{"id":1251,"date":"2020-05-15T10:54:10","date_gmt":"2020-05-15T08:54:10","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/?p=1251"},"modified":"2020-05-23T20:06:34","modified_gmt":"2020-05-23T18:06:34","slug":"compter-les-grains-de-sable-avec-archimede","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/2020\/05\/15\/compter-les-grains-de-sable-avec-archimede\/","title":{"rendered":"Compter les grains de sable avec Archim\u00e8de"},"content":{"rendered":"

Archim\u00e8de (287\u00a0\u2013\u00a0212 avant J\u00e9sus-Christ) inventa une m\u00e9thode pour d\u00e9crire les grands nombres dans un but purement th\u00e9orique, pour montrer que le nombre de grains de sable contenus dans l\u2019univers n\u2019\u00e9tait pas infini, mais juste tr\u00e8s grand. C\u2019est d\u2019ailleurs ainsi que commence l\u2019Ar\u00e9naire\u00a0<\/em>:<\/p>\n

Il est des personnes, \u00f4 roi G\u00e9lon, qui pensent que le nombre des grains de sable est infini. Je ne parle point du sable qui est autour de Syracuse [mais] d\u2019un volume de sable qui f\u00fbt \u00e9gal \u00e0 celui de la Terre.<\/em><\/p>\n

Pour cela, Archim\u00e8de commence par \u00e9valuer le p\u00e9rim\u00e8tre de la Terre, en voulant \u00eatre s\u00fbr que la mesure r\u00e9elle soit inf\u00e9rieure \u00e0 celle qu\u2019il donne, il multiplie donc par dix les mesures connues\u00a0:<\/p>\n

Cela pos\u00e9, que le contour de la Terre soit \u00e0 peu pr\u00e8s de trois cent myriades de stades mais non plus grand. Car tu n\u2019ignores point que d\u2019autres ont voulu d\u00e9montrer que le contour de la Terre est \u00e0 peu pr\u00e8s de trente myriades de stades.<\/em><\/p>\n

Dans le syst\u00e8me de num\u00e9ration grec, la myriade \u00e9tait l\u2019unit\u00e9 suivant directement le millier. Elle valait donc dix mille. Le stade est une mesure que nous avons tous en t\u00eate car elle a donn\u00e9 la longueur de nos stades. Il mesurait donc un peu moins de 200 m\u00e8tres, mais cela importe peu ici. \u00c0 partir de ces donn\u00e9es, il est possible de calculer le volume de la Terre. Archim\u00e8de \u00e9value alors que, dans un volume \u00e9quivalent \u00e0 une graine de pavot, il n\u2019y a pas plus d\u2019une myriade de grains de sable, avant de constater qu\u2019il fallait aligner 40 graines pour obtenir la largeur d\u2019un doigt. Archim\u00e8de a alors tous les \u00e9l\u00e9ments pour faire son calcul. Il lui manque simplement un syst\u00e8me de num\u00e9ration.<\/p>\n

Le syst\u00e8me de num\u00e9ration d’Archim\u00e8de<\/h2>\n

Archim\u00e8de commence par d\u00e9crire le syst\u00e8me en usage en Gr\u00e8ce \u00e0 son \u00e9poque\u00a0:<\/p>\n

On a donn\u00e9 des noms aux nombres jusqu\u2019\u00e0 une myriade et au-del\u00e0 d\u2019une myriade, les noms qu\u2019on a donn\u00e9 aux nombres sont assez connus, puisqu\u2019on ne fait que r\u00e9p\u00e9ter une myriade jusqu\u2019\u00e0 dix mille myriades.<\/em><\/p>\n

Il en fait la base de son syst\u00e8me\u00a0:<\/p>\n

Que les nombres dont nous venons de parler et qui vont jusqu\u2019\u00e0 une myriade de myriades soient appel\u00e9s nombres premiers <\/em>[pas dans le sens actuel], et qu\u2019une myriade de myriades des nombres premiers soit appel\u00e9e l\u2019unit\u00e9 des nombres seconds\u00a0; comptons par ces unit\u00e9s, et par les dizaines, les centaines, les milliers, les myriades de ces m\u00eames unit\u00e9s, jusqu\u2019\u00e0 une myriade de myriades.<\/em><\/p>\n

Ces nombres premiers et seconds permettent d\u2019aller jusqu\u2019aux milliers de billions de Nicolas Chuquet, soit jusqu\u2019aux billiards\u00a0! (voir le tableau \u00e9quivalents des nombres premiers et seconds dans le syst\u00e8me de Nicolas Chuquet<\/em>).<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
nombres<\/td>\nrang<\/td>\nnoms<\/td>\n\u00e9quivalent Chuquet<\/td>\n<\/tr>\n
premiers<\/td>\n1<\/td>\nunit\u00e9s<\/td>\nunit\u00e9s<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n2<\/td>\ndizaines<\/td>\ndizaines<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n3<\/td>\ncentaines<\/td>\ncentaines<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n4<\/td>\nmilliers<\/td>\nmilliers<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n5<\/td>\nmyriades<\/td>\ndizaines de milliers<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n6<\/td>\ndizaines de myriades<\/td>\ncentaines de milliers<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n7<\/td>\ncentaines de myriades<\/td>\nmillions<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n8<\/td>\nmilliers de myriades<\/td>\ndizaines de millions<\/td>\n<\/tr>\n
seconds<\/td>\n9<\/td>\nunit\u00e9s<\/td>\ncentaines de millions<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n10<\/td>\ndizaines<\/td>\nmilliards<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n11<\/td>\ncentaines<\/td>\ndizaines de milliards<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n12<\/td>\nmilliers<\/td>\ncentaines de milliards<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n13<\/td>\nmyriades<\/td>\nbillions<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n14<\/td>\ndizaines de myriades<\/td>\ndizaines de billions<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n15<\/td>\ncentaines de myriades<\/td>\ncentaines de billions<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n16<\/td>\nmilliers de myriades<\/td>\nbilliards<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

\u00c9quivalents des nombres premiers et seconds dans le syst\u00e8me de Nicolas Chuquet.<\/em><\/p>\n

Archim\u00e8de continue de m\u00eame pour d\u00e9finir les nombres troisi\u00e8mes et ainsi de suite. Il atteint les limites du syst\u00e8me de Nicolas Chuquet, soit le nonillion, avec la centaine de myriade des nombres septi\u00e8mes du premier ordre\u00a0! Il continue jusqu\u2019aux nombres huiti\u00e8mes\u00a0:<\/p>\n

Qu\u2019une myriade de myriades des nombres seconds soit appel\u00e9e l\u2019unit\u00e9 des nombres troisi\u00e8mes\u00a0; comptons par ces unit\u00e9s, et par les dizaines, les centaines, les milles, les myriades de ces m\u00eames unit\u00e9s, jusqu\u2019\u00e0 une myriade de myriades\u00a0; qu\u2019une myriade de myriades des nombres troisi\u00e8mes soit appel\u00e9e l\u2019unit\u00e9 des nombres quatri\u00e8mes\u00a0; qu\u2019une myriade de myriades de nombres quatri\u00e8mes soit appel\u00e9e l\u2019unit\u00e9 des nombres cinqui\u00e8mes, et continuons de donner des noms aux nombres suivants\u2026<\/em><\/p>\n

Archim\u00e8de appelle \u00ab\u00a0premi\u00e8re p\u00e9riode\u00a0\u00bb, les nombres qu\u2019il a d\u00e9finis jusqu\u2019aux nombres huiti\u00e8mes et commence une seconde p\u00e9riode\u00a0:<\/p>\n

Quoique cette grande quantit\u00e9 de nombres connus soit certainement plus que suffisante, on peut cependant aller plus loin. En effet, que les nombres dont nous venons de parler soient appel\u00e9s les nombres de la premi\u00e8re p\u00e9riode, et que le dernier nombre de la premi\u00e8re p\u00e9riode soit appel\u00e9 l\u2019unit\u00e9 des nombres premiers de la seconde p\u00e9riode. De plus qu\u2019une myriade de myriades des nombres premiers de la seconde p\u00e9riode soit appel\u00e9e l\u2019unit\u00e9 des nombres seconds de la seconde p\u00e9riode\u2026<\/em><\/p>\n

En faisant des calculs d\u2019ordre de grandeurs, pour l\u2019univers, tel qu\u2019il \u00e9tait vu \u00e0 son \u00e9poque, Archim\u00e8de trouve\u00a0:<\/p>\n

il s\u2019ensuit que le nombre des grains de sable contenus dans une sph\u00e8re aussi grande que celle des \u00e9toiles fixes suppos\u00e9e par Aristarque, est plus petit que mille myriades des nombres huiti\u00e8mes.<\/em><\/p>\n

Cela fait beaucoup plus que l\u2019on ne peut compter dans le syst\u00e8me de Nicolas Chuquet d\u2019origine, puisque ce nombre est \u00e9gal \u00e0 1 suivi de 63 z\u00e9ros\u00a0! Si on le prolonge par des d\u00e9cillions valant chacun un million de nonillions, ce nombre est \u00e9gal \u00e0 1000 d\u00e9cillions. On peut comparer au nombre estim\u00e9 d\u2019\u00e9lectrons de l\u2019univers, qui est \u00e9gal \u00e0 1 suivi de 81 z\u00e9ros, ce que l\u2019on note 1081<\/sup>. Dans le syst\u00e8me d\u2019Archim\u00e8de, ce nombre vaut une dizaine des nombres troisi\u00e8mes de la seconde p\u00e9riode.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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