{"id":725,"date":"2015-04-15T20:50:46","date_gmt":"2015-04-15T20:50:46","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/aslangul\/?p=725"},"modified":"2015-05-05T12:59:35","modified_gmt":"2015-05-05T12:59:35","slug":"feynman-se-serait-il-trompe","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.futura-sciences.com\/aslangul\/2015\/04\/15\/feynman-se-serait-il-trompe\/","title":{"rendered":"Feynman se serait-il tromp\u00e9 ?"},"content":{"rendered":"

\"JokingFeynman\"<\/a><\/p>\n

Dans la le\u00e7on 22-3 de ses fameuses Feynman Lectures on Physics <\/em>(http:\/\/www.feynmanlectures.caltech.edu\/<\/a>), le grand physicien obtient l’imp\u00e9dance d’un r\u00e9seau infini de composants o\u00f9 alternent condensateurs et inductances purs. A sa mani\u00e8re inimitable, avec tr\u00e8s peu de calculs comme toujours, Feynman obtient un r\u00e9sultat qui, \u00e0 basse fr\u00e9quence, exhibe de fa\u00e7on surprenante une imp\u00e9dance donnant lieu \u00e0 des effets dissipatifs<\/em> alors que le circuit ne comporte aucune r\u00e9sistance \u00e9lectrique.<\/p>\n

N’en restant pas l\u00e0, \u00e9videmment, Feynman donne toutefois une interpr\u00e9tation physique \u00e0 ce r\u00e9sultat d’apparence paradoxale, et passe \u00e0 la le\u00e7on suivante.<\/p>\n

Quelque peu intrigu\u00e9 mais loin de tout esprit iconoclaste, juste pour comprendre, j’ai repris ce petit probl\u00e8me d’une autre mani\u00e8re, en fait de la fa\u00e7on assez naturelle consistant \u00e0 \u00e9tablir une relation de r\u00e9currence entre l’imp\u00e9dance du r\u00e9seau fini \u00e0 N+1<\/em> mailles et celle du r\u00e9seau \u00e0 N<\/em> mailles, relation qui est simple mais non-lin\u00e9aire et qui, dans le cas consid\u00e9r\u00e9 (inductances et condensateurs), peut s’\u00e9crire comme une it\u00e9ration entre des variables adimensionn\u00e9es qui sont toutes r\u00e9elles. Retranscrit dans les variables physiques, ceci signifie que l’imp\u00e9dance globale est imaginaire pure \u00e0 tout stade de l’it\u00e9ration, de sorte que si la limite du r\u00e9seau infini existe<\/em>, elle est forc\u00e9ment elle aussi imaginaire pure \u00e0 toute fr\u00e9quence, donc n’engendrant jamais aucune dissipation. Formul\u00e9e de fa\u00e7on plus abrupte, la question que l’on aurait aim\u00e9 poser \u00e0 Feynman est : comment une suite de nombres r\u00e9els peut-elle avoir une limite (suppos\u00e9e exister) ayant une partie imaginaire non-nulle ? Vous plaisantez Mr Feynman ?!<\/p>\n

O\u00f9 est donc le faux-pas de Feynman ?<\/p>\n

La r\u00e9ponse repose sur l’analyse de l’existence<\/em> de la limite, une question que les physiciens ont trop souvent tendance \u00e0 n\u00e9gliger. Ici les choses se pr\u00e9sentent comme suit. L’imp\u00e9dance du r\u00e9seau infini correspond au(x) point(s) fixe(s) de l’it\u00e9ration ainsi obtenue que, comme d’habitude, l’on peut obtenir de fa\u00e7on purement g\u00e9om\u00e9trique en cherchant les intersections de la premi\u00e8re bissectrice avec le graphe de la fonction d\u00e9finissant l’it\u00e9ration. Un petit dessin montre alors imm\u00e9diatement que, \u00e0 haute fr\u00e9quence, il existe deux points fixes, l’un stable, l’autre instable, le premier donnant bien l’imp\u00e9dance non-dissipative \u00e9galement trouv\u00e9e par Feynman.<\/p>\n

En revanche, \u00e0 basse fr\u00e9quence, au-dessous d’une fr\u00e9quence critique o\u00f9 les deux points fixes se confondent, il n’y a plus du tout de point fixe, signifiant tout simplement que, dans cette gamme de fr\u00e9quence, la limite n’existe pas <\/em>! D\u00e8s lors, le calcul de Feynman s’effondre, tout comme dispara\u00eet le paradoxe d’un circuit dissipatif sans r\u00e9sistances…<\/p>\n

Si la limite n’existe pas, on peut toutefois pousser l’analyse en consid\u00e9rant la compos\u00e9e de l’it\u00e9ration avec elle-m\u00eame (son “carr\u00e9”),\u00a0 voire les compositions de “puissance” plus \u00e9lev\u00e9e, d\u00e9couvrant que celles-ci ont exactement les m\u00eames points-fixes. La r\u00e9ponse math\u00e9matique<\/em> au probl\u00e8me pos\u00e9 est donc que, dans cette gamme de fr\u00e9quence, l’imp\u00e9dance du r\u00e9seau d\u00e9pend de la valeur du nombre de mailles, la limite n’existant pas, tout simplement.<\/p>\n

On aurait pu s’attendre \u00e0 ce que les compos\u00e9es successives de l’application poss\u00e8dent de nouveaux points-fixes. D’une fa\u00e7on tr\u00e8s g\u00e9n\u00e9rale, la stabilit\u00e9 de certains d’entre eux est \u00e0 l’origine de\u00a0 l’existence d’oscillations, fr\u00e9quentes pour des r\u00e9currences non-lin\u00e9aires et donnant lieu \u00e0 ce que l’on appelle des cycles-limites<\/em>. Ce ph\u00e9nom\u00e8ne courant n’est pas le moindre exploit de ces it\u00e9rations : que l’on se souvienne de la logistic map<\/em> et de la cascade de Feigenbaum fournissant l’un des sc\u00e9narios classiques de route vers le chaos (voir par exemple le chapitre 16 de mon livre de Math\u00e9matiques) !<\/p>\n

Feynman se serait donc tromp\u00e9 ?<\/p>\n

Eh bien non, pas vraiment, car son intuition physique, prenant le dessus,\u00a0 lui a permis d’imaginer la bonne r\u00e9ponse physique au probl\u00e8me pos\u00e9, qui est en fait mal pos\u00e9<\/em> : un module \u00e9lectrique de r\u00e9sistance nulle<\/em>, cela n’existe pas, une inductance par exemple a forc\u00e9ment une r\u00e9sistance \u00e9lectrique, qu’elle soit petite est une chose mais la d\u00e9clarer nulle<\/em> est une vue de l’esprit, tout comme un oscillateur harmonique non-amorti<\/em> est situ\u00e9 en Utopie. Autrement dit, ce qui est ici vraiment en cause, c’est une mod\u00e9lisation abusive consid\u00e9rant des \u00e9l\u00e9ments physiques qui eux, c’est s\u00fbr, n’existent pas.<\/p>\n

D\u00e8s lors, que fait la r\u00e9currence si l’on donne une r\u00e9sistance finie \u00e0 chacune des mailles du r\u00e9seau ? Elle converge ! Les cycles-limites disparaissent, les trajectoires s’enroulant autour d’un unique point-fixe stable et l’imp\u00e9dance globale admet effectivement une limite \u2014\u00a0 celle annonc\u00e9e sans preuve par Feynman.<\/p>\n

Ainsi, \u00e0 la question Feynman s’est-il tromp\u00e9 ?<\/em>\u00a0 la r\u00e9ponse est oui et non.<\/p>\n

Oui, car son argument math\u00e9matique est entach\u00e9 d’une erreur li\u00e9e \u00e0 une hypoth\u00e8se plausible… mais malheureusement non v\u00e9rifi\u00e9e \u00e0 basse fr\u00e9quence. Non, car son intuition g\u00e9niale de physicien a subrepticement repris la barre au moment o\u00f9, \u00e0 cause\u00a0d’une mod\u00e9lisation abusive, l’argument math\u00e9matique produit dans toute son exigence une r\u00e9ponse d’une incontestable exactitude mais non pertinente pour tout syst\u00e8me physique r\u00e9el.<\/p>\n

Ce qui n’est certes pas abusif, c’est d’affirmer qu’une telle rectification implicite est la signature du g\u00e9nie. Tout au plus, peut-on faire \u00e0 Feynman le reproche de n’en avoir pas souffl\u00e9 mot \u00e0 ses innombrables lecteurs… Sans doute l’a-t-il fait oralement aux\u00a0 \u00e9tudiants qui ont eu la chance de suivre son admirable enseignement. Heureux privil\u00e9gi\u00e9s !<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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