{"id":499,"date":"2019-01-11T15:54:20","date_gmt":"2019-01-11T14:54:20","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/?p=499"},"modified":"2019-02-02T21:50:45","modified_gmt":"2019-02-02T20:50:45","slug":"comment-peut-on-chiffrer-avec-une-courbe","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/2019\/01\/11\/comment-peut-on-chiffrer-avec-une-courbe\/","title":{"rendered":"Comment peut-on chiffrer avec une courbe ?"},"content":{"rendered":"

Vous avez peut-\u00eatre entendu d\u2019une m\u00e9thode de cryptographie utilisant des courbes, des courbes elliptiques plus pr\u00e9cis\u00e9ment. Mais comment peut-on chiffrer, c\u2019est-\u00e0-dire transformer un message clair en un message cach\u00e9, avec une courbe\u00a0?<\/span><\/span><\/p>\n

Les courbes elliptiques<\/h2>\n

Les courbes en question sont les courbes elliptiques, c\u2019est-\u00e0-dire des courbes d\u2019\u00e9quation y<\/i>2<\/sup>\u00a0=\u00a0x<\/i>3<\/sup>\u00a0+\u00a0a<\/i>\u00a0x<\/i>\u00a0+\u00a0b<\/i> o\u00f9 a<\/i> et b<\/i> sont des nombres, par exemple y<\/i>2<\/sup>\u00a0=\u00a0x<\/i>3<\/sup>\u00a0\u2013\u00a02\u00a0x<\/i>\u00a0+\u00a01 ce qui peut se dessiner. On obtient\u00a0la figure suivante.<\/span><\/span><\/p>\n

\"\"
La courbe est l\u2019ensemble des points M de coordonn\u00e9es x et y v\u00e9rifiant l\u2019\u00e9quation ci-dessus, c\u2019est-\u00e0-dire y2 = x3 \u2013 2 x + 1.<\/figcaption><\/figure>\n

Le rapport avec les ellipses, qui sont des cercles \u00ab\u00a0aplatis\u00a0\u00bb sur l\u2019un de leur diam\u00e8tre, est indirect puisqu\u2019il concerne le calcul de leurs longueurs. Nous n\u2019insisterons pas sur ce point car il n\u2019a aucun rapport avec la cryptographie. L\u2019int\u00e9r\u00eat est qu\u2019on peut d\u00e9finir des op\u00e9rations transformant les points de cette courbe en un autre. On s\u2019approche de l\u2019id\u00e9e de chiffrement \u2026 sans encore l\u2019avoir atteinte toutefois.<\/span><\/span><\/p>\n

Loi de groupe sur une courbe elliptique<\/h2>\n

L\u2019avantage des courbes elliptiques est qu\u2019on peut y d\u00e9finir une loi. La figure suivante montre comment, \u00e0 deux points P et Q de la courbe, on associe un point que l\u2019on note P\u00a0+\u00a0Q.<\/span><\/span><\/p>\n

\"\"
Dans le cas g\u00e9n\u00e9ral, on trace la droite PQ. Elle coupe la courbe en un point R, P + Q est le sym\u00e9trique de R par rapport \u00e0 l\u2019axe des abscisses. Si P = Q, PQ est la tangente en P \u00e0 la courbe. Pour que cette d\u00e9finition fonctionne dans tous les cas, nous devons adjoindre \u00e0 la courbe un point \u00e0 l\u2019infini, que nous notons 0. Si PQ est verticale, P + Q = 0.<\/figcaption><\/figure>\n

On montre que cette loi + a les propri\u00e9t\u00e9s habituelles de l\u2019addition des nombres, soit l\u2019associativit\u00e9, la commutativit\u00e9, l\u2019existence d\u2019un point neutre (le point \u00e0 l\u2019infini) et d\u2019un sym\u00e9trique pour tout point (le sym\u00e9trique par rapport \u00e0 l\u2019axe des abscisses justement).<\/p>\n

Remarque : on trouvera les d\u00e9tails des calculs sur mon site :\u00a0ici<\/strong><\/a><\/p>\n

Chiffrement<\/span><\/p>\n

Pour chiffrer, on ne consid\u00e8re pas les courbes elliptiques sur le corps des nombres r\u00e9els mais sur un corps fini comme Z\u00a0\/\u00a0N o\u00f9 N est un nombre premier. La courbe a alors un nombre fini de points. L\u2019id\u00e9e de d\u00e9part est qu\u2019un texte peut \u00eatre transform\u00e9 en une suite de points de la courbe. Cela revient \u00e0 \u00e9crire dans un alphabet ayant autant de signes que la courbe a de points. Notons que le probl\u00e8me sous-jacent n\u2019a rien de simple mais, th\u00e9oriquement, le chiffrement consiste alors \u00e0 transformer un point de la courbe. La clef secr\u00e8te est constitu\u00e9e d\u2019un point P de la courbe et d\u2019un nombre entier, comme 3 par exemple. On calcule ensuite P\u00a0\u2019\u00a0=\u00a03\u00a0P. La clef publique est alors le couple de points (P,\u00a0P\u00a0\u2019). Pour crypter un point M, le chiffreur choisit un entier, 23 par exemple, et transmet le couple (U,\u00a0V) d\u00e9fini par\u00a0: U\u00a0=\u00a023\u00a0P et V\u00a0=\u00a0M\u00a0+\u00a023\u00a0P\u00a0\u2019. La connaissance du premier nombre, ici 3, suffit pour retrouver M car M\u00a0=\u00a0V\u00a0\u2013\u00a03\u00a0U. <\/span><\/p>\n

Logarithme discret<\/h2>\n

Pour retrouver le nombre choisi, 3 dans notre exemple, connaissant P et P\u00a0\u2019, il suffit de savoir r\u00e9soudre l\u2019\u00e9quation\u00a0: P\u00a0\u2019\u00a0=\u00a03\u00a0P. L\u2019utilisation du verbe \u00ab\u00a0suffir\u00a0\u00bb ne doit pas tromper. Cela ne signifie absolument pas que cela soit facile mais que, si vous savez le faire, vous savez d\u00e9crypter. Le nombre 3 est alors appel\u00e9 un logarithme discret ce qui n\u2019est gu\u00e8re intuitif si on utilise la notation additive ci-dessus. Avec une notation multiplicative de l\u2019op\u00e9ration de groupe, cela devient plus habituel puisque l\u2019\u00e9quation s\u2019\u00e9crit alors\u00a0: P\u00a0\u2019\u00a0=\u00a0P3<\/sup>. Dans l\u2019ensemble des nombres usuels, 3 correspondrait au logarithme de base P de P\u00a0\u2019 d\u2019o\u00f9 le nom dans le cadre d\u2019un groupe fini. \u00c0 l\u2019heure actuelle, ce probl\u00e8me est consid\u00e9r\u00e9 comme tr\u00e8s difficile. On estime qu\u2019une clef de 200 bits pour les courbes elliptiques est plus s\u00fbre qu\u2019une clef de 1024 bits pour la m\u00e9thode R.S.A. Comme les calculs sur les courbes elliptiques ne sont pas compliqu\u00e9s \u00e0 r\u00e9aliser, c\u2019est un gros avantage pour les cartes \u00e0 puces o\u00f9 on dispose de peu de puissance, et o\u00f9 la taille de la clef influe beaucoup sur les performances. Les inconv\u00e9nients sont de deux ordres. D\u2019une part, la th\u00e9orie des fonctions elliptiques est complexe et relativement r\u00e9cente. Il n\u2019est pas exclu que l\u2019on puisse contourner le probl\u00e8me du logarithme discret. D\u2019autre part, la technologie de cryptographie par courbe elliptique a fait l\u2019objet du d\u00e9p\u00f4t de nombreux brevets \u00e0 travers le monde. Cela pourrait rendre son utilisation co\u00fbteuse\u00a0!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Vous avez peut-\u00eatre entendu d\u2019une m\u00e9thode de cryptographie utilisant des courbes, des courbes elliptiques plus pr\u00e9cis\u00e9ment. Mais comment peut-on chiffrer, c\u2019est-\u00e0-dire transformer un message clair en un message cach\u00e9, avec une courbe\u00a0? 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