{"id":515,"date":"2018-09-14T10:40:53","date_gmt":"2018-09-14T08:40:53","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/?p=515"},"modified":"2018-11-12T21:06:50","modified_gmt":"2018-11-12T20:06:50","slug":"les-mathematiciens-sont-ils-tous-platoniciens","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/2018\/09\/14\/les-mathematiciens-sont-ils-tous-platoniciens\/","title":{"rendered":"Les math\u00e9maticiens sont-ils tous platoniciens ?"},"content":{"rendered":"

Comme Platon, les math\u00e9maticiens sont des cr\u00e9ateurs de mondes, tels celui du mythe de la caverne. Doit-on pour autant consid\u00e9rer les math\u00e9maticiens comme platoniciens\u00a0?<\/span><\/span><\/p>\n

Qu\u2019elle fut ou non grav\u00e9e \u00e0 l\u2019entr\u00e9e de son acad\u00e9mie, la phrase Que nul n\u2019entre ici s\u2019il n\u2019est g\u00e9om\u00e8tre<\/i> est conforme \u00e0 la pens\u00e9e de Platon\u00a0: il est bon que le philosophe apprenne la g\u00e9om\u00e9trie. Au livre VII de La r\u00e9publique<\/i>, il mentionne d\u2019ailleurs son \u00e9tude comme un pr\u00e9 requis \u00e0 celle de la philosophie, et une mati\u00e8re indispensable dans le cursus du futur citoyen. Les math\u00e9matiques forgent la pens\u00e9e de Platon, comme on le voit dans Le M\u00e9non<\/i>. Inversement, tout math\u00e9maticien est-il platonicien\u00a0?<\/span><\/span><\/p>\n

Un cr\u00e9ateur de mythes<\/h2>\n

Avant d\u2019essayer de r\u00e9pondre \u00e0 cette question, examinons le mode de pens\u00e9e de Platon. Sa m\u00e9thode fondamentale est la cr\u00e9ation de mythes. Le proc\u00e9d\u00e9 est classique dans l\u2019Antiquit\u00e9 o\u00f9 l\u2019usage de m\u00e9taphores permettait d\u2019introduire des concepts abstraits \u00e0 travers des exp\u00e9riences quotidiennes. Le mythe le plus c\u00e9l\u00e8bre invent\u00e9 par Platon est celui de la caverne, o\u00f9 il introduit le concept de \u00ab\u00a0monde des id\u00e9es\u00a0\u00bb. En voici un r\u00e9sum\u00e9 rapide. Des hommes, enferm\u00e9s dans une caverne, ne voient l\u2019ext\u00e9rieur qu\u2019\u00e0 travers des ombres. Ils n\u2019ont pas acc\u00e8s \u00e0 la r\u00e9alit\u00e9 mais seulement \u00e0 son image. Ce mythe est une m\u00e9taphore o\u00f9 la caverne est notre monde, et l\u2019ext\u00e9rieur, le monde des id\u00e9es. Une transposition est n\u00e9cessaire pour comprendre le message de Platon, m\u00eame si celle-ci est claire.<\/span><\/span><\/p>\n

Le monde des id\u00e9es<\/h2>\n

Ce monde des id\u00e9es, existe-t-il\u00a0? Platon l\u2019a postul\u00e9, ce qui l\u2019a men\u00e9 \u00e0 adopter la th\u00e8se de l\u2019immortalit\u00e9 de l\u2019\u00e2me. Elle lui permet d\u2019affirmer qu\u2019elle vient de ce monde et, pour cette raison, en garde une vague m\u00e9moire. La philosophie grecque a parfois ce c\u00f4t\u00e9 jusqu\u2019au boutiste, que l\u2019on retrouve facilement chez les math\u00e9maticiens. Pas question pour eux que 2\u00a0+\u00a02 fasse 3,99. C\u2019est 4 sans discussion possible. Cette d\u00e9marche, correcte quand elle reste dans son cadre, peut aboutir parfois \u00e0 des extravagances inutiles, comme l\u2019id\u00e9e d\u2019une \u00e2me immortelle, m\u00eame dans le pass\u00e9. Platon en avait besoin pour expliquer notre acc\u00e8s instinctif \u00e0 son monde des id\u00e9es. Pour lui, on n\u2019apprend pas, on se souvient. Cette remarque explique la p\u00e9dagogie de Socrate dans Le M\u00e9non<\/i>, quand il fait d\u00e9montrer le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore \u00e0 un esclave. Celui-ci est cens\u00e9 retrouver des connaissances lointaines, du temps o\u00f9 son \u00e2me n\u2019\u00e9tait pas prisonni\u00e8re de son corps. Socrate aide son interlocuteur \u00e0 \u00ab\u00a0accoucher\u00a0\u00bb de ce qui existe d\u00e9j\u00e0 en lui. Dans ce sens, l\u2019invention est impossible, seul \u00ab\u00a0trouver\u00a0\u00bb l\u2019est. Ce vocabulaire correspond \u00e0 celui utilis\u00e9 en g\u00e9n\u00e9ral en math\u00e9matiques. L\u2019expression \u00ab\u00a0il invente des th\u00e9or\u00e8mes\u00a0\u00bb est souvent p\u00e9jorative, car elle sous entend qu\u2019ils sont faux. <\/span><\/span><\/p>\n

Le monde des id\u00e9es math\u00e9matiques<\/h2>\n

De m\u00eame, les math\u00e9maticiens inventent des mondes, semblables au monde des id\u00e9es de Platon. Aucun point du monde r\u00e9el n\u2019est jamais le point id\u00e9al que nous imaginons. Il a forc\u00e9ment une certaine \u00e9paisseur. Il en est de m\u00eame de la droite et du cercle. Nous en avons des id\u00e9es que nous visualisons et m\u00eame mat\u00e9rialisons, mais c\u2019est sur les id\u00e9es que nous raisonnons. Pour rendre ses r\u00e9sultats plus solides, depuis l\u2019Antiquit\u00e9, le monde de la g\u00e9om\u00e9trie est r\u00e9gi par un certain nombre d\u2019axiomes, c\u2019est-\u00e0-dire de r\u00e9sultats consid\u00e9r\u00e9s comme vrais sans d\u00e9monstration. Cette m\u00e9thode a \u00e9t\u00e9 g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9e et approfondie par David Hilbert au d\u00e9but du XXe<\/sup> si\u00e8cle. De nos jours, chaque th\u00e9orie (arithm\u00e9tique, g\u00e9om\u00e9trie, etc.) a ses axiomes, qui la structurent.<\/span><\/span><\/p>\n

L’ombre des id\u00e9es<\/h2>\n

Ces th\u00e9ories ont un rapport complexe avec la r\u00e9alit\u00e9. Officiellement, pour les math\u00e9maticiens, les axiomes r\u00e9sultent du libre arbitre des cr\u00e9ateurs de ces th\u00e9ories. Est-il raisonnable de le pr\u00e9tendre, ou est-ce un moyen de se lib\u00e9rer de la r\u00e9alit\u00e9\u00a0? Restons dans le domaine de la g\u00e9om\u00e9trie pour donner un exemple. On y d\u00e9montre une propri\u00e9t\u00e9 de la parabole, li\u00e9e \u00e0 son foyer (appel\u00e9e propri\u00e9t\u00e9 focale pour cela), que nous r\u00e9sumons par un dessin.<\/span><\/span><\/p>\n

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Propri\u00e9t\u00e9 focale de la parabole : Si une droite D parall\u00e8le \u00e0 l\u2019axe d\u2019une parabole coupe celle-ci en un point M, la droite sym\u00e9trique de D par rapport \u00e0 la tangente en M \u00e0 la parabole passe par son foyer.<\/figcaption><\/figure>\n

Cette propri\u00e9t\u00e9 a des cons\u00e9quences visibles dans notre univers quotidien\u00a0: paraboles sur les toits des immeubles, fours solaires petits et grands, phares des voitures ou des bords de mer. La propri\u00e9t\u00e9 des paraboles existant dans le monde de la g\u00e9om\u00e9trie s\u2019applique dans notre monde.<\/span><\/span><\/p>\n

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Parabole en montagne. L\u2019utilisation d\u2019un miroir en forme de parabole permet de focaliser les rayons du soleil en un point et donc de faire bouillir de l\u2019eau. \u00a9 Herv\u00e9 Lehning<\/figcaption><\/figure>\n

Peu de math\u00e9maticiens doutent r\u00e9ellement de cette efficacit\u00e9, m\u00eame si certains scientifiques l\u2019estiment \u00ab\u00a0d\u00e9raisonnable\u00a0\u00bb.<\/span><\/span><\/p>\n

V\u00e9rit\u00e9 des axiomes<\/h2>\n

La raison de cette \u00ab\u00a0estimation\u00a0\u00bb est l\u2019opinion exprim\u00e9e par les math\u00e9maticiens contemporains eux-m\u00eames. Si vous les questionnez sur ce que sont les axiomes, il est probable qu\u2019ils r\u00e9pondront comme nous l\u2019avons expos\u00e9 plus haut. Ce sont des r\u00e8gles que l\u2019on se donne de mani\u00e8re arbitraire, et sur lesquelles on d\u00e9veloppe une th\u00e9orie coh\u00e9rente, en suivant les r\u00e8gles de la logique. De ce point de vue, cette th\u00e9orie n\u2019est pas plus \u00ab\u00a0r\u00e9elle\u00a0\u00bb ou \u00ab\u00a0vraie\u00a0\u00bb que les axiomes qui la fondent. Cependant, les r\u00e9sultats acquis sont extr\u00eamement solides. Si on admet la \u00ab\u00a0v\u00e9rit\u00e9\u00a0\u00bb des axiomes, celle des th\u00e9or\u00e8mes suit.<\/span><\/span><\/p>\n

Les th\u00e9ories math\u00e9matiques : des mod\u00e8les<\/h2>\n

Si cette v\u00e9rit\u00e9 est conditionnelle, pourquoi les r\u00e9sultats des math\u00e9matiques sont-ils utiles dans le monde r\u00e9el\u00a0? La r\u00e9ponse est simple. Les axiomes ne sont pas choisis arbitrairement\u00a0! Plut\u00f4t que de le pr\u00e9tendre, il serait pr\u00e9f\u00e9rable de dire que, s\u2019ils l\u2019\u00e9taient, on pourrait encore parler de math\u00e9matiques. Mais ils ne le sont pas ! Le fait est que l\u2019on ne s\u2019int\u00e9resse pas \u00e0 ces math\u00e9matiques du bon plaisir. Ils sont choisis pour que les th\u00e9ories math\u00e9matiques qui en d\u00e9coulent soient de bons mod\u00e8les de la r\u00e9alit\u00e9. Pour cela, ils s\u2019en inspirent. Comme Platon, les math\u00e9maticiens inventent des mondes id\u00e9aux, dont la r\u00e9alit\u00e9 est un reflet. En ce sens, ils sont platoniciens mais des platoniciens rarement dupes de leurs mod\u00e8les. Ils ont conscience que leur monde des id\u00e9es est une abstraction dont ils sont l\u2019origine. Ce n\u2019est pas un monde pr\u00e9existant de toute \u00e9ternit\u00e9, comme le monde des id\u00e9es de Platon.<\/span><\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Comme Platon, les math\u00e9maticiens sont des cr\u00e9ateurs de mondes, tels celui du mythe de la caverne. Doit-on pour autant consid\u00e9rer les math\u00e9maticiens comme platoniciens\u00a0? Qu\u2019elle fut ou non grav\u00e9e \u00e0 l\u2019entr\u00e9e de son acad\u00e9mie, la phrase Que nul n\u2019entre ici s\u2019il n\u2019est g\u00e9om\u00e8tre est conforme \u00e0 la pens\u00e9e de Platon\u00a0: il est bon que le … Continuer la lecture de Les math\u00e9maticiens sont-ils tous platoniciens ?<\/span> →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":12,"featured_media":519,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":"","_links_to":"","_links_to_target":""},"categories":[29,11,104,4],"tags":[40,96,202,203],"class_list":["post-515","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-maths-2","category-nature","category-philosophie","category-regard-sur-le-monde","tag-mathematiques","tag-philosophie","tag-platon","tag-platoniciens"],"yoast_head":"\nLes math\u00e9maticiens sont-ils tous platoniciens ?, par Herv\u00e9 Lehning<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/2018\/09\/14\/les-mathematiciens-sont-ils-tous-platoniciens\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fr_FR\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Les math\u00e9maticiens sont-ils tous platoniciens ?, par Herv\u00e9 Lehning\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Comme Platon, les math\u00e9maticiens sont des cr\u00e9ateurs de mondes, tels celui du mythe de la caverne. 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