![\"\"](\"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/wp-content\/uploads\/sites\/13\/2020\/03\/grippeA1-Converti.eps_-300x124.jpg\")
Le jeu des \u00e9pid\u00e9mies<\/h2>\n
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Ce jeu est loin d\u2019\u00eatre un simple amusement\u00a0: il s\u2019agit d\u2019un exemple de ce que l\u2019on nomme \u00ab\u00a0automate cellulaire\u00a0\u00bb, particuli\u00e8rement utile pour mod\u00e9liser les processus d\u2019expansion des \u00e9pid\u00e9mies comme des \u00e9pizooties. En pr\u00e9alable \u00e0 ce type d\u2019application, il est n\u00e9cessaire d\u2019\u00e9tendre le damier \u00e0 l\u2019infini. Au d\u00e9part, toutes les cellules sont saines. On place une cellule infect\u00e9e puis on \u00ab\u00a0joue\u00a0\u00bb avec la r\u00e8gle probabiliste suivante\u00a0:<\/p>\n
\u2014\u00a0les cellules voisines de la cellule infect\u00e9e sont infect\u00e9es au coup suivant avec la probabilit\u00e9 p\u00a0<\/em>;<\/p>\n \u2014\u00a0la cellule meurt ou est immunis\u00e9e le coup suivant.<\/p>\n La question qui int\u00e9resse autant les \u00e9pid\u00e9miologistes que le grand public est donc\u00a0: \u00ab\u00a0Pour quelles valeurs de p<\/em>, la maladie se propage-t-elle au monde entier\u00a0?\u00a0\u00bb<\/p>\n Le mod\u00e8le est ici \u00ab\u00a0probabiliste\u00a0\u00bb, et donc on ne peut pr\u00e9dire \u00e0 l\u2019avance ce qui va se produire dans un cas particulier. Pour avoir une id\u00e9e rapide de l\u2019\u00e9volution moyenne du syst\u00e8me, le mieux est de proc\u00e9der \u00e0 une simulation. Pour cela, on \u00ab\u00a0joue\u00a0\u00bb selon les r\u00e8gles \u00e9nonc\u00e9es ci-dessus en utilisant un g\u00e9n\u00e9rateur de nombres pseudo-al\u00e9atoires et on comptabilise le nombre de cellules infect\u00e9es. En jouant cent fois de suite et en faisant la moyenne des r\u00e9sultats, on obtient une mesure de l\u2019expansion moyenne de l\u2019\u00e9pid\u00e9mie.<\/p>\n En dessous d\u2019un certain taux de contamination p<\/em>, l\u2019\u00e9pid\u00e9mie ne s\u2019\u00e9tend pas. En revanche, au dessus de ce taux, elle envahit le monde entier. Dans le cadre de notre mod\u00e8le simplifi\u00e9, le taux critique se situe entre 30\u00a0% et 40\u00a0%. Une maladie ne devient \u00e9pid\u00e9mique que si ce taux est d\u00e9pass\u00e9. Comment ce mod\u00e8le peut-il \u00eatre adapt\u00e9 pour bien mod\u00e9liser diff\u00e9rents types d\u2019\u00e9pid\u00e9mies ou d\u2019\u00e9pizooties\u00a0? Tout d\u2019abord, on peut modifier le voisinage de chaque cellule, compos\u00e9 ici de huit cellules \u2014 les sp\u00e9cialistes parlent de voisinage de Moore, du nom d\u2019Edward Moore, l\u2019un des fondateurs de la th\u00e9orie des automates. On utilise souvent un voisinage plus simple, dit de von Neumann, constitu\u00e9 des quatre cellules partageant un c\u00f4t\u00e9 avec la cellule consid\u00e9r\u00e9e. Avec ce nouveau mod\u00e8le, le taux critique pour lequel une maladie devient \u00e9pid\u00e9mique se situe aux alentours de 60\u00a0%. On peut \u00e9galement am\u00e9liorer le mod\u00e8le en tenant compte du temps pendant lequel une cellule infect\u00e9e est contagieuse puis du taux de mortalit\u00e9 et d\u2019immunit\u00e9 ainsi que du temps d\u2019immunit\u00e9. On arrive ainsi \u00e0 retrouver la fa\u00e7on dont se sont propag\u00e9es des \u00e9pid\u00e9mies comme la peste dans l\u2019Europe m\u00e9di\u00e9vale. Une premi\u00e8re vague a tu\u00e9 le tiers de la population en se propageant \u00e0 partir d\u2019un \u00e9picentre situ\u00e9 dans un port, suivie de plusieurs r\u00e9pliques plus faibles, toutes partant du m\u00eame point. Ces r\u00e9pliques correspondent \u00e0 la fin de certaines immunit\u00e9s.<\/p>\n La confrontation avec les donn\u00e9es \u00e9pid\u00e9miologiques a permis de montrer que ce type de mod\u00e8les a une certaine pertinence pour toutes les maladies qui se propagent par contact direct\u00a0: grippe, tuberculose, coronavirus ou m\u00eame sida. En revanche, il ne fonctionne plus lorsque la maladie se propage via <\/em>un agent infectieux, comme dans le cas du paludisme ou du chikungunya.<\/p>\n Comment consid\u00e9rer maintenant la notion de \u00ab\u00a0cellule voisine\u00a0\u00bb d\u00e8s que l\u2019on \u00e9voque les r\u00e9seaux de transports a\u00e9riens, maritimes ou terrestres\u00a0? Dans le cas d\u2019une \u00e9pid\u00e9mie de grippe humaine, l\u2019a\u00e9roport de Paris est voisin de celui de Hong-Kong. Dans le cas d\u2019une \u00e9pizootie de grippe aviaire, deux \u00e9levages fr\u00e9quentant le m\u00eame march\u00e9 aux bestiaux sont voisins. On doit de plus tenir compte des migrations naturelles des oiseaux sauvages. Dans tous ces cas, on retrouve la notion de r\u00e9seaux.<\/p>\n En modifiant le mod\u00e8le du jeu, on peut passer du cas o\u00f9 chaque cellule repr\u00e9sente un individu \u00e0 celui o\u00f9 elle repr\u00e9sente un domaine o\u00f9 les individus sont en relation constante\u00a0: un \u00e9levage de volaille dans le cas de la grippe aviaire, une ville dans le cas de la tuberculose, du sida ou de la grippe humaine. Ces domaines sont reli\u00e9s entre eux pour former un r\u00e9seau. Dans chaque cellule, la mod\u00e9lisation suit une autre logique, celle du mod\u00e8le \u00ab\u00a0SIR\u00a0\u00bb d\u00fb \u00e0 William Kermack et Anderson Mac Kendrick en 1927 (voir l’article correspondant sur ce blog). Ce mod\u00e8le compartimente la population en trois classes\u00a0: S, la classe des individus susceptibles d\u2019attraper la maladie, I, celle de ceux qui en sont infect\u00e9s (et contagieuses) et R, ceux qui en sont gu\u00e9ris (et immunis\u00e9s) ou d\u00e9c\u00e9d\u00e9s.<\/p>\n On consid\u00e8re l\u2019\u00e9volution de ces trois classes dans le temps en fonction de deux taux mesurables exp\u00e9rimentalement. Le premier (a<\/em>) est le taux de contagion de la maladie pour un infect\u00e9, c\u2019est-\u00e0-dire la probabilit\u00e9 pour qu\u2019un individu susceptible attrape la maladie apr\u00e8s contact avec un individu infect\u00e9. Le second taux (b<\/em>) mesure le passage de l\u2019\u00e9tat I \u00e0 l\u2019\u00e9tat R.<\/p>\n Apr\u00e8s un laps de temps t<\/em>, on compte a<\/em>\u00a0<\/em>I\u00a0S\u00a0t<\/em> infect\u00e9s suppl\u00e9mentaires et R augmente de b<\/em>\u00a0<\/em>I\u00a0t<\/em>. La variation du nombre d\u2019infect\u00e9s est donc \u00e9gale \u00e0 a<\/em>\u00a0<\/em>S\u00a0–\u00a0b<\/em> multipli\u00e9 par I\u00a0t<\/em>. La condition pour que la maladie se propage (et donc donne lieu \u00e0 une \u00e9pid\u00e9mie) est que le nombre de malades infect\u00e9s augmente, c\u2019est-\u00e0-dire que\u00a0: a<\/em>\u00a0<\/em>S\u00a0–\u00a0b<\/em>\u00a0>\u00a00. Le quotient b<\/em>\u00a0\/\u00a0a<\/em> a donc valeur de seuil. Si le nombre de sujets susceptibles est strictement inf\u00e9rieur \u00e0 ce seuil, la maladie ne s\u2019\u00e9tend pas. Sinon, elle donne lieu \u00e0 une \u00e9pid\u00e9mie (ou \u00e0 une \u00e9pizootie).<\/p>\n D\u2019une fa\u00e7on qui peut para\u00eetre paradoxale, l\u2019apparition d\u2019une \u00e9pid\u00e9mie ne d\u00e9pend donc pas du nombre de personnes infect\u00e9es mais du nombre de personnes susceptibles d\u2019attraper la maladie\u00a0! Cette remarque justifie \u00e0 elle seule les politiques de vaccination, m\u00eame avec un vaccin peu efficace.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Le jeu de la vie, invent\u00e9 en 1970 par John Conway, n\u2019est pas vraiment un jeu. Ce terme est cependant moins r\u00e9barbatif que celui d\u2019automate cellulaire, qui est pourtant plus exact. Il trouve ses origines dans des travaux conduits par John von Neumann dans les ann\u00e9es 1940. Nous garderons la m\u00e9taphore du jeu pour en … Continuer la lecture de Le jeu de la vie et celui des \u00e9pid\u00e9mies<\/span> ![\"\"](\"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/lehning\/wp-content\/uploads\/sites\/13\/2020\/03\/grippeA2-Converti.eps_-300x80.jpg\")
Un mod\u00e8le probabiliste<\/h2>\n
Taux critique<\/h2>\n
G\u00e9om\u00e9trie des contagions<\/h2>\n
Seuil de propagation<\/h2>\n