{"id":505,"date":"2018-08-28T07:27:32","date_gmt":"2018-08-28T05:27:32","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/?p=505"},"modified":"2018-09-01T12:12:24","modified_gmt":"2018-09-01T10:12:24","slug":"les-dangers-de-philosopher-sur-les-nombres","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/2018\/08\/28\/les-dangers-de-philosopher-sur-les-nombres\/","title":{"rendered":"Les dangers de philosopher sur les nombres"},"content":{"rendered":"

Pourquoi les Grecs n\u2019ont-ils d\u00e9couvert ni les r\u00e9els, ni le z\u00e9ro et n\u2019admettaient m\u00eame pas le \u00ab\u00a0un\u00a0\u00bb dans la confr\u00e9rie des nombres\u00a0? La raison tient \u00e0 la philosophie, voire la mystique, dont ils encombraient ces notions. Le m\u00eame sch\u00e9ma se retrouve \u00e0 l\u2019\u0153uvre dans les temps modernes.<\/span><\/span><\/p>\n

Id\u00e9e pythagoricienne des nombres<\/h2>\n

Les nombres sont n\u00e9s englu\u00e9s de mystique. Pour Pythagore, le \u00ab\u00a0un\u00a0\u00bb repr\u00e9sente le divin. Plus pr\u00e9cis\u00e9ment, voici comment il parle du nombre triangulaire\u00a0: 1\u00a0+\u00a02\u00a0+\u00a03\u00a0+\u00a04\u00a0=\u00a010.<\/span><\/span><\/p>\n

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Le triangle sacr\u00e9 selon Pythagore.<\/figcaption><\/figure>\n

Pour lui, le \u00ab\u00a0un\u00a0\u00bb est le divin, le principe de toute chose\u00a0\u2026 Le \u00ab\u00a0deux\u00a0\u00bb est le couple masculin, f\u00e9minin, la dualit\u00e9\u00a0\u2026 Le \u00ab\u00a0trois\u00a0\u00bb, les trois niveaux du monde, l\u2019enfer, la terre et le ciel\u00a0\u2026 Le \u00ab\u00a0quatre\u00a0\u00bb, les quatre \u00e9l\u00e9ments, l\u2019eau, l\u2019air, la terre et le feu\u00a0\u2026 Enfin, le tout fait \u00ab\u00a0dix\u00a0\u00bb, la totalit\u00e9 de l\u2019univers, le divin compris\u00a0! On peut trouver ces id\u00e9es po\u00e9tiques mais, a<\/span>vec de telles pr\u00e9misses, on peut aussi craindre le pire\u00a0! C\u2019est pour de telles raisons mystiques que Pythagore proclama\u00a0: \u00ab\u00a0tout est nombre\u00a0\u00bb ce qui, dans son esprit, signifie \u00ab\u00a0nombre entier naturel\u00a0\u00bb. L\u2019id\u00e9e venait de la \u00ab\u00a0raison\u00a0\u00bb. Elle \u00e9tait rationnelle.<\/span><\/span><\/p>\n

Les grandeurs commensurables<\/h2>\n

Pourtant, pour \u00eatre \u00e9gaux aux rapports entre nombres entiers, il est n\u00e9cessaire que les longueurs (ou les quantit\u00e9s de fa\u00e7on g\u00e9n\u00e9rale) aient une commune mesure, soient commensurables en d\u2019autres termes. Cela signifie que si AB et BC sont deux segments contigus, on peut placer un point U tel que AB et AC soient multiples de AU (AU est la commune mesure).<\/span><\/span><\/p>\n

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AB et AC sont commensurables s\u2019il existe un point U tel que AB et AC soient multiples de AU.<\/figcaption><\/figure>\n

L’\u00e9chec des fractions<\/h2>\n

Malheureusement pour sa doctrine, Pythagore prouva lui-m\u00eame qu\u2019il existe des grandeurs incommensurables, le c\u00f4t\u00e9 et la diagonale d\u2019un carr\u00e9 par exemple. Son raisonnement est fond\u00e9 sur la figure suivante.<\/span><\/span><\/p>\n

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En d\u00e9coupant un carr\u00e9 (de c\u00f4t\u00e9 AB), on peut en former deux (de c\u00f4t\u00e9 CD). En les mesurant \u00e0 la m\u00eame aune, nous obtenons deux entiers et l\u2019\u00e9galit\u00e9 : AB . AB = 2 CD . CD. Dans la factorisation de ce nombre, 2 intervient un nombre pair de fois \u00e0 gauche et un nombre impair \u00e0 droite, ce qui est absurde.<\/figcaption><\/figure>\n

En factorisant l\u2019\u00e9galit\u00e9\u00a0: AB\u00a0.\u00a0AB\u00a0=\u00a02\u00a0CD\u00a0.\u00a0CD, Pythagore obtint une absurdit\u00e9. Son id\u00e9e s\u2019\u00e9croule\u00a0: il existe des longueurs incommensurables. Son dogme \u00ab\u00a0tout est nombre\u00a0\u00bb ne retrouvera vie que dans les temps modernes, quand d\u2019autres \u00ab\u00a0objets\u00a0\u00bb seront admis dans le champ des nombres, en particulier, le rapport de la diagonale au c\u00f4t\u00e9 du carr\u00e9, racine de 2 <\/span>que nous disons toujours irrationnelle.<\/span><\/span><\/p>\n

Le “un” est-il un nombre ?<\/h2>\n

Que les id\u00e9es mystiques aboutissent \u00e0 des erreurs semble normal. Plus \u00e9trangement, le \u00ab\u00a0bon sens\u00a0\u00bb peut faire de m\u00eame. Les anciens Grecs ne consid\u00e9raient pas l\u2019unit\u00e9 comme un nombre, car elle ne repr\u00e9sente pas une multiplicit\u00e9. On ne d\u00e9nombre qu\u2019\u00e0 partir de deux\u00a0! Selon Euclide, un nombre est un assemblage compos\u00e9 d\u2019unit\u00e9s. Autrement dit, l\u2019unit\u00e9 est la source et l\u2019origine de tout nombre. Avant de compter, il est n\u00e9cessaire de distinguer l\u2019unit\u00e9 qui, de ce fait, a un statut \u00e0 part. Qu\u2019est-ce qu\u2019un sommet en montagne\u00a0? Cette question peut sembler simpliste, elle demande pourtant de savoir distinguer une ant\u00e9cime d\u2019un sommet. Il en est de m\u00eame si on veut compter des plantes. Dans chaque cas, il est n\u00e9cessaire de distinguer l\u2019unit\u00e9.<\/span><\/span><\/p>\n

Une fois cette \u00e9tape accomplie, nous pouvons d\u00e9nombrer, ce qui correspond \u00e0 une suite d\u2019op\u00e9rations\u00a0: 2\u00a0=\u00a01\u00a0+\u00a01, 3\u00a0=\u00a01\u00a0+\u00a01\u00a0+\u00a01, etc. L\u2019id\u00e9e qu\u2019une seule unit\u00e9 serait un nombre est rejet\u00e9e car \u00ab\u00a01\u00a0\u00bb est singulier et les nombres, pluriels. L\u2019assemblage commence \u00e0 deux. La question peut sembler factice, mais elle est plus embarrassante qu\u2019il n\u2019y para\u00eet. Quand faut-il utiliser un pluriel\u00a0? Du fait de ce type de questions, il fallut plusieurs mill\u00e9naires pour voir dans le \u00ab\u00a0un\u00a0\u00bb rien d\u2019autre qu\u2019un nombre ordinaire. Le probl\u00e8me s\u2019est alors report\u00e9 sur le z\u00e9ro.<\/span><\/span><\/p>\n

“Z\u00e9ro” est-il un nombre ?<\/h2>\n

Pendant longtemps, z\u00e9ro a \u00e9t\u00e9 exclu de l\u2019univers des nombres car il ne repr\u00e9sente ni un d\u00e9nombrement, ni une mesure. Nous devons son apparition en tant que nombre au math\u00e9maticien indien <\/span>Brahmagupta (VIIe<\/sup> si\u00e8cle apr\u00e8s J\u00e9sus-Christ). Pour lui, il ne s\u2019agit pas seulement de la notation d\u2019une absence d\u2019unit\u00e9, de dizaine ou de centaine, etc. comme dans la num\u00e9ration de position mais aussi d\u2019un vrai nombre, sur lequel on peut calculer. Il le d\u00e9finit d\u2019ailleurs comme le r\u00e9sultat de la soustraction d\u2019un nombre par lui-m\u00eame. Il donne les bons r\u00e9sultats l\u2019impliquant dans les op\u00e9rations licites (addition, soustraction et multiplication) mais se trompe en estimant que 0 divis\u00e9 par 0 est \u00e9gal \u00e0 lui-m\u00eame. On peut le comprendre, la question n\u2019est pas simple.<\/span><\/span><\/p>\n

R\u00e8gle d’extension \u00e0 z\u00e9ro<\/h2>\n

La r\u00e8gle d\u2019extension des r\u00e9sultats \u00e0 z\u00e9ro n\u2019est pas d\u2019origine philosophique, mais calculatoire. Par exemple, que vaut un nombre \u00e0 la puissance z\u00e9ro\u00a0? Pour r\u00e9pondre \u00e0 cette question, se demander ce que signifie de porter un nombre \u00e0 la puissance z\u00e9ro est inutile, voire nuisible. A priori<\/i>, 2 \u00e0 la puissance 4 (par exemple) est \u00e9gal \u00e0 2 multipli\u00e9 4 fois par lui-m\u00eame, soit 24<\/sup>\u00a0=\u00a02\u00a0.\u00a02\u00a0.\u00a02\u00a0.\u00a02. De m\u00eame, en rempla\u00e7ant 4 par n\u2019importe quel nombre entier sup\u00e9rieur \u00e0 1, donc 21<\/sup>\u00a0=\u00a02. Mais que peut bien vouloir dire un nombre multipli\u00e9 0 fois par lui-m\u00eame\u00a0? Se poser la question ainsi, c\u2019est se condamner \u00e0 ne pas pouvoir y r\u00e9pondre. En fait, il faut trouver un principe d\u2019extension. La propri\u00e9t\u00e9 essentielle est la formule 24+1<\/sup>\u00a0=\u00a024<\/sup>\u00a0.\u00a02, valable en rempla\u00e7ant 4 par n\u2019importe quel nombre. En le rempla\u00e7ant par 0, nous obtenons 20+1<\/sup>\u00a0=\u00a020<\/sup>\u00a0.\u00a021<\/sup>, ce qui donne 2\u00a0=\u00a020<\/sup>\u00a0.\u00a02. En simplifiant par 2, nous obtenons 20<\/sup>\u00a0=\u00a01. Ce r\u00e9sultat est encore vrai si nous rempla\u00e7ons 2 par tout nombre non nul. Ainsi, un nombre non nul port\u00e9 \u00e0 la puissance 0 est \u00e9gal \u00e0 1.<\/span><\/span><\/p>\n

Cette \u00e9galit\u00e9 correspond \u00e0 une id\u00e9e subtile\u00a0: celle de la g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9 des calculs. On d\u00e9finit la puissance 0 pour que les r\u00e8gles de calcul connues sur les puissances restent vraies dans ce cas particulier. Il reste l\u2019ambigu\u00eft\u00e9 de 0 \u00e0 la puissance 0. Suivant les cas, on peut retenir la valeur 1 par souci de g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9 ou consid\u00e9rer cette quantit\u00e9 comme non d\u00e9finie.<\/span><\/span><\/p>\n

Pour la m\u00eame raison, il est possible d\u2019\u00e9tendre la d\u00e9finition de la factorielle. A priori<\/i>, 4\u00a0! (lire factorielle 4) est le produit des entiers naturels de 1 \u00e0 4, de m\u00eame 5\u00a0! La factorielle de 0 n\u2019a donc aucun sens. Cependant, comme pr\u00e9c\u00e9demment, 5\u00a0!\u00a0=\u00a05\u00a0.\u00a04\u00a0! et ceci en rempla\u00e7ant 4 par n\u2019importe quel nombre. Si nous voulons d\u00e9finir 0\u00a0!, il est donc n\u00e9cessaire que 1\u00a0!\u00a0=\u00a01\u00a0.\u00a00\u00a0! ce qui fournit 0\u00a0!\u00a0=\u00a01. Pour les m\u00eames raisons, le produit et la somme d\u2019une liste de z\u00e9ro nombre entier sont \u00e9gaux \u00e0 1 et 0.<\/span><\/span><\/p>\n

Les nombres n\u00e9gatifs<\/h2>\n

Les m\u00eames ph\u00e9nom\u00e8nes de m\u00e9fiance se sont produits pour les nombres n\u00e9gatifs m\u00eame si, de nos jours, ils ont pris un sens concret avec les temp\u00e9ratures, qui peuvent \u00eatre n\u00e9gatives, et les \u00e9tages en sous-sol des immeubles. \u00c0 l\u2019\u00e9poque de <\/span>Brahmagupta, cette notion \u00e9tait tr\u00e8s abstraite. Les nombres n\u00e9gatifs n\u2019ont d\u2019ailleurs \u00e9t\u00e9 admis en Occident que bien plus tard. Descartes les \u00e9vitait encore\u00a0! Dans ses Pens\u00e9es<\/i>, Pascal, pourtant grand math\u00e9maticien, \u00e9crit d\u2019ailleurs cette phrase surprenante\u00a0: \u00ab\u00a0Trop de v\u00e9rit\u00e9 nous \u00e9tonne\u00a0; j\u2019en sais qui ne peuvent comprendre que, qui de z\u00e9ro \u00f4te 4, reste z\u00e9ro\u00a0\u00bb. Sans le vouloir, Pascal pointe ici l\u2019une des difficult\u00e9s \u00e0 consid\u00e9rer z\u00e9ro comme nombre v\u00e9ritable\u00a0: l\u2019id\u00e9e du z\u00e9ro absolu, celui en dessous duquel on ne peut descendre. Il n\u2019aurait sans doute pas admis nos temp\u00e9ratures n\u00e9gatives, et aurait donc pr\u00e9f\u00e9r\u00e9 les degr\u00e9s Fahrenheit aux Celsius. Fahrenheit fixa l\u2019origine des temp\u00e9ratures (0\u00b0 Fahrenheit) \u00e0 la plus basse qu\u2019il ait observ\u00e9e. C\u2019\u00e9tait durant l\u2019hiver 1709 dans la ville de Dantzig, o\u00f9 il habitait. Pour 100\u00b0 Fahrenheit, il choisit la temp\u00e9rature corporelle d\u2019un cheval sain\u00a0! Dans son syst\u00e8me, l\u2019eau g\u00e8le \u00e0 32\u00b0 (Celsius) et elle bout \u00e0 212\u00b0 environ. <\/span><\/span><\/p>\n

Ces choix \u00e9tranges de Fahrenheit s\u2019expliquent par la r\u00e9ticence de l\u2019\u00e9poque devant les nombres n\u00e9gatifs. On pr\u00e9f\u00e9rait d\u2019ailleurs parler de quantit\u00e9s plut\u00f4t que de nombres. Il s\u2019agissait d\u2019artifices de calcul pour r\u00e9soudre des \u00e9quations, dont on \u00e9cartait ensuite les solutions n\u00e9gatives. Tout en \u00e9tant une origine, z\u00e9ro v\u00e9hicule une id\u00e9e d\u2019absolu, en dessous duquel on ne peut aller, comme on le voit chez Pascal. Cette id\u00e9e a perdur\u00e9 jusqu\u2019au XIXe<\/sup> si\u00e8cle, <\/span>Lazare Carnot disait encore\u00a0: \u00ab\u00a0<\/span>Pour obtenir r\u00e9ellement une quantit\u00e9 n\u00e9gative isol\u00e9e, il faudrait retrancher une quantit\u00e9 effective de z\u00e9ro, \u00f4ter quelque chose de rien\u00a0: op\u00e9ration impossible. Comment donc concevoir une quantit\u00e9 n\u00e9gative isol\u00e9e\u00a0?\u00a0\u00bb<\/span><\/em><\/span><\/p>\n

L’erreur de sens<\/h2>\n

La question ne doit pas \u00eatre examin\u00e9e d\u2019un point de vue philosophique en se demandant, par exemple, ce que signifie de multiplier les dettes entre elles, ou de plaisanter sur les possibilit\u00e9s de faire un b\u00e9n\u00e9fice en les multipliant comme le fait Stendhal dans La vie de Henry Brulard<\/i>, son roman autobiographique\u00a0: \u00ab\u00a0<\/span>Supposons que les quantit\u00e9s n\u00e9gatives sont des dettes d\u2019un homme, comment en multipliant 10 000 francs de dette par 500 francs, cet homme aurait-il ou parviendra-t-il \u00e0 avoir une fortune de 5 000 000, cinq millions\u00a0?\u00a0\u00bb<\/span><\/span><\/p>\n

L\u2019usage des termes math\u00e9matiques hors contexte peut donner des r\u00e9sultats amusants, mais la question n\u2019est pas l\u00e0. L\u2019important est que les r\u00e8gles de calcul habituelles sur les nombres soient respect\u00e9es. Ces id\u00e9es ont d\u00e9bouch\u00e9 sur la notion de corps de nombres au XIXe<\/sup> si\u00e8cle.<\/span><\/span><\/p>\n

La r\u00e9alit\u00e9 des r\u00e9els<\/h2>\n

L\u2019exp\u00e9rience du calcul sugg\u00e8re que l\u2019\u00e9criture d\u00e9cimale permet d\u2019atteindre les mesures avec toute pr\u00e9cision d\u00e9sir\u00e9e, quelle qu\u2019elle soit. Celle-ci n\u2019a pas de limite et on peut, par exemple, parler du milliardi\u00e8me chiffre apr\u00e8s la virgule du nombre <\/span>pi<\/i>. Jusqu\u2019\u00e0 la fin du XXe<\/sup> si\u00e8cle, ce genre d\u2019affirmation avait un c\u00f4t\u00e9 gratuit car personne ne pouvait le conna\u00eetre. Aujourd\u2019hui, nous savons qu\u2019il s\u2019agit du chiffre 2. Bien s\u00fbr, il existera toujours une limite ind\u00e9passable, tout simplement parce que notre temps est fini, et notre \u00e9nergie compt\u00e9e. Aussi infime que soit le co\u00fbt de l\u2019impression d\u2019un chiffre sur du papier, un \u00e9cran d\u2019ordinateur ou un emplacement m\u00e9moire d\u2019un DVD, on se ruinerait \u00e0 vouloir en \u00e9crire trop. Cependant, il est facile d\u2019imaginer que tout nombre poss\u00e8de un n<\/i>i\u00e8me<\/sup> chiffre apr\u00e8s la virgule, et cela pour tout entier n<\/i>, aussi grand soit-il. <\/span><\/span><\/p>\n

De fa\u00e7on g\u00e9n\u00e9rale, nous appelons d\u00e9veloppement d\u00e9cimal une suite de chiffres telle que 65,\u00a0692\u00a0873\u00a0451\u00a0etc. \u00e0 l\u2019infini avec la condition suivante\u00a0: les chiffres ne sont pas tous \u00e9gaux \u00e0 9 \u00e0 partir d\u2019un certain rang. Le r\u00e9sultat est ce que l\u2019on appelle un nombre r\u00e9el. Ces nombres permettent de repr\u00e9senter la notion intuitive de mesure (longueur, aire, volume, temps, etc.). Pourquoi\u00a0? Pour l\u2019expliquer, imaginez vouloir mesurer un segment OA. Comment faites-vous\u00a0? Sans doute prenez-vous une r\u00e8gle gradu\u00e9e.<\/span><\/span><\/p>\n

\"\"
Pour mesurer une longueur, on la porte le long d\u2019une r\u00e8gle gradu\u00e9e. Ici, OA vaut entre 2,6 et 2,7.<\/figcaption><\/figure>\n

Vous faites correspondre le point O et la graduation 0 de la r\u00e8gle puis placez celle-ci le long du segment OA. Le point A se situe alors entre deux graduations, disons entre 2 et 3. La longueur vaut donc 2, augment\u00e9 de quelque chose. Comment l\u2019\u00e9valuer plus pr\u00e9cis\u00e9ment\u00a0? Tout simplement en utilisant les graduations directement inf\u00e9rieures (les dixi\u00e8mes). La longueur se situe entre deux de ces graduations, disons entre 6 et 7. On peut imaginer continuer ainsi \u00e0 l\u2019infini m\u00eame si, en r\u00e9alit\u00e9, nous ne pouvons d\u00e9passer une certaine pr\u00e9cision. La longueur OA est donc repr\u00e9sent\u00e9e par un d\u00e9veloppement d\u00e9cimal, \u00e9ventuellement illimit\u00e9. De plus, une suite infinie de 9, comme 2,\u00a0999\u00a0\u2026 par exemple, est impossible car correspond au nombre directement sup\u00e9rieur (ici 3). La notion de nombre r\u00e9el est donc un bon mod\u00e8le math\u00e9matique pour \u00e9tudier celle de longueur et, de fa\u00e7on plus g\u00e9n\u00e9rale, de toute mesure de m\u00eame nature.<\/span><\/span><\/p>\n

Les nombres aujourd’hui<\/h2>\n

Le mot \u00ab\u00a0r\u00e9el\u00a0\u00bb ne doit pas leurrer. Ces nombres n\u2019existent pas plus dans la r\u00e9alit\u00e9 que les autres. Ce sont des abstractions utiles pour mod\u00e9liser le monde r\u00e9el. Leur efficacit\u00e9 se mesure \u00e0 l\u2019aune des r\u00e9sultats qu\u2019ils permettent d\u2019obtenir. Autrement dit, le contr\u00f4le philosophique sur les nombres ne se fait pas a priori<\/i> pour satisfaire \u00e0 quelques conceptions plus ou moins dogmatiques. Ce contr\u00f4le se fait a<\/i> posteriori<\/i> sur les r\u00e9sultats qu\u2019ils permettent d\u2019obtenir. Cette id\u00e9e peut troubler certains car elles impliquent que la v\u00e9rit\u00e9 se mesure \u00e0 son efficacit\u00e9. Il en est de m\u00eame des axiomes des math\u00e9maticiens. Il n\u2019existe pas d\u2019axiomes \u00ab\u00a0vrais\u00a0\u00bb, il existe des axiomes utiles.<\/span><\/span><\/p>\n

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Pourquoi les Grecs n\u2019ont-ils d\u00e9couvert ni les r\u00e9els, ni le z\u00e9ro et n\u2019admettaient m\u00eame pas le \u00ab\u00a0un\u00a0\u00bb dans la confr\u00e9rie des nombres\u00a0? La raison tient \u00e0 la philosophie, voire la mystique, dont ils encombraient ces notions. Le m\u00eame sch\u00e9ma se retrouve \u00e0 l\u2019\u0153uvre dans les temps modernes. 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