8de<\/h2>\n

Imaginez\u00a0! Une droite tourne \u00e0 vitesse angulaire constante autour d\u2019un point O. Si, partant de O, un point M parcourt cette droite \u00e0 vitesse constante, on obtient une spirale d\u2019Archim\u00e8de. On d\u00e9montre facilement que les spires y sont r\u00e9guli\u00e8rement espac\u00e9es.<\/p>\n

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Spirale d\u2019Archim\u00e8de. Elle est engendr\u00e9e par un point mobile M partant d\u2019un point O, \u00e0 vitesse constante sur une droite tournant \u00e0 vitesse angulaire constante autour de O.<\/figcaption><\/figure>\n

La spirale logarithmique<\/h2>\n

Si, toujours partant de O, le point M parcourt la droite \u00e0 une vitesse proportionnelle \u00e0 la longueur OM, il dessine une autre courbe, appel\u00e9e spirale logarithmique depuis Pierre Varignon (1654 \u2013 1722) mais \u00e9tudi\u00e9e auparavant par Ren\u00e9 Descartes (1596 \u2013 1650) avant d\u2019\u00eatre choisie par Jacques Bernoulli (1654 \u2013 1705) pour orner sa tombe. Malheureusement, le sculpteur ignorait cette courbe et grava une spirale d\u2019Archim\u00e8de.<\/p>\n

 <\/p>\n

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Spirale logarithmique. Elle est engendr\u00e9e par un point mobile M partant d\u2019un point O, \u00e0 vitesse proportionnelle \u00e0 OM sur une droite tournant \u00e0 vitesse angulaire constante autour de O.<\/figcaption><\/figure>\n

Au lieu d\u2019\u00eatre r\u00e9guli\u00e8rement espac\u00e9es, les spires suivent une progression g\u00e9om\u00e9trique de raison constante. Autre propri\u00e9t\u00e9 de la spirale\u00a0: elle coupe le rayon OM suivant un angle constant.<\/p>\n

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Inscription sur la tombe de Jacques Bernoulli, avec la spirale en bas.<\/figcaption><\/figure>\n
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Sur cet agrandissement, on voit que le sculpteur a grav\u00e9 une spirale d’Archim\u00e8de et non une spirale logarithmique. L’inscription latine “eadem mutata resurgo” signifie “d\u00e9plac\u00e9e, je r\u00e9apparais \u00e0 l\u2019identique”.<\/figcaption><\/figure>\n

Le d\u00e9veloppement du nautile<\/h2>\n

Le nautile est un mollusque marin dont la coquille est en forme de spirale. L\u2019espace entre les spires \u00e9tant tripl\u00e9 \u00e0 chaque enroulement, elle \u00e9voque une spirale logarithmique. Pour examiner si cette forme est fortuite ou non, il est n\u00e9cessaire d\u2019en comprendre la provenance.<\/p>\n

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Coupe d\u2019un nautile faisant appara\u00eetre une forme de spirale logarithmique.<\/figcaption><\/figure>\n

La coquille du nautile est divis\u00e9e en chambres closes, l\u2019animal n\u2019occupant que la derni\u00e8re. Les autres sont remplies d\u2019un m\u00e9lange de liquide et de gaz, toutes communiquent entre elles au moyen d\u2019un siphon.<\/p>\n

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Nautile vivant. L\u2019animal n\u2019occupe que la derni\u00e8re chambre. Il se d\u00e9place d\u2019avant en arri\u00e8re en expulsant de l\u2019eau du c\u00f4t\u00e9 de sa bouche.<\/figcaption><\/figure>\n

Ces chambres correspondent \u00e0 l\u2019\u00e9volution progressive du mollusque. Quand il grossit, ne pouvant agrandir la chambre o\u00f9 il se trouve, il en cr\u00e9e une autre dans son prolongement, un peu plus grosse mais semblable.<\/p>\n

Pour montrer que cette id\u00e9e m\u00e8ne effectivement \u00e0 une spirale logarithmique, prenons comme mod\u00e8le de la coquille une suite de triangles rectangles d\u2019angle au sommet constant \u00e9gal \u00e0 30\u00b0. Le rapport entre un triangle et son suivant est de 115\u00a0% (l\u2019inverse du cosinus de 30\u00b0 soit 2\u00a0 divis\u00e9 par racine de 3 pour \u00eatre pr\u00e9cis), ce qui correspond bien \u00e0 une spirale logarithmique. L\u2019id\u00e9e correspond \u00e0 un accroissement progressif de la taille de l\u2019animal. Il n\u2019est pas besoin d\u2019imaginer de plans compliqu\u00e9s inscrits dans les g\u00e8nes du nautile pour cela, juste une fa\u00e7on de cro\u00eetre.<\/p>\n

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Suite de triangles rectangles formant une (approximation de) spirale logarithmique.<\/figcaption><\/figure>\n

La spirale logarithmique se retrouve pour les m\u00eames raisons dans d\u2019autres animaux, comme la planorbe, un escargot marin tr\u00e8s utilis\u00e9 dans les aquariums car il se nourrit d\u2019algues et de plantes \u00e0 la limite du pourrissement.<\/p>\n

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Une coquille de planorbe en forme de spirale logarithmique.<\/figcaption><\/figure>\n

Les toiles d’araign\u00e9es<\/h2>\n

La toile d\u2019araign\u00e9e est avant tout un pi\u00e8ge destin\u00e9 \u00e0 attraper des insectes. Certaines esp\u00e8ces tissent des toiles o\u00f9 il est bien difficile de reconna\u00eetre la moindre r\u00e9gularit\u00e9.<\/p>\n

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Il n\u2019est pas facile de reconna\u00eetre la moindre courbe math\u00e9matique dans cette toile d\u2019araign\u00e9e. En revanche, sans le soleil en contre jour, il est difficile de la d\u00e9tecter.<\/figcaption><\/figure>\n

Les esp\u00e8ces les plus communes en France, les \u00e9peires, fabriquent cependant des toiles en forme de spirales. Apr\u00e8s avoir b\u00e2ti un cadre entre quelques branches, l\u2019araign\u00e9e tisse un r\u00e9seau r\u00e9gulier de segments rectilignes partant tous d\u2019un m\u00eame point. Un fois ce travail fini, elle forme une spirale en les reliant. Le c\u00e9l\u00e8bre entomologiste Jean-Henri Fabre (1823 \u2013 1915) a voulu y reconna\u00eetre une spirale logarithmique, tout en remarquant que l\u2019action de la pesanteur transformait chaque segment en cha\u00eenette, la forme que prend naturellement un fil pesant comme les c\u00e2bles \u00e9lectriques ou les cha\u00eenes que l\u2019on porte autour du cou.<\/p>\n

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Cette toile d\u2019\u00e9peire laisse plus penser \u00e0 une spirale d\u2019Archim\u00e8de qu\u2019\u00e0 une spirale logarithmique. On y remarque \u00e9galement les segments transform\u00e9s en cha\u00eenette sous l\u2019effet de la pesanteur.<\/figcaption><\/figure>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La m\u00eame courbe se retrouve-t-elle dans les galaxies, certains mollusques et les toiles d\u2019araign\u00e9es\u00a0? Enqu\u00eate sur la spirale logarithmique. La spirale d’Archim\u00e8de Imaginez\u00a0! Une droite tourne \u00e0 vitesse angulaire constante autour d\u2019un point O. Si, partant de O, un point M parcourt cette droite \u00e0 vitesse constante, on obtient une spirale d\u2019Archim\u00e8de. On d\u00e9montre facilement … Continuer la lecture de La spirale logarithmique, une courbe zoologique ?<\/span> →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":12,"featured_media":709,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":"","_links_to":"","_links_to_target":""},"categories":[248,67,29,11,13,3],"tags":[266,268,269,99,270,271,267,272],"class_list":["post-695","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-biologie","category-ecologie","category-maths-2","category-nature","category-photographies","category-sciences","tag-araignee","tag-archimede","tag-bernoulli","tag-descartes","tag-logaritmique","tag-nautile","tag-spirale","tag-varignon"],"yoast_head":"\nLa spirale logarithmique, une courbe zoologique ?, par Herv\u00e9 Lehning<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/2019\/03\/20\/la-spirale-logarithmique-une-courbe-zoologique\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fr_FR\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"La spirale logarithmique, une courbe zoologique ?, par Herv\u00e9 Lehning\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"La m\u00eame courbe se retrouve-t-elle dans les galaxies, certains mollusques et les toiles d\u2019araign\u00e9es\u00a0? 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