{"id":679,"date":"2019-04-03T14:32:50","date_gmt":"2019-04-03T12:32:50","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/?p=679"},"modified":"2019-05-29T17:44:36","modified_gmt":"2019-05-29T15:44:36","slug":"les-lois-de-mendel-et-le-principe-de-hardy","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/2019\/04\/03\/les-lois-de-mendel-et-le-principe-de-hardy\/","title":{"rendered":"Les lois de Mendel et le principe de Hardy"},"content":{"rendered":"

Gregor Mendel (1822 \u2013 1884) est connu pour avoir pos\u00e9 les premi\u00e8res lois de la g\u00e9n\u00e9tique. Elles sont de nature si math\u00e9matique que Godfrey Hardy, le grand math\u00e9maticien britannique du d\u00e9but XXe<\/sup> si\u00e8cle, connu pour sa critique des math\u00e9matiques appliqu\u00e9es, les a prolong\u00e9es. Imaginons qu\u2019une fleur vienne en deux couleurs\u00a0: blanche et noire, jamais grise ou autre et que ces deux vari\u00e9t\u00e9s puissent s\u2019hybrider, c\u2019est-\u00e0-dire se m\u00e9langer. Imaginons que deux parents \u00e0 fleurs blanches donnent toujours des enfants \u00e0 fleurs blanches, alors que les parents \u00e0 fleurs noires peuvent donner des blanches comme des noires.<\/p>\n

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N\u00e9 Johann Mendel en 1822, Mendel prendra le pr\u00e9nom de Gregor \u00e0 son entr\u00e9e au monast\u00e8re de Brunn (Tch\u00e9quie), en Autriche \u00e0 l\u2019\u00e9poque. Il y trouva un milieu intellectuel stimulant et put y installer un jardin exp\u00e9rimental, o\u00f9 il fit ses recherches sur l\u2019hybridation. En 1866, il devint sup\u00e9rieur de son couvent, ce qui mit fin \u00e0 ses recherches en botanique. Il se consacra alors \u00e0 l\u2019administration du monast\u00e8re ainsi qu\u2019\u00e0 des recherches en m\u00e9t\u00e9orologie, pour lesquelles il fut reconnu par ses contemporains \u2026 davantage que pour ses apports \u00e0 la g\u00e9n\u00e9tique.<\/figcaption><\/figure>\n

La math\u00e9matique de l’hybridation<\/h2>\n

Gregor Mendel a \u00e9tudi\u00e9 ces lois de l\u2019hybridation en pollinisant artificiellement des pois, qui se pr\u00e9sentent sous deux formes facilement discernables. Nous ne d\u00e9crirons pas ses exp\u00e9riences en d\u00e9tail. Son premier r\u00e9sultat est d\u2019ordre statistique. En croisant une fleur noire et une fleur blanche, \u00e0 la premi\u00e8re g\u00e9n\u00e9ration, on obtient des fleurs blanches et, \u00e0 la seconde, trois quarts de fleurs blanches et un quart de fleurs noires.<\/p>\n

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Deux premi\u00e8res g\u00e9n\u00e9rations d\u2019un croisement blanche \/ noire.<\/figcaption><\/figure>\n

Pour le math\u00e9maticien, une explication logique est de penser que le g\u00e8ne de la couleur des fleurs se divise en deux moiti\u00e9s, ses deux all\u00e8les\u00a0: blanc et noir. A priori<\/em>, il existe donc quatre combinaisons possibles de ces deux all\u00e8les\u00a0: blanc\u00a0\/\u00a0blanc, blanc\u00a0\/\u00a0noir, noir\u00a0\/\u00a0blanc et noir\u00a0\/\u00a0noir. Cette propri\u00e9t\u00e9 est cach\u00e9e car seuls les porteurs du g\u00e8ne blanc\u00a0\/\u00a0blanc ont des fleurs blanches, tous les autres ont des fleurs noires. C\u2019est pourquoi on parle de caract\u00e8re dominant pour la couleur noire, et de caract\u00e8re r\u00e9cessif pour la couleur blanche. Cette domination est cependant tr\u00e8s relative car les combinaisons se faisant de fa\u00e7on \u00e9quiprobable, \u00e0 la seconde g\u00e9n\u00e9ration, nous trouvons une fois sur quatre la combinaison blanc\u00a0\/\u00a0blanc, donc des fleurs blanches.<\/p>\n

Cette th\u00e9orie de Mendel ne fut pas comprise en son temps. Les biologistes pensaient que les caract\u00e8res dominants devaient forc\u00e9ment augmenter dans la population, ce que les calculs pr\u00e9c\u00e9dents nient. Plus \u00e9trangement encore, on ne vit pas imm\u00e9diatement le lien avec la th\u00e9orie de l\u2019\u00e9volution de Darwin, pourtant contemporaine de celle de Mendel.<\/p>\n

Le principe de Hardy<\/h2>\n
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\u00c0 l\u2019oppos\u00e9 de Mendel, qui \u00e9tait pr\u00eatre, Godfrey Hardy \u00e9tait un ath\u00e9e convaincu. Son ath\u00e9isme comprenait cependant une \u00e9trange part d\u2019autod\u00e9rision, si on en cro\u00eet l\u2019anecdote suivante. La peur d\u2019un naufrage lui fit \u00e9crire \u00e0 un coll\u00e8gue pour lui annoncer qu\u2019il avait d\u00e9montr\u00e9 l\u2019hypoth\u00e8se de Riemann. Il aurait ensuite justifi\u00e9 son envoi en disant que Dieu, qu\u2019il tenait pour son ennemi intime, n\u2019allait pas le laisser mourir et laisser croire ainsi qu\u2019un tel impie avait r\u00e9ussi \u00e0 d\u00e9montrer cette conjecture, encore ouverte de nos jours. Il est tout aussi \u00e9trange qu\u2019un math\u00e9maticien pur aussi convaincu ait publi\u00e9 un article de biologie. Il le serait encore davantage si, un jour, il \u00e9tait plus connu pour son apport \u00e0 la g\u00e9n\u00e9tique que pour ses th\u00e9or\u00e8mes math\u00e9matiques. Le moteur de recherche Google laisse penser que ce jour viendra puisque \u00ab th\u00e9or\u00e8me Hardy \u00bb donne 56 700 r\u00e9sultats alors que \u00ab principe Hardy \u00bb en donne 4 450 000. Godfrey Hardy y verrait sans doute une revanche de son ennemi.<\/figcaption><\/figure>\n

Si les math\u00e9matiques appliqu\u00e9es ont pu un jour \u00eatre vues comme \u00ab\u00a0impures\u00a0\u00bb par certains math\u00e9maticiens \u00ab\u00a0purs\u00a0\u00bb, ce fut le cas de Godfrey Hardy. On s\u2019\u00e9tonnera alors de voir son nom m\u00eal\u00e9 \u00e0 une question de biologie. C\u2019est pourquoi il s\u2019excusa presque de s\u2019immiscer dans ce domaine. En 1908, au cours d\u2019un d\u00eener, on lui demanda s\u2019il \u00e9tait possible de d\u00e9terminer math\u00e9matiquement la proportion d\u2019all\u00e8les dominants permettant l\u2019\u00e9volution dans une population. Hardy \u00e9tant un math\u00e9maticien pur, sa r\u00e9ponse r\u00e9clama quelques hypoth\u00e8ses. Tout d\u2019abord, la population devait \u00eatre de grande taille, sans migration, estim\u00e9e infinie, les individus s\u2019y croiseraient al\u00e9atoirement mais les g\u00e9n\u00e9rations seraient s\u00e9par\u00e9es. Enfin, il n\u2019y aurait ni mutation, ni s\u00e9lection. Tout ceci assure la rigueur du raisonnement suivant.<\/p>\n

Consid\u00e9rons un g\u00e8ne \u00e0 deux all\u00e8les A et a<\/em> poss\u00e9dant les fr\u00e9quences p<\/em> et q<\/em>\u00a0=\u00a01\u00a0\u2013\u00a0p<\/em>\u00a0 dans une certaine g\u00e9n\u00e9ration. Quelles sont les fr\u00e9quences \u00e0 la g\u00e9n\u00e9ration suivante\u00a0?<\/p>\n

Pour le d\u00e9terminer, comptons d\u2019abord les fr\u00e9quences des diverses combinaisons \u00e0 la g\u00e9n\u00e9ration suivante\u00a0: AA, Aa<\/em> et aa<\/em>. Il s\u2019agit d\u2019une question \u00e9l\u00e9mentaire de probabilit\u00e9. Pour qu\u2019un individu soit AA, il doit avoir re\u00e7u l\u2019all\u00e8le A de ses deux parents, suppos\u00e9s al\u00e9atoires d\u2019apr\u00e8s l\u2019hypoth\u00e8se de Hardy. La fr\u00e9quence de chacun \u00e9tant \u00e9gale \u00e0 p<\/em>, la probabilit\u00e9 est \u00e9gale \u00e0 p<\/em>2<\/sup>. De m\u00eame, celle de aa<\/em> est q<\/em>2<\/sup>. Pour Aa<\/em>, deux cas sont possibles puisque cela peut provenir d\u2019un A de la m\u00e8re et d\u2019un a<\/em> du p\u00e8re, comme du contraire. On obtient donc 2\u00a0pq<\/em>.<\/p>\n

Si la population totale de cette nouvelle g\u00e9n\u00e9ration est \u00e9gale \u00e0 N, le nombre d\u2019all\u00e8les y est \u00e9gal \u00e0 2N. L\u2019all\u00e8le A se trouve deux fois dans AA et une fois dans Aa<\/em>, son nombre est donc \u00e9gal \u00e0 2\u00a0p<\/em>2<\/sup>\u00a0N\u00a0+\u00a02\u00a0pq<\/em>\u00a0N. Sa fr\u00e9quence est ainsi \u00e9gale \u00e0 p<\/em>2<\/sup>\u00a0+\u00a0pq<\/em>\u00a0=\u00a0p<\/em>\u00a0(p<\/em>\u00a0+\u00a0q<\/em>)\u00a0=\u00a0p<\/em> puisque p<\/em>\u00a0+\u00a0q<\/em>\u00a0=\u00a01. Il en est de m\u00eame de l\u2019all\u00e8le a<\/em>. Autrement dit, sous les hypoth\u00e8ses \u00e9nonc\u00e9es plus haut, la fr\u00e9quence des all\u00e8les ne se modifie pas d\u2019une g\u00e9n\u00e9ration \u00e0 l\u2019autre.<\/p>\n

Ainsi, les relations de dominance entre all\u00e8les n\u2019influent pas sur leurs fr\u00e9quences. Autrement dit, l\u2019\u00e9volution est impossible sous les hypoth\u00e8ses de Hardy \u2026 il faut tenir compte des mutations.<\/p>\n

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Gregor Mendel (1822 \u2013 1884) est connu pour avoir pos\u00e9 les premi\u00e8res lois de la g\u00e9n\u00e9tique. Elles sont de nature si math\u00e9matique que Godfrey Hardy, le grand math\u00e9maticien britannique du d\u00e9but XXe si\u00e8cle, connu pour sa critique des math\u00e9matiques appliqu\u00e9es, les a prolong\u00e9es. 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