{"id":355,"date":"2018-06-22T12:12:13","date_gmt":"2018-06-22T10:12:13","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/?p=355"},"modified":"2018-07-28T17:57:35","modified_gmt":"2018-07-28T15:57:35","slug":"lapplication-surprenante-dun-vieux-probleme-dapollonius","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/2018\/06\/22\/lapplication-surprenante-dun-vieux-probleme-dapollonius\/","title":{"rendered":"L’application surprenante d’un vieux probl\u00e8me d’Apollonius"},"content":{"rendered":"

L’Antiquit\u00e9 grecque s’est passionn\u00e9e du probl\u00e8me d’Apollonius (trois si\u00e8cles avant notre \u00e8re) sans doute sans y voir la moindre application. Songez !\u00a0\u00c9tant donn\u00e9 trois cercles du plan, il s’agit de trouver les cercles qui leur sont tangents. Il fallut attendre Fran\u00e7ois Vi\u00e8te (1540 – 1603) pour qu’il trouve une solution compl\u00e8te. Au maximum, huit cercles sont solutions.<\/span><\/span><\/p>\n

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Le cercle rouge est tangent aux trois cercles bleus<\/figcaption><\/figure>\n

Rep\u00e9rage acoustique de l’artillerie<\/h2>\n

Une id\u00e9e pour rep\u00e9rer les pi\u00e8ces d\u2019artillerie est d\u2019utiliser le son produit lors de la mise \u00e0 feu. Les instruments essentiels pour ces rep\u00e9rages sont des microphones, dispositifs invent\u00e9s \u00e0 la fin du XIXe<\/sup> si\u00e8cle. S\u2019ils sont adapt\u00e9s aux basses fr\u00e9quences et ignorent les autres, les sons de l\u2019artillerie lourde sont distingu\u00e9s des autres bruits du champ de bataille. Il faut en utiliser au moins trois, reli\u00e9s \u00e0 un appareil d\u2019enregistrement effectuant un trac\u00e9 sur un m\u00eame rouleau enregistreur afin de comparer les instants de r\u00e9ception du son.<\/p>\n

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Le son de la m\u00eame mise \u00e0 feu est enregistr\u00e9 \u00e0 des instants diff\u00e9rents selon la position des micros.<\/figcaption><\/figure>\n

Dans le cas de l\u2019enregistrement ci-dessus, l\u2019onde sonore venant du canon ennemi (en T) se d\u00e9place selon un cercle de centre T. Elle atteint d\u2019abord le point A o\u00f9 est plac\u00e9 le premier microphone puis le point B o\u00f9 est plac\u00e9 le second apr\u00e8s un temps t<\/em> mesurable sur l\u2019enregistrement et enfin le point C apr\u00e8s un temps t<\/em>\u2019 (toujours apr\u00e8s le point A). En tenant compte de la vitesse du son, la distance de T \u00e0 A est \u00e9gale \u00e0 un nombre R, qu\u2019il s\u2019agit de d\u00e9terminer, celle de T \u00e0 B \u00e0 R\u00a0+\u00a0r<\/em> o\u00f9 r<\/em> correspond \u00e0 la distance parcourue par le son pendant le temps t<\/em> et enfin la distance de T \u00e0 C \u00e9gale \u00e0 R\u00a0+\u00a0r<\/em>\u2019 o\u00f9 r<\/em>\u2019 correspond \u00e0 la distance parcourue par le son pendant le temps t<\/em>\u2019.<\/p>\n

Si T est connu, le cercle de centre T et de rayon R passe par A et est tangent au cercle de centre B et de rayon r<\/em> ainsi qu\u2019au cercle de centre de centre C et de rayon r<\/em>\u2019, ce qui se r\u00e9sume en une figure bien connue des math\u00e9maticiens de l\u2019\u00e9poque, au probl\u00e8me d’Apollonius, l’un des cercles \u00e9tant de rayon nul :<\/p>\n

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Le cercle de centre T passe par A et est tangent aux cercles de centres B et C.<\/figcaption><\/figure>\n

R\u00e9solution du probl\u00e8me<\/h2>\n

De nos jours, ce probl\u00e8me est r\u00e9solu par la g\u00e9om\u00e9trie analytique et un logiciel d\u00e9termine directement les coordonn\u00e9es de la position de la batterie ennemie (syst\u00e8me de localisation de l\u2019artillerie par acoustique, SL2A). Ce syst\u00e8me peut \u00eatre coupl\u00e9 de nos jour avec un radar de contrebatterie (RCB), qui a cependant le d\u00e9faut d\u2019\u00eatre lui-m\u00eame rep\u00e9rable puisqu\u2019un radar \u00e9met des ondes, contrairement au syst\u00e8me acoustique.<\/p>\n

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En f\u00e9vrier 1915, Ferdinand Daussy, ing\u00e9nieur des mines, soldat \u00e0 Verdun, r\u00e9alise, \u00e0 partir d\u2019un moteur de phonographe et d\u2019un diapason entretenu \u00e9lectriquement, un appareil de rep\u00e9rage au son inscrivant sur un papier d\u2019enregistrement le cent milli\u00e8me de seconde. \u00c0 partir de trois postes d\u2019observation, il parvint \u00e0 situer les pi\u00e8ces allemandes pourtant invisibles. Les artilleurs fran\u00e7ais d\u00e9clench\u00e8rent un tir sur cet emplacement, arr\u00eatant ainsi le feu ennemi. \u00c0 cette \u00e9poque, les microphones \u00e9taient reli\u00e9s au syst\u00e8me de contr\u00f4le par des fils, ce qui le rendait vuln\u00e9rable. \u00c0 Verdun, une attaque allemande mit fin au syst\u00e8me de Ferdinand Daussy.<\/figcaption><\/figure>\n

On peut \u00e9galement r\u00e9duire ce probl\u00e8me \u00e0 une question d\u2019intersection de deux hyperboles mais, au temps de la Grande Guerre, le calcul se faisait graphiquement sur une carte avec un jeu de disques de divers rayons par t\u00e2tonnement sachant que la port\u00e9e maximale des canons \u00e9tait connue.<\/p>\n

La m\u00e9thode a am\u00e9lior\u00e9 le rep\u00e9rage des batteries ennemies mais elle n\u2019est pas toujours pr\u00e9cise car la vitesse du son d\u00e9pend de facteurs m\u00e9t\u00e9orologiques comme la temp\u00e9rature et la vitesse du vent. De plus, l\u2019artillerie \u00e9tait souvent utilis\u00e9e en grand nombre simultan\u00e9ment ce qui rendait d\u00e9licat le rep\u00e9rage individuel de chaque batterie.<\/p>\n

Laissons la conclusion sur l\u2019importance de ces recherches \u00e0 Paul Painlev\u00e9, math\u00e9maticien et ministre de la guerre en 1917, dans une allocution apr\u00e8s la victoire\u00a0: les math\u00e9matiques les plus abstraites ou les plus subtiles ont particip\u00e9 \u00e0 la solution des probl\u00e8mes de rep\u00e9rage et au calcul des tables de tir toutes nouvelles qui ont accru de 25 pour 100 l\u2019efficacit\u00e9 de l\u2019artillerie<\/em>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

L’Antiquit\u00e9 grecque s’est passionn\u00e9e du probl\u00e8me d’Apollonius (trois si\u00e8cles avant notre \u00e8re) sans doute sans y voir la moindre application. Songez !\u00a0\u00c9tant donn\u00e9 trois cercles du plan, il s’agit de trouver les cercles qui leur sont tangents. Il fallut attendre Fran\u00e7ois Vi\u00e8te (1540 – 1603) pour qu’il trouve une solution compl\u00e8te. Au maximum, huit cercles … Continuer la lecture de L’application surprenante d’un vieux probl\u00e8me d’Apollonius<\/span> →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":12,"featured_media":357,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":"","_links_to":"","_links_to_target":""},"categories":[63,29,3],"tags":[148,146,141,147,151,149,150],"class_list":["post-355","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-histoire","category-maths-2","category-sciences","tag-artillerie","tag-grande-guerre","tag-histoire","tag-premiere-guerre-mondiale","tag-rcb","tag-reperage","tag-sl2a"],"yoast_head":"\nL'application surprenante d'un vieux probl\u00e8me d'Apollonius, par Herv\u00e9 Lehning<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/2018\/06\/22\/lapplication-surprenante-dun-vieux-probleme-dapollonius\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fr_FR\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"L'application surprenante d'un vieux probl\u00e8me d'Apollonius, par Herv\u00e9 Lehning\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"L’Antiquit\u00e9 grecque s’est passionn\u00e9e du probl\u00e8me d’Apollonius (trois si\u00e8cles avant notre \u00e8re) sans doute sans y voir la moindre application. 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